Problema di dinamica
Ciao a tutti, ho svolto un esercizio e vorrei confrontarmi con voi.
un punto materiale di massa m si muove inizialmente su un piano orizzontale privo di attrito con velocità $v_0$ poi sale su un piano inclinato senza attritodi massa M è libera di muoversi sul piano orizzontale.
calcola la velocità minima di m affinchè riesca a salire fino ad in cima al piano inclinato di altezza $h$
ho considerato il fatto che quando la pallina è in cima al piano inclinato, è ferma rispetto al piano inclinato
e la velocità minima per raggiungere quella cime è una $V_0$ da trovare mentre la velocità finale è $V=0$ in un primo momento non guardo cosa fa il piano inclinato e uso l'energia applicabile alla massa $m$, dicendo appunto che si conserva.
$E_(i) = m*g*h_0 + (1/2)*m*(v_0)^2$
$E_(f) = m*g*h + (1/2)*m*(V)^2$
da qui mi calcolo la velocità minima....
un'altra domanda è di trovare la velocità del piano inclinato quando la massa m giunge nel punto più alto del piano inclinato
io ho usato una formula che è simile a quella che ci hanno spiegato in classe ovvero usare la quantità di moto cioè:
$m*v_0x + M*V_x = 0$
dal momento che la quantità di moto nel punto più alto per la pallina è nulla...
quindi ricavo che la velocità del piano risulta negativa in quanto tende ad andare indietro cioè si muove nel verso opposto:
$V_x = - (m/M)*v_x$
una domanda che non ho saputo rispondere è stato:
le velocità del piano inclinato quando la massa m giunge alla base del piano inclinato....
c'è percaso di considerare anche qui energia e quantità di moto? ://
non so se è un ragionamento giusto o meno, se non lo è potete darmi qualche suggerimento nella risoluzione?
grazie.
un punto materiale di massa m si muove inizialmente su un piano orizzontale privo di attrito con velocità $v_0$ poi sale su un piano inclinato senza attritodi massa M è libera di muoversi sul piano orizzontale.
calcola la velocità minima di m affinchè riesca a salire fino ad in cima al piano inclinato di altezza $h$
ho considerato il fatto che quando la pallina è in cima al piano inclinato, è ferma rispetto al piano inclinato
e la velocità minima per raggiungere quella cime è una $V_0$ da trovare mentre la velocità finale è $V=0$ in un primo momento non guardo cosa fa il piano inclinato e uso l'energia applicabile alla massa $m$, dicendo appunto che si conserva.
$E_(i) = m*g*h_0 + (1/2)*m*(v_0)^2$
$E_(f) = m*g*h + (1/2)*m*(V)^2$
da qui mi calcolo la velocità minima....
un'altra domanda è di trovare la velocità del piano inclinato quando la massa m giunge nel punto più alto del piano inclinato
io ho usato una formula che è simile a quella che ci hanno spiegato in classe ovvero usare la quantità di moto cioè:
$m*v_0x + M*V_x = 0$
dal momento che la quantità di moto nel punto più alto per la pallina è nulla...
quindi ricavo che la velocità del piano risulta negativa in quanto tende ad andare indietro cioè si muove nel verso opposto:
$V_x = - (m/M)*v_x$
una domanda che non ho saputo rispondere è stato:
le velocità del piano inclinato quando la massa m giunge alla base del piano inclinato....
c'è percaso di considerare anche qui energia e quantità di moto? ://
non so se è un ragionamento giusto o meno, se non lo è potete darmi qualche suggerimento nella risoluzione?
grazie.
Risposte
Non puoi separare i due sistemi. Utilizza le seguenti condizioni:
1 - Conservazione energia meccanica.
2 - Conservazione componente orizzontale quantità di moto.
Ti faccio notare che, quando il punto materiale raggiunge la massima altezza, ha la stessa velocità orizzontale del piano.
1 - Conservazione energia meccanica.
2 - Conservazione componente orizzontale quantità di moto.
Ti faccio notare che, quando il punto materiale raggiunge la massima altezza, ha la stessa velocità orizzontale del piano.
Il professore ha detto che in quel punto (cima) la velocità si annulla...e dopo essersi annullata riscende con una velocità, quella velocità di discesa l'ho posta come $v_x$ lungo il piano che credo si scomponga come $v_x = V_o sin alpha$
P.S
per il punto primo intendi che nella conservazione dell'energia meccanica avrei dovuto mettere anche l'energia meccanica del piano inclinato? Ma non sapendo che velocità aveva quando la massa incominciava a salire il piano, come avrei dovuto fare?
Premetto che questi tipi di problemi mi mandano un pò in palla.
P.S
per il punto primo intendi che nella conservazione dell'energia meccanica avrei dovuto mettere anche l'energia meccanica del piano inclinato? Ma non sapendo che velocità aveva quando la massa incominciava a salire il piano, come avrei dovuto fare?
Premetto che questi tipi di problemi mi mandano un pò in palla.
La situazione iniziale è quella che precede l'inizio della salita, la situazione finale quella con il punto materiale che ha raggiunto la massima altezza, velocità relativa nulla rispetto al piano, velocità assoluta uguale a quella del piano in quell'istante.
quindi la formula da usare è:
$V= V_t + V_r$
$V= V_t $
cioè la velocità di trascinamento (del piano) quando è in cima m
l'avrei dovuto trovare così....
la velocità 'minima' per arrivar fino in cima al piano, però l'ho calcolata bene? cioè è come se avessi considerato incosciamente la velocità relativa 'nulla' rispetto al piano.
e nella seconda domanda avrei dovuto rispondere come hai detto tu giusto?
$V= V_t + V_r$
$V= V_t $
cioè la velocità di trascinamento (del piano) quando è in cima m
l'avrei dovuto trovare così....
la velocità 'minima' per arrivar fino in cima al piano, però l'ho calcolata bene? cioè è come se avessi considerato incosciamente la velocità relativa 'nulla' rispetto al piano.
e nella seconda domanda avrei dovuto rispondere come hai detto tu giusto?
Prima parte
Conservazione energia meccanica: $1/2mv_0^2 = 1/2(M + m)V^2 + mgh$
Conservazione componente orizzontale quantità di moto: $mv_0 = (M + m)V$
$V$: velocità orizzontale del punto materiale e del piano quando viene raggiunta la massima altezza.
Nel problema diretto, conoscendo $v_0$ puoi determinare $V$ e $h$.
Nel tuo caso, tipico esempio di problema inverso, conoscendo $h$ puoi determinare $v_0$ e $V$.
Conservazione energia meccanica: $1/2mv_0^2 = 1/2(M + m)V^2 + mgh$
Conservazione componente orizzontale quantità di moto: $mv_0 = (M + m)V$
$V$: velocità orizzontale del punto materiale e del piano quando viene raggiunta la massima altezza.
Nel problema diretto, conoscendo $v_0$ puoi determinare $V$ e $h$.
Nel tuo caso, tipico esempio di problema inverso, conoscendo $h$ puoi determinare $v_0$ e $V$.
Scusa se sono nabbo, vogli scrivere cosa ho capito, per vedere se ora ho un'idea meno confusa.
La conservazione dell'energia meccanica che ho scritto io all'inizio è come se avessi considerato il piano inclinato FERMO, quindi l'unico modo che avrei per spiegare alla prof. il perchè del mio sbaglio è dire che ho considerato la velocità finale RELATIVA al piano $0$ , e quindi ho fatto la conservazione dell'energia in quel modo... (lo so sto scempiando un ragionamento, ma è per 'aggrapparmi sui vetri' come si suol dire...).
Quindi il tuo ragionamento è su 3 argomenti:
1. energia meccanica.
2. quantità di moto.
3. moti relativi.
1. energia al primo membro c'è solo la cinetica del corpo m che deve salire il piano inclinato, l'energia potenziale sia di m sia di M non c'è, se mi si chiede 'perchè non c'è' io posso rispondere come: la massa m è in fondo alla pedana quindi $h_0 = 0$ e la massa M non ha nessun spostamento di quota?
al secondo membro si ha l'energia potenziale della pallina salita in cima, e l'energia cinetica della massa M e di m
in quanto sono 'parallele al piano liscio di appoggio alla pedana' sarebbe meglio scriverlo come $V_x$ o direttamente come hai scritto tu $V$?
quindi consideri contemporaneamente l'energia cinetica di entrambe perchè è la stessa....
2. è come se la pallina 'urtasse' il piano e ci rimanesse attaccata dopo? io avrei voluto scrivere quella relazione, ma alla fine ho scritto quella relazione che ti ho postato nel primo post, dicendo che poi il piano inclinato andasse indietro.....questa me la faranno sicuramente spiegare....quindi qual è il caso in cui che il piano inclinato va all'indietro? quando la massa è già arrivata in cima e sta scendendo e si pone che la velocità di arrivo è nulla?
3. domanda che mi sono posto: in alcuni problemi si parla sempre di piano inclinato che ha una accelerazione che lo fa muovere, in quel caso si dice che c'è una forza apparente, in questo problema invece si parla solo di velocità, quindi in questo vaso NON vi è alcuna forza apparente in quanto sono moti relativi tra due moti uniformi?
scusa per i dubbi quasi da liceale, ma non so come togliermeli :///
grazie per le ulteriori risposte.
La conservazione dell'energia meccanica che ho scritto io all'inizio è come se avessi considerato il piano inclinato FERMO, quindi l'unico modo che avrei per spiegare alla prof. il perchè del mio sbaglio è dire che ho considerato la velocità finale RELATIVA al piano $0$ , e quindi ho fatto la conservazione dell'energia in quel modo... (lo so sto scempiando un ragionamento, ma è per 'aggrapparmi sui vetri' come si suol dire...).
Quindi il tuo ragionamento è su 3 argomenti:
1. energia meccanica.
2. quantità di moto.
3. moti relativi.
1. energia al primo membro c'è solo la cinetica del corpo m che deve salire il piano inclinato, l'energia potenziale sia di m sia di M non c'è, se mi si chiede 'perchè non c'è' io posso rispondere come: la massa m è in fondo alla pedana quindi $h_0 = 0$ e la massa M non ha nessun spostamento di quota?
al secondo membro si ha l'energia potenziale della pallina salita in cima, e l'energia cinetica della massa M e di m
in quanto sono 'parallele al piano liscio di appoggio alla pedana' sarebbe meglio scriverlo come $V_x$ o direttamente come hai scritto tu $V$?
quindi consideri contemporaneamente l'energia cinetica di entrambe perchè è la stessa....
2. è come se la pallina 'urtasse' il piano e ci rimanesse attaccata dopo? io avrei voluto scrivere quella relazione, ma alla fine ho scritto quella relazione che ti ho postato nel primo post, dicendo che poi il piano inclinato andasse indietro.....questa me la faranno sicuramente spiegare....quindi qual è il caso in cui che il piano inclinato va all'indietro? quando la massa è già arrivata in cima e sta scendendo e si pone che la velocità di arrivo è nulla?
3. domanda che mi sono posto: in alcuni problemi si parla sempre di piano inclinato che ha una accelerazione che lo fa muovere, in quel caso si dice che c'è una forza apparente, in questo problema invece si parla solo di velocità, quindi in questo vaso NON vi è alcuna forza apparente in quanto sono moti relativi tra due moti uniformi?
scusa per i dubbi quasi da liceale, ma non so come togliermeli :///
grazie per le ulteriori risposte.
Per ora ti dico solo questo. Mentre la massa puntiforme sta salendo, puoi dire che "interagisce" con il piano inclinato mediante la reazione vincolare. Questa forza interna, agendo anche sul piano inclinato, ha una componente lungo la direzione orizzontale. Questa forza muove il piano inclinato e non è per nulla apparente.
Perchè non provi a scrivere le stesse equazioni per risolvere il caso in cui il punto materiale ritorna sul piano orizzontale. Ti ricordo che la reazione vincolare continua a spingere il piano inclinato nello stesso verso.
la velocità del piano inclinato quando la massa scende totalmente, è diversa però dalla velocità finale della massa?
si applica anche qui il teorema della quantità di moto?
si applica anche qui il teorema della quantità di moto?
Sono le stesse equazioni di prima con incognite la velocità della massa puntiforme e del piano inclinato (perchè dovrebbero essere uguali?) dopo la discesa.
"speculor":
Perchè non provi a scrivere le stesse equazioni per risolvere il caso in cui il punto materiale ritorna sul piano orizzontale. Ti ricordo che la reazione vincolare continua a spingere il piano inclinato nello stesso verso.
scusa non avevo notato il tuo reply
io farei cosi:
$m*g*h + 1/2 (m+M)*(v_0)^2 = 1/2 m V'_(finale) + 1\2 M V_(finale)$
sono due velocità diverse credo.
il sistema si unisce a:
$(M+m)*v_0 = m*V'_(f) + M*V_(f) $
che ne pensi?
Si legge male. In ogni modo immagino che con $v_0$ tu abbia indicato la velocità del sistema quando la pallina raggiunge la massima altezza.
esatto, perchè nel testo scrive dopo la domanda di determinare la velocità minima necessaria a far arrivare m in cima alla pedana, e dp la domanda di determinare la velocità del piano quando è in cima, e dopo vari post ho capito che in quella situazione le velocità lungo x sono uguali, ora il testo scrive:
'si assuma che $v_0$ sia uguale a tale velocità (cioè quella trovata dal sistema della prima parte) determinare la velocità del piano e della massa m, quando questa è in fondo al piano.
quindi confusamente pensavo che la velocità iniziale di quando sta in cima, è $v0$ però pensandoci meglio è quella V trovata dal primo sistema, quella che devo mettere a posto di $v0$
p.s
per il fatto che si legge male è perchè ho scritto V_(finale) forse in latex è meglio scriverla V_(\finale)?
grazie.
'si assuma che $v_0$ sia uguale a tale velocità (cioè quella trovata dal sistema della prima parte) determinare la velocità del piano e della massa m, quando questa è in fondo al piano.
quindi confusamente pensavo che la velocità iniziale di quando sta in cima, è $v0$ però pensandoci meglio è quella V trovata dal primo sistema, quella che devo mettere a posto di $v0$
p.s
per il fatto che si legge male è perchè ho scritto V_(finale) forse in latex è meglio scriverla V_(\finale)?
grazie.
Sarebbe stato comunque più elegante imporre le due conservazioni tra le due situazioni estreme, quella in cui la pallina sta per salire e quella in cui la pallina è completamente scesa. La situazione intermedia è superflua e ti risparmi dei conti.
quindi dovrebbe essere:
$m*g*h + 1/2 * (M+m) *V^2 = 1/2 * m*(v_f)^2 + 1/2 * M* (V_f)^2$
unito a:
$(m+M)*V=m*(v_f)+M*(V_f)$ ?
inoltre se mi si chiedesse la reazione del piano inclinato potrei scrivere:
$R' = R^(1,2) cos alpha - M*g$
dove con $R'$ indico la reazione del piano con il suolo, e con $R^(1,2)$ indico la reazione della massa sul piano inclinato.
andrebbe bene?
poi un'altra domanda, il piano inclinato si muove con una velocità costante, quindi il suo moto è rettilineo uniforme, lo stesso non si può dire per il moto di m sul piano inclinato, poichè è un moto uniformemente accelerato?
quindi uno è inerziale e l'altro no?
$m*g*h + 1/2 * (M+m) *V^2 = 1/2 * m*(v_f)^2 + 1/2 * M* (V_f)^2$
unito a:
$(m+M)*V=m*(v_f)+M*(V_f)$ ?
inoltre se mi si chiedesse la reazione del piano inclinato potrei scrivere:
$R' = R^(1,2) cos alpha - M*g$
dove con $R'$ indico la reazione del piano con il suolo, e con $R^(1,2)$ indico la reazione della massa sul piano inclinato.
andrebbe bene?
poi un'altra domanda, il piano inclinato si muove con una velocità costante, quindi il suo moto è rettilineo uniforme, lo stesso non si può dire per il moto di m sul piano inclinato, poichè è un moto uniformemente accelerato?
quindi uno è inerziale e l'altro no?
Non mi sono spiegato.
Energia cinetica pallina prima della salita: $1/2mv_0^2$
Energia cinetica piano inclinato prima della salita: $0$
Energia cinetica pallina dopo la discesa: $1/2mv_f^2$
Energia cinetica piano inclinato dopo la discesa: $1/2MV_f^2$
Quindi: $1/2mv_0^2 + 0 = 1/2mv_f^2 + 1/2MV_f^2$
Quantità di moto pallina prima della salita: $mv_0$
Quantità di moto piano inclinato prima della salita: $0$
Quantità di moto pallina dopo la discesa: $mv_f$
Quantità di moto piano inclinato dopo la discesa: $MV_f$
Quindi: $mv_0 + 0 = mv_f + MV_f$
Inoltre, non abbiamo detto che il piano inclinato è soggetto alla reazione vincolare opposta che agisce sulla pallina? Come può allora muoversi di moto rettilineo uniforme?
Energia cinetica pallina prima della salita: $1/2mv_0^2$
Energia cinetica piano inclinato prima della salita: $0$
Energia cinetica pallina dopo la discesa: $1/2mv_f^2$
Energia cinetica piano inclinato dopo la discesa: $1/2MV_f^2$
Quindi: $1/2mv_0^2 + 0 = 1/2mv_f^2 + 1/2MV_f^2$
Quantità di moto pallina prima della salita: $mv_0$
Quantità di moto piano inclinato prima della salita: $0$
Quantità di moto pallina dopo la discesa: $mv_f$
Quantità di moto piano inclinato dopo la discesa: $MV_f$
Quindi: $mv_0 + 0 = mv_f + MV_f$
Inoltre, non abbiamo detto che il piano inclinato è soggetto alla reazione vincolare opposta che agisce sulla pallina? Come può allora muoversi di moto rettilineo uniforme?
*_* ora ho capito cosa intendevi, con la 'forma elegante', vanno via molti calcoli e non è per niente incasinato.
quindi anche il moto del piano e uniformemente acc, perchè su di esso agisce una forza esterna che è in questo caso la reazione vincolare?
quindi anche il moto del piano e uniformemente acc, perchè su di esso agisce una forza esterna che è in questo caso la reazione vincolare?
Certo. Diventa rettilineo uniforme, come quello della pallina, solo dopo il termine della discesa. Non credo possano chiederti il calcolo della reazione vincolare. Ho un esercizio del genere, le cose si complicherebbero.
Ah ecco. Quindi la reazione vincolare è piuttosto complicata da trovare, ok.
Al massimo mi possono chiedere le forze che agiscono sul corpo m e M
su m di sicuro la forza peso, la reazione del piano su m
su M anche la forza peso bilanciata dalla reazione del piano liscio.
Sia forza peso che reazione vincolare sono due forze esterne giusto?
Al massimo mi possono chiedere le forze che agiscono sul corpo m e M
su m di sicuro la forza peso, la reazione del piano su m
su M anche la forza peso bilanciata dalla reazione del piano liscio.
Sia forza peso che reazione vincolare sono due forze esterne giusto?
Per $M$ le forze esterne sono la sua forza peso, la reazione vincolare del piano di appoggio e la reazione vincolare con la quale interagisce con il punto materiale $m$.
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