Problema di dinamica.
Nel sistema rappresentato in figura il corpo A di massa mA=m è appoggiato sul piano orizzontale del blocco C di massa mc=3mm che a sua volta è appoggiato su un piano orizzontale. A è collegato da un filo inestensibile e di massa trascurabile a un corpo B di massa mB=2m vincolato a muoversi verticalmente rispetto a C. la carrucola è assimilabile ad un disco omogeneo di raggio R e massa . Calcolare l'accelerazione di C se si lascia il sistema libero di muoversi (trascurando gli attriti tra tutti i corpi).
Ora per il punto (a) ho pensato che, per tenere il sistema in equilibrio è necessaria o una forza applicata a B uguale in modulo e contraria alla forza peso di B oppure una forza F applicata in A verso sinistra e di modulo $ (mB*g)/2 $ (che ricavo ponendo uguale a zero la somma dei momenti delle forze che agiscono sulla carrucola). é esatto questo ragionamento?
Invece non ho idea di come risolvere il punto (b), credo che si conservino sia l'energia meccanica che la quantità di moto ma non so come arrivare all'accelerazione di C.
Qualcuno potrebbe gentilmente darmi una mano? ^^
Ora per il punto (a) ho pensato che, per tenere il sistema in equilibrio è necessaria o una forza applicata a B uguale in modulo e contraria alla forza peso di B oppure una forza F applicata in A verso sinistra e di modulo $ (mB*g)/2 $ (che ricavo ponendo uguale a zero la somma dei momenti delle forze che agiscono sulla carrucola). é esatto questo ragionamento?
Invece non ho idea di come risolvere il punto (b), credo che si conservino sia l'energia meccanica che la quantità di moto ma non so come arrivare all'accelerazione di C.
Qualcuno potrebbe gentilmente darmi una mano? ^^
Risposte
È fuori dubbio che per mantenere l'equilibrio devi impedire al corpo B di cadere. Il corpo B ha un peso, diretto verso il basso. Quindi puoi equilibrarlo con una forza di pari intensità, diretta verso sinistra, applicata in A: il filo in condizioni statiche ha il solo scopo di cambiare la direzione della forza.
Ma come hai scritto l'uguaglianza dei momenti rispetto al centro della puleggia? C'è un $1/2$ di troppo. Verifica.
Quando si toglie la forza detta, la massa B cade, con una certa accelerazione, per ora ignota. La massa A quindi accelera verso destra rispetto al blocco C. Ora tieni presente che, non essendoci attrito tra blocco e piano, puoi dire che il sistema è isolato. Percio si deve conservare la quantità di moto totale.
E quanto vale all'inizio la qdm totale? Vale zero. Il CM all'inizio è fermo. E poi c'è altro che si conserva. Ma comincia a calcolare l'accelerazione della massa B (che poi è uguale a quella di A come valore) rispetto al blocco C. Tieni presente che anche la puleggia ha una massa, quindi il suo momento dii inerzia non è trascurabile.
Forza!
Ma come hai scritto l'uguaglianza dei momenti rispetto al centro della puleggia? C'è un $1/2$ di troppo. Verifica.
Quando si toglie la forza detta, la massa B cade, con una certa accelerazione, per ora ignota. La massa A quindi accelera verso destra rispetto al blocco C. Ora tieni presente che, non essendoci attrito tra blocco e piano, puoi dire che il sistema è isolato. Percio si deve conservare la quantità di moto totale.
E quanto vale all'inizio la qdm totale? Vale zero. Il CM all'inizio è fermo. E poi c'è altro che si conserva. Ma comincia a calcolare l'accelerazione della massa B (che poi è uguale a quella di A come valore) rispetto al blocco C. Tieni presente che anche la puleggia ha una massa, quindi il suo momento dii inerzia non è trascurabile.
Forza!
Ah, quindi in condizioni statiche la tensione della corda è sempre uguale da entrambi i lati della puleggia?
io avevo scritto così $ { ( mBg-TB=0 ),( TA-F=0 ),( (TA+F)R-TB*R=0 ):} $ Dove F è la forza applicata ad A verso sinistra e TA e TB sono le tensioni della fune dai due lati della puleggia.
Per trovare l'accelerazione dei due blocchi
$ { ( mB*g-TB=mB*a ),( TA=mA*a ),( TB*R-TA*R=(MR^2)/2*a/R ):} $
e quindi $ a=(mB*g)/(mB+mA+M/2 $
ma ora come arrivo all'accelerazione di C? per usare la conservazione della quantità di moto mi servono le velocità
io avevo scritto così $ { ( mBg-TB=0 ),( TA-F=0 ),( (TA+F)R-TB*R=0 ):} $ Dove F è la forza applicata ad A verso sinistra e TA e TB sono le tensioni della fune dai due lati della puleggia.
Per trovare l'accelerazione dei due blocchi
$ { ( mB*g-TB=mB*a ),( TA=mA*a ),( TB*R-TA*R=(MR^2)/2*a/R ):} $
e quindi $ a=(mB*g)/(mB+mA+M/2 $
ma ora come arrivo all'accelerazione di C? per usare la conservazione della quantità di moto mi servono le velocità
Nel caso statico il peso di B e la forza da applicare sono uguali in modulo, come detto, e la forza è applicata da destra verso sinistra. E fin qui ci siamo.
Le equazioni che hai scritto nel secondo caso mi sembrano giuste, comunque quella che hai determinato è l'accelerazione della massa A rispetto al blocco C. Quindi è una accelerazione "relativa".
Non ti servono le velocità,anche se in realtà ti occorre considerarle ma solo per scrivere la conservazione della quantità di moto totale.
Io farei così.
Rispetto al piano , su cui immagina un asse x orientato verso destra con una certa origine, la quantità di moto totale iniziale del sistema è nulla. E tale deve rimanere , con riferimento alle sole componenti orizzontali della qdm, perché di quelle verticali non ci interessa , non ci importa che il blocco B cade, orizzontalmente non cambia posizione rispetto al sistema. Intuitivamente , se la massa A si sposta verso destra rispetto al sistema, il sistema si sposterà verso sinistra. Si può scrivere :
$m_Av_A + (m_A + m_B + m_C + m_P) V = 0 $
dove la massa di A compare due volte, perché la prima velocità è quella relativa al blocco, invece $V$ è la velocità con cui tutto il sistema si sposta per assicurare la conservazione della qdm.
Da qui ti puoi ricavare la velocità $V$ del sistema, che risulta negativa, cioè è diretta verso sinistra. Ora , tieni presente che sia il moto di A relativo al blocco che il moto di tutto il sistema sono uniformemente accelerati , per cui $v_A = at$ , e $V = a_Ct$ .
L'accelerazione $a$ di A è quella che hai trovato prima. Sostituendo al posto delle velocità le quantità dette, puoi eliminare il tempo $t$ , e quindi ricavare $a_C$ .
Che ne dici?
Le equazioni che hai scritto nel secondo caso mi sembrano giuste, comunque quella che hai determinato è l'accelerazione della massa A rispetto al blocco C. Quindi è una accelerazione "relativa".
Non ti servono le velocità,anche se in realtà ti occorre considerarle ma solo per scrivere la conservazione della quantità di moto totale.
Io farei così.
Rispetto al piano , su cui immagina un asse x orientato verso destra con una certa origine, la quantità di moto totale iniziale del sistema è nulla. E tale deve rimanere , con riferimento alle sole componenti orizzontali della qdm, perché di quelle verticali non ci interessa , non ci importa che il blocco B cade, orizzontalmente non cambia posizione rispetto al sistema. Intuitivamente , se la massa A si sposta verso destra rispetto al sistema, il sistema si sposterà verso sinistra. Si può scrivere :
$m_Av_A + (m_A + m_B + m_C + m_P) V = 0 $
dove la massa di A compare due volte, perché la prima velocità è quella relativa al blocco, invece $V$ è la velocità con cui tutto il sistema si sposta per assicurare la conservazione della qdm.
Da qui ti puoi ricavare la velocità $V$ del sistema, che risulta negativa, cioè è diretta verso sinistra. Ora , tieni presente che sia il moto di A relativo al blocco che il moto di tutto il sistema sono uniformemente accelerati , per cui $v_A = at$ , e $V = a_Ct$ .
L'accelerazione $a$ di A è quella che hai trovato prima. Sostituendo al posto delle velocità le quantità dette, puoi eliminare il tempo $t$ , e quindi ricavare $a_C$ .
Che ne dici?
Dico che mi sembra corretto, grazie mille per l'aiuto, mi sei stato molto utile ^^
Riguardo al quesito (c) io direi che si conserva l'energia meccanica, perchè l'unica forza che agisce è la forza peso che è conservativa, e la quantità di moto perchè lungo la direzione del moto la risultante delle forze è nulla. Ho detto bene?
Riguardo al quesito (c) io direi che si conserva l'energia meccanica, perchè l'unica forza che agisce è la forza peso che è conservativa, e la quantità di moto perchè lungo la direzione del moto la risultante delle forze è nulla. Ho detto bene?
Scusa se continuo ad importunarti, ma mi è venuto un dubbio inerente alla conservazione della quantità di moto.
Se ho un punto materiale e una rampa entrambi su un piano orizzontale (non ci sono attriti) inizialmente il punto si muove con velocità costante e la rampa è ferma. In questo caso posso usare la conservazione della componente orizzontale della quantità di moto, per calcolare la velocità della rampa quando il punto ha raggiunto la massima altezza su di essa( quindi è fermo rispetto alla rampa)? Perchè l'unica forza agente è la forza di gravità che non ha componenti orizzontali, ma il fatto che il piano sia inclinato mi fa venire qualche dubbio
Trascritto matematicamente, è lecito usare questa relazione $ mv=(M+m)V $
Dove $m$è la massa del punto materiale $ M $ la massa della rampa e $v$ e $V$ rispettivamente la velocità iniziale del punto e la velocità della rampa quando il punto ha raggiunto la massima altezza su di essa.
Se ho un punto materiale e una rampa entrambi su un piano orizzontale (non ci sono attriti) inizialmente il punto si muove con velocità costante e la rampa è ferma. In questo caso posso usare la conservazione della componente orizzontale della quantità di moto, per calcolare la velocità della rampa quando il punto ha raggiunto la massima altezza su di essa( quindi è fermo rispetto alla rampa)? Perchè l'unica forza agente è la forza di gravità che non ha componenti orizzontali, ma il fatto che il piano sia inclinato mi fa venire qualche dubbio
Trascritto matematicamente, è lecito usare questa relazione $ mv=(M+m)V $
Dove $m$è la massa del punto materiale $ M $ la massa della rampa e $v$ e $V$ rispettivamente la velocità iniziale del punto e la velocità della rampa quando il punto ha raggiunto la massima altezza su di essa.
Certo che puoi usarla. Il lavoro della forza peso, uguale alla variazione di energia cinetica, è in questo caso negativo :
$L = - mgh = E_f - E_i = 1/2(M+m)V^2 - 1/2mv^2$
e d'altronde : $ V = - m/(M+m)v$ (per la conservazione della qdm) .
quindi puoi ricavare la velocità minima $v$ richiesta perché $m$ arrivi alla quota $h$ : è questo il problema, no ?
$L = - mgh = E_f - E_i = 1/2(M+m)V^2 - 1/2mv^2$
e d'altronde : $ V = - m/(M+m)v$ (per la conservazione della qdm) .
quindi puoi ricavare la velocità minima $v$ richiesta perché $m$ arrivi alla quota $h$ : è questo il problema, no ?
Il problema mi dava la velocità iniziale v e chiedeva di trovare la massima altezza e la velocità della rampa quando il punto ha raggiunto la massima altezza.
Anche io avevo impostato la risoluzione così, l'unica cosa che non mi è chiara è il segno negativo di V, da dove viene? In questo modo quantità di moto iniziale e finale sono uguali in modulo ma con verso opposto o sbaglio?
Anche io avevo impostato la risoluzione così, l'unica cosa che non mi è chiara è il segno negativo di V, da dove viene? In questo modo quantità di moto iniziale e finale sono uguali in modulo ma con verso opposto o sbaglio?
No, il segno negativo non ci vuole, le velocità sono nello stesso verso. Ok per la soluzione : hai la velocità, trovare l'altezza e la vel. finale.
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