Problema di dinamica

[hastings1]

c'è un corpo di massa m=0.1kg che viene lanciato con v0=20m/s in un mezzo viscoso che oppone una certa forza resistente F=-Bv
con v=velocità e B=2kg/s. trascurando la forza di gravità trovare s, lo spazio percorso dal corpo nel mezzo viscoso.
[sol.: 1m]

avevo pensato
F=-Bv=ma
da cui $-(beta/(mv))=a=(dv)/dt=(ds)/(d^2t)$

$-(beta/m)*v*d^2t=ds $

$int(-beta/mvt dt)=s$

$-1/2*beta/m vt^2+K=s$

giusto fin qui? qualche idea per proseguire??

[hastings1]

Forse è meglio considerare

$-(beta v)/m=dv/dt$

[hastings1]

qualcuno può cimentarsi in questo problema grazie

[MaMo2]

Dalla seconda legge di Newton otteniamo:

$(dv)/(dt)=-(Bv)/m$

$(dv)/v=-B/mdt$

Integrando tra gli estremi si ha:

$int_(v_0)^v (dv)/v=-B/m int_0^t dt$

$ln(v/v_0)=-B/mt$

Ricavando la velocità si ottiene:

$v=v_0*e^(-B/mt)$

$(dx)/(dt)=v_0*e^(-B/mt)$

Separando le variabili ed integrando si ha:

$int_0^s dx=v_0 int_0^t e^(-B/mt)dt$

$s=(mv_0)/B*(1-e^(-B/mt))$

Lo spazio percorso si trova facendo tendere ad infinito il tempo trascorso:

$s=lim_(t->+oo) (mv_0)/B(1-e^(-B/mt))=(mv_0)/B=1 m$.

[hastings1]

WOW! GRAZIEEEEEEEEE!

Insomma stavo girando in tondo alla soluz in particolare:
1. non mi era venuto in mente di fare il limite per t-->+inf alla fine
2. non avevo pensato di fare l'integrate definito ma solo quelli indefiniti
3. avevo sbagliato nell'integrare l'esponenziale $e^...$ perchè ho dimenticato il meno davanti a "B/m".

Avevo provato invece così

$(1) a=\ - \frac{B*v}{m}$ (da $F=-Bv=m*a$)

$(2) \ a=v*(dv)/(dx)$ infatti $v*(dv)/(dx)=v*( (dv)/(dt) )/( (dx)/(dt) )= v*a/v=a$

$v*(dv)/(dx)=-B/m *v$

$(dv)/(dx)=-B/m$

$dv=-B/m *dx$

$int dv=-intB/m dx$

$v=-B/m*x$

$x=-(m*v)/B=-1m$ io ottenevo un valore negativo. e non sapevo spiegarmi perchè. A proposito... chissà perchè?