Problema di Dinamica
Ho risolto il seguente problema e vorrei un parere da voi sulla correttezza o meno della mia risposta.
"All'estremità di una carrucola ideale (no attriti, massa trascurabile) è collegato con una corda ideale (inestensibile e massa trascurabile) un blocco di massa 16 kg, posato al suolo. All'altra estremità della carrucola, sollevata rispetto al suolo, si trova una scimmia di 12 kg. Calcolare l'accelerazione massima che può avere la scimmia senza che il blocco si alzi."
Io l'ho impostato facendo una considerazione: per salire la scimmia applica una forza verso il basso sulla corda. Per il terzo principio quest'ultima applica sulla scimmia una forza uguale in modulo ma diretta verso l'alto (la spinta con cui l'animaletto sale). Ma se la risultante sulla scimmia deve essere diversa da zero, per la corda, ideale e di massa trascurabile, essa deve essere zero. Da cui le equazioni che mi ricavo sono:
\(\displaystyle F^{ris}= T + F^x - m^1g \) per quanto riguarda la scimmia ( \(\displaystyle F^x \) è quella che la corda applica sulla scimmia) e ovviamente tale risultante deve essere uguale a \(\displaystyle m^1*a \).
Per la corda invece \(\displaystyle F^{ris} = T -F^x - m^1g = 0 \).
Ovviamente il blocco si alza quando \(\displaystyle T^2 \), la tensione all'altro capo della carrucola è uguale alla forza peso del blocco: \(\displaystyle T^2=m^2g =T \).
Risolvendo questo sistema ottengo che \(\displaystyle a = (2m^2/m^1 - 2)*g \). (Quest'ultimo passaggio l'ho fatto a mente ora, ma credo sia corretto).
Vi convince il tutto?
"All'estremità di una carrucola ideale (no attriti, massa trascurabile) è collegato con una corda ideale (inestensibile e massa trascurabile) un blocco di massa 16 kg, posato al suolo. All'altra estremità della carrucola, sollevata rispetto al suolo, si trova una scimmia di 12 kg. Calcolare l'accelerazione massima che può avere la scimmia senza che il blocco si alzi."
Io l'ho impostato facendo una considerazione: per salire la scimmia applica una forza verso il basso sulla corda. Per il terzo principio quest'ultima applica sulla scimmia una forza uguale in modulo ma diretta verso l'alto (la spinta con cui l'animaletto sale). Ma se la risultante sulla scimmia deve essere diversa da zero, per la corda, ideale e di massa trascurabile, essa deve essere zero. Da cui le equazioni che mi ricavo sono:
\(\displaystyle F^{ris}= T + F^x - m^1g \) per quanto riguarda la scimmia ( \(\displaystyle F^x \) è quella che la corda applica sulla scimmia) e ovviamente tale risultante deve essere uguale a \(\displaystyle m^1*a \).
Per la corda invece \(\displaystyle F^{ris} = T -F^x - m^1g = 0 \).
Ovviamente il blocco si alza quando \(\displaystyle T^2 \), la tensione all'altro capo della carrucola è uguale alla forza peso del blocco: \(\displaystyle T^2=m^2g =T \).
Risolvendo questo sistema ottengo che \(\displaystyle a = (2m^2/m^1 - 2)*g \). (Quest'ultimo passaggio l'ho fatto a mente ora, ma credo sia corretto).
Vi convince il tutto?
Risposte
Sperando di aver capito bene il modello del problema...
Da un lato hai il blocco di 16 kg e dall'altro la scimmia di 12 kg.
Supponendo che i due bracci siano uguali possiamo ragionare semplicemente in termini di forza e non di momento torcente.
Quindi:
\(\displaystyle F_b = F_s \)
\(\displaystyle m_b \cdot g = m_s \cdot (g+a) \)
La tua incognita è 'a'.
Da un lato hai il blocco di 16 kg e dall'altro la scimmia di 12 kg.
Supponendo che i due bracci siano uguali possiamo ragionare semplicemente in termini di forza e non di momento torcente.
Quindi:
\(\displaystyle F_b = F_s \)
\(\displaystyle m_b \cdot g = m_s \cdot (g+a) \)
La tua incognita è 'a'.
Premetto che la scimmia parte da una certa altezza (non specifica); non che questo cambi molto.
Comunque i nostri risultati sono analoghi a parte per un mio fattore 2. Da dove esce fuori? (E quindi dove ho sbagliato)
Comunque i nostri risultati sono analoghi a parte per un mio fattore 2. Da dove esce fuori? (E quindi dove ho sbagliato)
Non è detto che tu abbia sbagliato, stiamo cercando di capirlo insieme (hai svolto i calcoli e confrontato con le soluzioni del tuo libro?) 
Io non ho capito bene la T nelle tue equazioni a cosa corrisponde, prova a spiegare meglio i tuoi ragionamenti.
In ogni caso questo non va molto bene:
La scimmia sale poichè applica una forza verso il basso, controbilanciata dal blocco, non dalla carrucola stessa (abbiamo detto che la massa della carrucola e della corda sono trascurabili).
Io non ho capito bene la T nelle tue equazioni a cosa corrisponde, prova a spiegare meglio i tuoi ragionamenti.
In ogni caso questo non va molto bene:
per salire la scimmia applica una forza verso il basso sulla corda. Per il terzo principio quest'ultima applica sulla scimmia una forza uguale in modulo ma diretta verso l'alto (la spinta con cui l'animaletto sale).
La scimmia sale poichè applica una forza verso il basso, controbilanciata dal blocco, non dalla carrucola stessa (abbiamo detto che la massa della carrucola e della corda sono trascurabili).
Era senza soluzione!
Comunque ti spiego bene come l'ho impostato. La T è la tensione sulla corda, che ovviamente, per il fatto che tutti gli "attrezzi" sono ideali, richiede che:
-controbilanci tutte le forze agenti sulla corda, su di essa infatti la risultante deve essere uguale a zero, non è che (o per lo meno credo) non vi si possano applicare forze a priori.
-la tensione della corda "a sinistra" della carrucola e quella "a destra" (che io ho chiamato T2) devono essere uguali in modulo (perchè anche sulla carrucola, di massa trascurabile la risultante delle forze (espressa proprio da T1+T2) deve essere uguale a 0.)
Permetto che queste considerazioni su corde e carrucole ideali (in particolare in merito alle tensioni) ci sono state spiegate così. Ora, a me come discorso (anche teorico) convince, però se magari sono delle "regole pratiche" che funziona ma formalmente sono poco corrette, dimmelo che mi piacerebbe molto saper trattare bene l'argomento non soltanto a livello di esercizio.
Detto questo, per impostare l'esercizio semplicemente ho ricavato un sistema che prendeva in esame (per lo meno in teoria) tutti i 5 corpi (3 attrezzi ideali, blocco e scimmia). Gli oggetti ideali avranno come risultante 0.
-Sul blocco era richiesto che Rn dovesse essere uguale a zero (quando si solleva), cioè la tensione della corda uguale alla forza peso.
-Sulla corda tra il blocco e la carrucola è richiesto che la tensione a un estremo sia uguale a quella all'altro estremo.
-Sulla carrucola è richiesto che la tensione tra la prima parte di cavo sia uguale a quella della seconda.
-Sulla corda tra su cui sale la scimmia è richiesto che la tensione controbilanci la forza verso il basso della scimmia e la sua forza peso.
-Sulla scimmia è applicato il secondo principio dove le forze positive sono tensione della corda e forza verso l'alto, quella negativa la forza peso.
Ho 4 incognite, T1, T2, F e T, risolvo così in funzione di a della scimmia e il risultato è ( dovrebbe ;D) essere quello che ho riportato.
Ti convince?
Comunque ti spiego bene come l'ho impostato. La T è la tensione sulla corda, che ovviamente, per il fatto che tutti gli "attrezzi" sono ideali, richiede che:
-controbilanci tutte le forze agenti sulla corda, su di essa infatti la risultante deve essere uguale a zero, non è che (o per lo meno credo) non vi si possano applicare forze a priori.
-la tensione della corda "a sinistra" della carrucola e quella "a destra" (che io ho chiamato T2) devono essere uguali in modulo (perchè anche sulla carrucola, di massa trascurabile la risultante delle forze (espressa proprio da T1+T2) deve essere uguale a 0.)
Permetto che queste considerazioni su corde e carrucole ideali (in particolare in merito alle tensioni) ci sono state spiegate così. Ora, a me come discorso (anche teorico) convince, però se magari sono delle "regole pratiche" che funziona ma formalmente sono poco corrette, dimmelo che mi piacerebbe molto saper trattare bene l'argomento non soltanto a livello di esercizio.
Detto questo, per impostare l'esercizio semplicemente ho ricavato un sistema che prendeva in esame (per lo meno in teoria) tutti i 5 corpi (3 attrezzi ideali, blocco e scimmia). Gli oggetti ideali avranno come risultante 0.
-Sul blocco era richiesto che Rn dovesse essere uguale a zero (quando si solleva), cioè la tensione della corda uguale alla forza peso.
-Sulla corda tra il blocco e la carrucola è richiesto che la tensione a un estremo sia uguale a quella all'altro estremo.
-Sulla carrucola è richiesto che la tensione tra la prima parte di cavo sia uguale a quella della seconda.
-Sulla corda tra su cui sale la scimmia è richiesto che la tensione controbilanci la forza verso il basso della scimmia e la sua forza peso.
-Sulla scimmia è applicato il secondo principio dove le forze positive sono tensione della corda e forza verso l'alto, quella negativa la forza peso.
Ho 4 incognite, T1, T2, F e T, risolvo così in funzione di a della scimmia e il risultato è ( dovrebbe ;D) essere quello che ho riportato.
Ti convince?
Un esercizio di questo tipo non l'ho mai risolto facendo tutti questi ragionamenti sulla tensione, ma semplicemente sulle forze (quando abbiamo stessi bracci) esercitate dai due corpi 
Comunque provando come dici tu, non capisco il senso della prima equazione da te impostata..
m1 è la massa di cosa? della scimmia?
Allora perchè fai Fx (forza esercitata dalla scimmia) meno m1*g? Sono la stessa cosa e il risultato di questa sottrazione deve dare sempre 0.
Comunque provando come dici tu, non capisco il senso della prima equazione da te impostata..
m1 è la massa di cosa? della scimmia?
Allora perchè fai Fx (forza esercitata dalla scimmia) meno m1*g? Sono la stessa cosa e il risultato di questa sottrazione deve dare sempre 0.
Aspetta, forze c'è un fraintendimento di base. Visto che il problema richiedeva che la scimmia salisse, io ho supposto che essa esercitasse una forza sulla corda indipendente in modulo dalla forza peso. (Cioè che tirasse la corda verso il basso, che è diverso dal semplice appendersi). Quindi perchè queste due forze dovrebbero essere uguali?
Credo di aver capito come hai ragionato...
Se è come penso, hai sbagliato l'ultima equazione, che risulta invece uguale a:
\(\displaystyle a = \frac{g(m_2-m_1)}{m_1} \)
La ottieni partendo da questa (come hai fatto):
\(\displaystyle m_2g-m_1g-m_1a=0 \)
Se è come penso, hai sbagliato l'ultima equazione, che risulta invece uguale a:
\(\displaystyle a = \frac{g(m_2-m_1)}{m_1} \)
La ottieni partendo da questa (come hai fatto):
\(\displaystyle m_2g-m_1g-m_1a=0 \)
Per il blocco di massa \(M\) si ha che
\[Mg-T-N=0\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}N=Mg-T\]
ora la condizione per cui il blocco non si alzi è
\[N=Mg-T>0\]
infatti se non fosse \(N>0\) il piano eserciterebbe una forza attrattiva sul blocco (il che non è possibile).
Per la scimmia di massa \(m\) invece (ponendo come \(F\) la forza applicata sulla stessa diretta verso il suolo) si ha che
\[mg-T+F=0\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}T=mg+F\]
che sostituita nella precedente
\[Mg-mg-F=(M-m)g-F>0\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}F<(M-m)g\]
ora la forza \(\vec{F}\) "imprimerà" un'accelerazione \(\vec{a}'\) alla scimmia per cui
\[a'<\frac{(M-m)}{m}g\]
\[Mg-T-N=0\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}N=Mg-T\]
ora la condizione per cui il blocco non si alzi è
\[N=Mg-T>0\]
infatti se non fosse \(N>0\) il piano eserciterebbe una forza attrattiva sul blocco (il che non è possibile).
Per la scimmia di massa \(m\) invece (ponendo come \(F\) la forza applicata sulla stessa diretta verso il suolo) si ha che
\[mg-T+F=0\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}T=mg+F\]
che sostituita nella precedente
\[Mg-mg-F=(M-m)g-F>0\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}F<(M-m)g\]
ora la forza \(\vec{F}\) "imprimerà" un'accelerazione \(\vec{a}'\) alla scimmia per cui
\[a'<\frac{(M-m)}{m}g\]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo