Problema di dinamica
Un punto materiale di massa m=0.4 kg si muove sotto l'azione di una forza $F=8N$. La molla ha massa M=0.1 kg e costante elastica k=200 N/m. Calcolare la deformazione x della molla.
$F=(m+M)a$
Applicando la seconda legge di Newton al corpo di massa M si ha:
$F-F_(elastica)=Ma -> F_(elastica)=ma=kx$
L'accelerazione del sistema sarà quindi: $a=F/(m+M) -> F_(elastica)=m(F/(M+m))=kx -> x=m\k (F/(m+M))$
E' corretto il procedimento? Quella che mi lascia perplesse è l'equazione $F_(elastica)=ma$: in partica sul corpo di massa m agisce solo la forza elastica???
$F=(m+M)a$
Applicando la seconda legge di Newton al corpo di massa M si ha:
$F-F_(elastica)=Ma -> F_(elastica)=ma=kx$
L'accelerazione del sistema sarà quindi: $a=F/(m+M) -> F_(elastica)=m(F/(M+m))=kx -> x=m\k (F/(m+M))$
E' corretto il procedimento? Quella che mi lascia perplesse è l'equazione $F_(elastica)=ma$: in partica sul corpo di massa m agisce solo la forza elastica???
Risposte
Credo che un disegno ben fatto possa chiarire meglio il problema a tutti...
Comunque, di solito (se si usa un modello ad un solo grado di libertà, lecito se la massa della molla è ragioevolemnte più piccola di quella della massa ad essa attacata), si modella l'inerzia della molla attraverso l'utilizzo di una certa massa equivalente (pari a circa 1/3 della massa totale della molla)...
Comunque, di solito (se si usa un modello ad un solo grado di libertà, lecito se la massa della molla è ragioevolemnte più piccola di quella della massa ad essa attacata), si modella l'inerzia della molla attraverso l'utilizzo di una certa massa equivalente (pari a circa 1/3 della massa totale della molla)...
http://img181.imageshack.us/my.php?imag ... ca1jb3.jpg
Scusatemi, un disegno fa sempre bene. (anche se fatto con Paint
)
"si modella l'inerzia della molla attraverso l'utilizzo di una certa massa equivalente"
Non ho ben capito questa tua affermazione.
Se la massa della molla fosse stata maggiore di quella del corpo ad essa attaccata, che sarebbe successo? Avrei dovuto considerare più gradi di libertà? (ancora il corpo rigido devo studiarlo...)
Scusatemi, un disegno fa sempre bene. (anche se fatto con Paint
)"si modella l'inerzia della molla attraverso l'utilizzo di una certa massa equivalente"
Non ho ben capito questa tua affermazione.
Se la massa della molla fosse stata maggiore di quella del corpo ad essa attaccata, che sarebbe successo? Avrei dovuto considerare più gradi di libertà? (ancora il corpo rigido devo studiarlo...)
Beh si in linea di principio, infiniti,... Infatti l'accelerazione del sistema sarebbe diversa da punto a punto.
Non so se può interessare, ma ho trovato una equazione abbastanza generale (credo), che relaziona la forza che sente ogni "concio" di molla e l'accelerazione della massa concentrata $u(t,x)$.
$(partialF(t,x))/(partialx)=m/l(partial^2)/(partialt^2)[u(t,0)+int(F(t,x))/(kl)dx]$
Spero con chiaro significato di simboli...
Procedendo così si trova che l'allungamento elastico (quello non dovuto al moto rigido) è :
$u^((e))(t,l)=(1-1/2m/(M+m))(F(t,l))/(k)$
$(partialF(t,x))/(partialx)=m/l(partial^2)/(partialt^2)[u(t,0)+int(F(t,x))/(kl)dx]$
Spero con chiaro significato di simboli...
Procedendo così si trova che l'allungamento elastico (quello non dovuto al moto rigido) è :
$u^((e))(t,l)=(1-1/2m/(M+m))(F(t,l))/(k)$
io pensavo di ragionare con la legge di hooke e con i principi di newton...
ribadisco il mio stupore
I principi e le leggi son quelle direi, solo eleborati o utilizzati in maniera un po' più sofisticata credo... 
piu rileggo quella formula piu mi sento impazzire...
io onestamente non ci vedo molto di quella povera legge di hooke in quella relazione geroglifica (sarà che so solamente che ci sono derivate parziali e integrali, anche se non so a che pro...
)ma è sicuro che il problema non è risolvibile con metodi piu elementari(alias conoscenze delle superiori)????
grazie
Sicuramente si, basta vedere a quale livello di approssimazione ci si vuole fermare...
Una facile approssimazione consiste nel considerare una massa concentrata pari a quella della molla posta da qualche parte, ad esempio attaccata alla massa già presente, o anche lì dove si applica la forza... Anche se bisogna stare attenti che in questo ultimo caso a rigore si avrebbero due gradi di libertà, oppure si può fare un bilancio energetico, ecc...
Una facile approssimazione consiste nel considerare una massa concentrata pari a quella della molla posta da qualche parte, ad esempio attaccata alla massa già presente, o anche lì dove si applica la forza... Anche se bisogna stare attenti che in questo ultimo caso a rigore si avrebbero due gradi di libertà, oppure si può fare un bilancio energetico, ecc...
per quanto ne so io gia viaggiamo nel metafisico...
voglio dire dov'è che è superficiale l'analisi del giovinsignore che ha aperto il topic???
a me sembrava tutto perfetto nella sua analisi...
grazie
voglio dire dov'è che è superficiale l'analisi del giovinsignore che ha aperto il topic???
a me sembrava tutto perfetto nella sua analisi...
grazie
Sì, infatti il procedimento è esatto, ma come ti ha fatto notare cavallipurosangue, ho risolto il problema supponendo che la massa della molla sia concentrata in un unico punto. Questa approssimazione non sarebbe del tutto corrispondente al vero... e così si spiegano tutte le robacce di Cavallipurosangue
mmmmmmmmmmmsi credo di aver capito...
quindi tutta la robaccia di cavallipurosangue serve a ''disperdere'' la massa lungo tutta la molla, invece che considerarla in un unico punto..
grazie a tutti!!
Si esatto, quello è l'intento...
Comunque visto che ha riscosso un leggero successo vi dico quali sono le formule che ci stanno dietro:
la prima è:
$(partialF(t,x))/(partialx)=lambda(partial^2u(t,x))/(partialt^2)$ ,
dove $lambda$ è la densità per unità di lunghezza ed $u(t,x)$ lo spostamento di ogni punto del sistema; la formula deriva dall'equilibrio di un concio infinitesimo di molla (considerata come solido monodimensionale).
La seconda è:
$u(t,x)=u(t,0)+u^((el))(t,x)$
deriva dalla sovrapposizione degli effetti o da considerazioni cinematiche.
la terza:
$epsilon^((el))=sigma/E=(F(t,x))/(EA)=(F(t,x))/(kl)$
è la legge di HOOKE.
La quarta:
$u^((el))(t,x)=intepsilon^((el))dx$
deriva dall'equazione di congruenza (la costante in questo caso è zero).
Facendo due passaggi si dovrebbe arrivare all'equazione che vi avevo scritto sopra.
Comunque visto che ha riscosso un leggero successo vi dico quali sono le formule che ci stanno dietro:
la prima è:
$(partialF(t,x))/(partialx)=lambda(partial^2u(t,x))/(partialt^2)$ ,
dove $lambda$ è la densità per unità di lunghezza ed $u(t,x)$ lo spostamento di ogni punto del sistema; la formula deriva dall'equilibrio di un concio infinitesimo di molla (considerata come solido monodimensionale).
La seconda è:
$u(t,x)=u(t,0)+u^((el))(t,x)$
deriva dalla sovrapposizione degli effetti o da considerazioni cinematiche.
la terza:
$epsilon^((el))=sigma/E=(F(t,x))/(EA)=(F(t,x))/(kl)$
è la legge di HOOKE.
La quarta:
$u^((el))(t,x)=intepsilon^((el))dx$
deriva dall'equazione di congruenza (la costante in questo caso è zero).
Facendo due passaggi si dovrebbe arrivare all'equazione che vi avevo scritto sopra.
grazie per la spiegazione, anche se non credo di riuscire ad applicare le formule perche non conosco le derivate, quindi non ho dimestichezza con questi strumenti . comunque cerchero di capirci qualcosa!!
grazie ancora
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