Problema di cinematica.
Questo problema é contenuto nel libro:
"Problemi di fisica generale" (vol. 1) di Sergio Rosati e Roberto Casali.
É il numero 32, capitolo 1, pagina 26. É un problema svolto, ma non ho capito il passaggio:
" [...] Dalle due ultime relazioni, eliminando il parametro t, si deduce l'equazione della traiettoria:
z = h - (g/(2 v^2)) x^2
E la relazione:
dz/dt=-(2g(h-z))^1/2. "
Le due ultime relazioni a cui fa riferimento sono le equazioni delle componenti della velocità lungo gli assi, facilmente deducibili.
la traccia dice:
" Un corpo viene lanciato orizzontalmente da altezza h rispetto al suolo, con velocità v.
Trascurando la resistenza dell'aria si calcoli:
a) la componente tangenziale aT e quella normale aN dell'accelerazione del corpo rispetto alla traiettoria, in un generico punto ad altezza z;
[...] "
Vi chiedo scusa per il modo in cui ho scritto le formule, ma devo ancora imparare a renderle "leggibili". Grazie per la disponibilità.
"Problemi di fisica generale" (vol. 1) di Sergio Rosati e Roberto Casali.
É il numero 32, capitolo 1, pagina 26. É un problema svolto, ma non ho capito il passaggio:
" [...] Dalle due ultime relazioni, eliminando il parametro t, si deduce l'equazione della traiettoria:
z = h - (g/(2 v^2)) x^2
E la relazione:
dz/dt=-(2g(h-z))^1/2. "
Le due ultime relazioni a cui fa riferimento sono le equazioni delle componenti della velocità lungo gli assi, facilmente deducibili.
la traccia dice:
" Un corpo viene lanciato orizzontalmente da altezza h rispetto al suolo, con velocità v.
Trascurando la resistenza dell'aria si calcoli:
a) la componente tangenziale aT e quella normale aN dell'accelerazione del corpo rispetto alla traiettoria, in un generico punto ad altezza z;
[...] "
Vi chiedo scusa per il modo in cui ho scritto le formule, ma devo ancora imparare a renderle "leggibili". Grazie per la disponibilità.
Risposte
È semplice...puoi procedere così dalle "ultime due relazioni". Ricavi t dalla prima:
$ t= x/v_0 $
Poi lo sostituisci nella seconda:
$ y = h_0 - 1/2 g (x/v_0)^2 = h_0 - g/(2v_0^2)x^2 $
Per ricavare l'ultima invece prendi sempre la seconda relazione (quella che esprime y) e ne ricavi t, in questo modo:
$ 1/2g t^2 = y-h_0 $ da cui $ t = sqrt(2(h_0-y)/g ) $ e infine $ g t = g sqrt(2(h_0-y)/g) = sqrt(2(h_0-y)g $
Quindi
$ dy/dt = - sqrt(2(h_0-y)g $
$ t= x/v_0 $
Poi lo sostituisci nella seconda:
$ y = h_0 - 1/2 g (x/v_0)^2 = h_0 - g/(2v_0^2)x^2 $
Per ricavare l'ultima invece prendi sempre la seconda relazione (quella che esprime y) e ne ricavi t, in questo modo:
$ 1/2g t^2 = y-h_0 $ da cui $ t = sqrt(2(h_0-y)/g ) $ e infine $ g t = g sqrt(2(h_0-y)/g) = sqrt(2(h_0-y)g $
Quindi
$ dy/dt = - sqrt(2(h_0-y)g $
Quindi se ho capito bene, esprime la derivata di y rispetto al tempo (cioè la velocità lungo l'asse y?), eliminando il parametro t.
Esattamente! 
Grazie mille!!
Di nulla
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