Problema di cinematica.
Mi servirebbe aiuto con il problema 25 del capitolo 1 del libro "Problemi di fisica generale" di Rosati, Casali.
La tracciaé la seguente:
un cannone situato al livello del suolo é puntato contro un bersaglio posto ad altezza h; la distanza tra la bocca del cannone e la verticale passante per il bersaglio sul suolo é d. Nell'istante in cui il cannone spara un proiettile con velocità di modulo v, il bersaglio viene lasciuato cadere liberamente: supponendo trascurabile la resistenza dell'aria, si determini il valore Vo tale che se V>Vo il proiettile colpisce sicuramente il bersaglio.
Aggiungo che il risultato è:
Vo= $ (g*(h^2+d^2)/(2h))^(1/2) $
La tracciaé la seguente:
un cannone situato al livello del suolo é puntato contro un bersaglio posto ad altezza h; la distanza tra la bocca del cannone e la verticale passante per il bersaglio sul suolo é d. Nell'istante in cui il cannone spara un proiettile con velocità di modulo v, il bersaglio viene lasciuato cadere liberamente: supponendo trascurabile la resistenza dell'aria, si determini il valore Vo tale che se V>Vo il proiettile colpisce sicuramente il bersaglio.
Aggiungo che il risultato è:
Vo= $ (g*(h^2+d^2)/(2h))^(1/2) $
Risposte
Allora, ci provo, ma premetto che la mia soluzione differisce un po' da quella del Rosati. Se magari poi qualcuno più esperto di me dà un'occhiata è meglio... 
Dunque, la mia idea avrebbe quella di scrivere le equazioni del moto per il proiettile e per il bersaglio usando la stessa coordinata temporale e poi imporre che a un certo istante le due posizioni coincidano.
Proiettile:
$ x_P(t) = v_(0x)t -1/2g t^2 = v_0cos theta *t -1/2g t^2 $
$ y_P(t) = v_(0y)t -1/2g t^2 = v_0 sin theta*t -1/2g t^2 $
Bersaglio:
$ x_B(t) = d $
$ y_B(t) = h - 1/2g t^2 $
Adesso impongo che all'istante di collisione $ t=t_c$ si abbia $ x_P(t_c) = x_B(t_c) $ e $ y_P(t_c) = y_B(t_c) $.
$ v_0cos theta * t_c = d $
$ v_0 sin theta*t_c -1/2g t_c^2 = h - 1/2g t_c^2 $ che diventa $ v_0 sin theta*t_c - = h $
Ora, ricavando $ t_c$ dalla prima relazione e sostituendolo nella seconda, o meglio ancora dividendo membro a membro, si elimina non solo $t_c$ ma anche $v_0$
e si ottiene:
$ tg theta = h/d $
Quindi la dipendenza dal modulo della velocità iniziale sembra sparire. Ragionandoci un po' però mi sono resa conto che a rigore ci sarebbe ancora una condizione da imporre e cioè che il tutto avvenga prima che il bersaglio arrivi al suolo, ossia in pratica mi serve che $ y_B(t_c) gt 0 $. Allora:
$ h - 1/2g t_c^2 gt 0 $
con $t_c$ ricavato dalla prima equazione lassù ovvero:
$ t_c = d/(v_0 cos theta) $
Il che con un po' di algebra porta infine a:
$ v_0 gt d/(cos theta) *sqrt(g/(2h))$
...il che torna abbastanza con il risultato del Rosati, ma la soluzione del testo è priva di quel fattore $cos theta$ a denominatore. Possiamo spiegarcelo con un po' di fantasia pensando che stiamo cercando un valore MINIMO di $v0$ e pertanto scegliamo il valore di $cos theta$ che rende minimo il secondo membro della disuguaglianza...ossia, appunto, 1.
Che dite?
Dunque, la mia idea avrebbe quella di scrivere le equazioni del moto per il proiettile e per il bersaglio usando la stessa coordinata temporale e poi imporre che a un certo istante le due posizioni coincidano.
Proiettile:
$ x_P(t) = v_(0x)t -1/2g t^2 = v_0cos theta *t -1/2g t^2 $
$ y_P(t) = v_(0y)t -1/2g t^2 = v_0 sin theta*t -1/2g t^2 $
Bersaglio:
$ x_B(t) = d $
$ y_B(t) = h - 1/2g t^2 $
Adesso impongo che all'istante di collisione $ t=t_c$ si abbia $ x_P(t_c) = x_B(t_c) $ e $ y_P(t_c) = y_B(t_c) $.
$ v_0cos theta * t_c = d $
$ v_0 sin theta*t_c -1/2g t_c^2 = h - 1/2g t_c^2 $ che diventa $ v_0 sin theta*t_c - = h $
Ora, ricavando $ t_c$ dalla prima relazione e sostituendolo nella seconda, o meglio ancora dividendo membro a membro, si elimina non solo $t_c$ ma anche $v_0$
e si ottiene:$ tg theta = h/d $
Quindi la dipendenza dal modulo della velocità iniziale sembra sparire. Ragionandoci un po' però mi sono resa conto che a rigore ci sarebbe ancora una condizione da imporre e cioè che il tutto avvenga prima che il bersaglio arrivi al suolo, ossia in pratica mi serve che $ y_B(t_c) gt 0 $. Allora:
$ h - 1/2g t_c^2 gt 0 $
con $t_c$ ricavato dalla prima equazione lassù ovvero:
$ t_c = d/(v_0 cos theta) $
Il che con un po' di algebra porta infine a:
$ v_0 gt d/(cos theta) *sqrt(g/(2h))$
...il che torna abbastanza con il risultato del Rosati, ma la soluzione del testo è priva di quel fattore $cos theta$ a denominatore. Possiamo spiegarcelo con un po' di fantasia pensando che stiamo cercando un valore MINIMO di $v0$ e pertanto scegliamo il valore di $cos theta$ che rende minimo il secondo membro della disuguaglianza...ossia, appunto, 1.
Che dite?
Oh, ho letto adesso la modifica. La mia edizione del Rosati, che è quella di quando studiava mia mamma e probabilmente Rosati stesso era giovane 
, porta un altro risultato. 
Se il risultato riveduto e corretto è quello che dici, allora torna tutto, è immediato constatare che $ cos theta = d/sqrt(d^2 + h^2) $ e la mia soluzione coincide con la sua.
, porta un altro risultato. Se il risultato riveduto e corretto è quello che dici, allora torna tutto, è immediato constatare che $ cos theta = d/sqrt(d^2 + h^2) $ e la mia soluzione coincide con la sua.
Io ho fatto esattamente come te, solo che ho tirato in ballo l'equazione della traiettoria sostituendo il tempo, ma niente, l'ultima cosa a cui sono giunto è:
$(d^2)/(2(Vo^2)*(cos(alpha))) = (h^2)/(2(Vo^2)*(sin(alpha)))$
$(d^2)/(2(Vo^2)*(cos(alpha))) = (h^2)/(2(Vo^2)*(sin(alpha)))$
Grazie mille! Ho la prova il 17 e sto cercando di farlo dalle 2 
! Mi hai salvato.... 
! Mi hai salvato....
Figurati, è stato un piacere vincere contro un problema del Rosati! Una delle ragioni per cui non ho fatto fisica è che cimentandomi con lui a volte non me la so cavare se non dopo averci provato un giorno intero.
Una delle ragioni per cui non ho fatto fisica è che cimentandomi con lui a volte non me la so cavare se non dopo averci provato un giorno intero.
Io invece sono iscritto a fisica, ormai non ho scelta!
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