Problema di dinamica
Ho qualche dubbio sulla soluzione di questo problema ... qualcuno mi può aiutare ?
Un ragazzo è seduto su un blocco di ghiaccio semisferico. Si dà una piccola spinta e inizia a
slittare sul ghiaccio. Si dimostri che, se si suppone il ghiaccio privo di attrito, si stacca ad
un’altezza pari a 2R/3 (nell’istante del distacco la forza normale si deve annullare).
grazie
Un ragazzo è seduto su un blocco di ghiaccio semisferico. Si dà una piccola spinta e inizia a
slittare sul ghiaccio. Si dimostri che, se si suppone il ghiaccio privo di attrito, si stacca ad
un’altezza pari a 2R/3 (nell’istante del distacco la forza normale si deve annullare).
grazie
Risposte
Prima di tutto disegna la tua semicirconferenza di centro $O$ e raggio $R$. Prendi un punto $P$ su di essa che si trova ad altezza $h$ rispetto al diametro della circonferenza (preso a livello della terra), disegna la forza peso e scomponila nelle due componenti radiale e tangenziale ;traccia per maggiore chiarezza il raggio $OP$ e il segmento che da $P$ cade perpendicolarmente sul diametro, cioè il segmento lungo cui è diretta la forza peso; chiamo $\alpha$ l'angolo tra questi due segmenti.
Considerazioni energetiche: all'inizio il ragazzo possiede energia potenziale pari a $m*g*R$. Arrivato nel punto $P$ ad altezza $h$ abbiamo che ha energia cinetica e una frazione dell'en. potenziale iniziale, ovvero $m*g*h + 1/2*m*v^2$. Dobbiamo esplicitare $v$.
Nel moto circolare abbiamo che $F_c=m*v^2/R$. La forza centripeta $F_c$ nel punto di stacco $P$ è data dalla componente radiale della forza peso, cioè $F_c=m*g*cos (\alpha)$. E' semplice rendersi conto che il coseno dell'angolo $\alpha$ è esprimibile come $h/R$.
Quindi sapendo $F_c=m*v^2/R$ , $F_c=m*g*cos (\alpha)$ e $cos (\alpha)=h/R$ abbiamo che
$m*g*h/R=m*v^2/R$, ed eseguendo le semplificazioni otteniamo per $v^2$
$v^2=g*h$
Ricordiamo il bilancio energetico $m*g*R=m*g*h + 1/2*m*v^2$ , in cui sostituiamo la relazione appena trovata
$m*g*R=m*g*h + 1/2*m*g*h$
semplifichiamo e sommiamo per ottenre
$h=2/3R$
Considerazioni energetiche: all'inizio il ragazzo possiede energia potenziale pari a $m*g*R$. Arrivato nel punto $P$ ad altezza $h$ abbiamo che ha energia cinetica e una frazione dell'en. potenziale iniziale, ovvero $m*g*h + 1/2*m*v^2$. Dobbiamo esplicitare $v$.
Nel moto circolare abbiamo che $F_c=m*v^2/R$. La forza centripeta $F_c$ nel punto di stacco $P$ è data dalla componente radiale della forza peso, cioè $F_c=m*g*cos (\alpha)$. E' semplice rendersi conto che il coseno dell'angolo $\alpha$ è esprimibile come $h/R$.
Quindi sapendo $F_c=m*v^2/R$ , $F_c=m*g*cos (\alpha)$ e $cos (\alpha)=h/R$ abbiamo che
$m*g*h/R=m*v^2/R$, ed eseguendo le semplificazioni otteniamo per $v^2$
$v^2=g*h$
Ricordiamo il bilancio energetico $m*g*R=m*g*h + 1/2*m*v^2$ , in cui sostituiamo la relazione appena trovata
$m*g*R=m*g*h + 1/2*m*g*h$
semplifichiamo e sommiamo per ottenre
$h=2/3R$
Grazie, mi mancava proprio la parte sul bilancio energetico ... anche se nn capisco proprio come faccia a staccarsi una persona che scivola...
Perchè un corpo possa compiere un moto circolare occorre una forza che ne curvi la traiettoria. Nel problema il ragazzo è accelerato (il modulo della sua velocità aumenta) dalla componente tangeziale (alla semisfera di ghiaccio) della forza peso, mentre la componente radiale "fa" da forza centripeta tenendolo attaccato alla sfera. Più il ragazzo scende più il modulo della sua velocità aumenta, e contemporaneamente la componente radiale del peso diminuisce. Nel punto trovato appunto ad altezza $h$ tale componente non è più in grado di mantenere il ragazzo su una traiettoria circolare di raggio $R$, cioè il ragazzo si stacca appunto dalla semisfera di raggio $R$ descrivendo da quell'istante un arco di parabola fino ad arrivare a terra.
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