Problema di cinematica
Rieccomi..
ieri il prof ha dato un problema ad un mio compagno interrogato..
"due treni che viaggiano a velocità rispettivamente di 72 km/h e 144 km/h si muovono l'uno contro l'altro su un binario. A 950m di distanza si accorgono di quanto sta per avvenire e ciascuno avvisa l'altro macchinista ed inizia a frenare. Verificate se avviene lo scontro tra i due treni. In caso affermativo calcolate la velocità di scontro o altrimenti la distanza tra i terni arrestati."
ho provato a risolverlo,ma non sono affatto convinto.
La prima cosa che ho osservato è che entrambi si muovono di moto decelerato e che in due percorrono i 950m. Quindi ho imposto l'uguaglianza somma degli spazi=950 e per ciascuno spazio ho sostituito la formula del moto unif accelerato sostituendo alla velocità iniziale i valori dati, Ho così ottenuto un'equazione di secondo grado, di incognita t che è l'istante in cui si incontrano. Dato che si incontrano lo scontro avviene..
è giusto? se no,mi date la soluzione o comunque mi indicate il giusto procedimento?
Grazie
ieri il prof ha dato un problema ad un mio compagno interrogato..
"due treni che viaggiano a velocità rispettivamente di 72 km/h e 144 km/h si muovono l'uno contro l'altro su un binario. A 950m di distanza si accorgono di quanto sta per avvenire e ciascuno avvisa l'altro macchinista ed inizia a frenare. Verificate se avviene lo scontro tra i due treni. In caso affermativo calcolate la velocità di scontro o altrimenti la distanza tra i terni arrestati."
ho provato a risolverlo,ma non sono affatto convinto.
La prima cosa che ho osservato è che entrambi si muovono di moto decelerato e che in due percorrono i 950m. Quindi ho imposto l'uguaglianza somma degli spazi=950 e per ciascuno spazio ho sostituito la formula del moto unif accelerato sostituendo alla velocità iniziale i valori dati, Ho così ottenuto un'equazione di secondo grado, di incognita t che è l'istante in cui si incontrano. Dato che si incontrano lo scontro avviene..
è giusto? se no,mi date la soluzione o comunque mi indicate il giusto procedimento?
Grazie
Risposte
A me sembra che manchi un dato (la decelerazione?).
Comunque il tuo ragionamento mi sembra corretto.
Comunque il tuo ragionamento mi sembra corretto.
HJai ragione mi sono mangiato una riga
"due treni che viaggiano a velocità rispettivamente di 72 km/h e 144 km/h si muovono l'uno contro l'altro su un binario. A 950m di distanza si accorgono di quanto sta per avvenire e ciascuno avvisa l'altro macchinista ed inizia a frenare. Verificate se avviene lo scontro tra i due treni se essi frenano con una decelerazione di 1 metro al secondo quadrato. In caso affermativo calcolate la velocità di scontro o altrimenti la distanza tra i terni arrestati."
Grazie io ancora non ho capito cosa devo fare
"due treni che viaggiano a velocità rispettivamente di 72 km/h e 144 km/h si muovono l'uno contro l'altro su un binario. A 950m di distanza si accorgono di quanto sta per avvenire e ciascuno avvisa l'altro macchinista ed inizia a frenare. Verificate se avviene lo scontro tra i due treni se essi frenano con una decelerazione di 1 metro al secondo quadrato. In caso affermativo calcolate la velocità di scontro o altrimenti la distanza tra i terni arrestati."
Grazie io ancora non ho capito cosa devo fare
Anche se abbastanza semplice questo problema è interessante per un motivo: le equazioni di 2° grado che rappresentano l'andamento dei treni nello spazio non possono venire considerate valide per ogni istante t da 0 a infinito, poiché quando i treni raggiungono velocità zero si fermano, non tornano indietro, per cui l'equazione di secondo grado che tu imposti, che invece è valida per ogni t da 0 a infinito, non rappresenta bene la realtà.
Questo complica le cose, per cui costringe a ragionare in modo fisico oltre che matematico.
Mi spiego affrontando il problema.
L'equazione dice che quando la somma degli spazi percorsi frenando è uguale a 950 metri i treni si incontrano. Provo a impostarla:
$20t - 0,5t^2 + 40t - 0,5t^2 = 950$
Questa equazione non ha soluzioni reali, per cui sembrerebbe che i treni non si scontrassero. Se però vado a valutare lo spazio percorso dai singoli treni scopro una cosa interessante.
Il tempo di frenata è quello nel quale la velocità del treno si azzera, dunque per il treno lento occorrono 20 secondi, per il treno veloce ne occorrono 40. Mettendo questi valori nelle singole equazioni ottengo:
$400 - 0,5 \cdot 400 = 200 m$
$1600 - 0,5 \cdot 1600 = 800 m$
Da cui scopro che la somma degli spazi di frenata calcolati singolarmente è maggiore di 950!
Il motivo di questa apparente incongruenza sta in ciò che ho detto in premessa.
Allora devo ragionare in altro modo.
Poiché sono certo che il treno che si ferma prima è quello più lento e so che si ferma in 20 secondi a distanza di 200 m, verifico che a quell'istante il treno veloce sia ancora lontano. Pongo t=20 nell'equazione del treno veloce e scopro:
$40\cdot 20 - 0,5 \cdot 400 = 600 m$
Dunque quando il treno lento è fermo e si trova a 200 metri dal punto in cui ha iniziato a frenare, il treno veloce si trova a 600 m dal punto in cui ha iniziato a frenare. La somma di questi spazi è 800 m che è minore di 950 m per cui i treni non si sono ancora incontrati.
Alora ciò che ho scoperto è che il treno lento e il treno veloce si scontreranno, però al momento dello scontro la velocità del treno lento sarà zero (treno fermo a 200 metri dal punto in cui ha iniziato a frenare).
Allora adesso posso ragionare solo sul treno veloce, imponendo uno spazio per lui disponibile di 950-200=750 m
$40t - 0,5t^2 = 750 m$
Risolvendo l'equazione trovo t=30, che è il tempo nel quale il treno veloce raggiunge il punto dove si è fermato il treno lento. Sapendo che $v=v_0-at$ scopo che per t=30 la velocità è 10 m/s, che è la velocità con la quale il treno veloce si scontra col treno lento, che invece è lì fermo ad aspettarlo già da 10 secondi.
Adesso appare chiaro il motivo per il quale l'equazione originaria non dava soluzione: se il treno lento invece di stare fermo ad aspettare lo scontro avesse iniziato a retrocedere con accelerazione 1 m/s^2 (fenomeno implicito nell'equazione generale di secondo grado), sarebbe riuscito a scappare in tempo e il treno veloce non l'avrebbe raggiunto.
Questo complica le cose, per cui costringe a ragionare in modo fisico oltre che matematico.
Mi spiego affrontando il problema.
L'equazione dice che quando la somma degli spazi percorsi frenando è uguale a 950 metri i treni si incontrano. Provo a impostarla:
$20t - 0,5t^2 + 40t - 0,5t^2 = 950$
Questa equazione non ha soluzioni reali, per cui sembrerebbe che i treni non si scontrassero. Se però vado a valutare lo spazio percorso dai singoli treni scopro una cosa interessante.
Il tempo di frenata è quello nel quale la velocità del treno si azzera, dunque per il treno lento occorrono 20 secondi, per il treno veloce ne occorrono 40. Mettendo questi valori nelle singole equazioni ottengo:
$400 - 0,5 \cdot 400 = 200 m$
$1600 - 0,5 \cdot 1600 = 800 m$
Da cui scopro che la somma degli spazi di frenata calcolati singolarmente è maggiore di 950!
Il motivo di questa apparente incongruenza sta in ciò che ho detto in premessa.
Allora devo ragionare in altro modo.
Poiché sono certo che il treno che si ferma prima è quello più lento e so che si ferma in 20 secondi a distanza di 200 m, verifico che a quell'istante il treno veloce sia ancora lontano. Pongo t=20 nell'equazione del treno veloce e scopro:
$40\cdot 20 - 0,5 \cdot 400 = 600 m$
Dunque quando il treno lento è fermo e si trova a 200 metri dal punto in cui ha iniziato a frenare, il treno veloce si trova a 600 m dal punto in cui ha iniziato a frenare. La somma di questi spazi è 800 m che è minore di 950 m per cui i treni non si sono ancora incontrati.
Alora ciò che ho scoperto è che il treno lento e il treno veloce si scontreranno, però al momento dello scontro la velocità del treno lento sarà zero (treno fermo a 200 metri dal punto in cui ha iniziato a frenare).
Allora adesso posso ragionare solo sul treno veloce, imponendo uno spazio per lui disponibile di 950-200=750 m
$40t - 0,5t^2 = 750 m$
Risolvendo l'equazione trovo t=30, che è il tempo nel quale il treno veloce raggiunge il punto dove si è fermato il treno lento. Sapendo che $v=v_0-at$ scopo che per t=30 la velocità è 10 m/s, che è la velocità con la quale il treno veloce si scontra col treno lento, che invece è lì fermo ad aspettarlo già da 10 secondi.
Adesso appare chiaro il motivo per il quale l'equazione originaria non dava soluzione: se il treno lento invece di stare fermo ad aspettare lo scontro avesse iniziato a retrocedere con accelerazione 1 m/s^2 (fenomeno implicito nell'equazione generale di secondo grado), sarebbe riuscito a scappare in tempo e il treno veloce non l'avrebbe raggiunto.
Complimenti per la spiegazione, davvero ottima. Vorrei sapere se è possibile comunque utilizzare l'equazione di secondo grado proposta all'inizio magari con qualche modifica/restrizione. Grazie!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo