Problema d'esame (meccanica quantistica)
Il deutone è costituto da un protone ed un neutrone in uno stato con $j=1$ $s=1$ e $l$ dominantemente $0$ con una piccola frazione di $l=2$.
a)Si scriva la funzione d'onda del deutone nello stato $m=1$( rispetto all'asse $z$ nel sistema del centro di massa) indicando con u(r)(con $l=0,2$) le funzioni
d'onda radiali.
B)Si calcoli la probabilità che la proiezione sull'asse $z$ dello spin del protone sia $-1/2h$ in questo stato.
Purtroppo all'esame non sono riuscito a farlo. cosa significa dominantemente 0 con una piccola frazione di $l=2$? visto che c'è spin immagino che bisogna usare le funzioni angolari di spin che io non ho trovato sul sakurai? Mi potete aiutare? grazie
a)Si scriva la funzione d'onda del deutone nello stato $m=1$( rispetto all'asse $z$ nel sistema del centro di massa) indicando con u(r)(con $l=0,2$) le funzioni
d'onda radiali.
B)Si calcoli la probabilità che la proiezione sull'asse $z$ dello spin del protone sia $-1/2h$ in questo stato.
Purtroppo all'esame non sono riuscito a farlo. cosa significa dominantemente 0 con una piccola frazione di $l=2$? visto che c'è spin immagino che bisogna usare le funzioni angolari di spin che io non ho trovato sul sakurai? Mi potete aiutare? grazie
Risposte
up
uppla
Ciao! Ho una proposta di soluzione.
Il deutone va considerato come un sistema libero da potenziali esterni; spin e momento angolare ($vecS$ e $vecJ$) sono rispettivamente la composizione degli spin e dei momenti angolari del protone e del neutrone, che però non conosciamo singolarmente (tra l'altro, queste non sono neanche particelle elementari e la faccenda si complica ulteriormente...).
a) Se $l=0$, lo stato $alpha$ in cui si trova il deutone è $|alpha>_0 = |j=1,m_j=1> -> |m_l=0> |m_s=1>$ (il momento è puramente di spin).
Se $l=1$, dalla tabella dei "Flash-Gordon" ($2*1$) si trova
$|alpha>_2 -> |j=1,m_j=1> -> sqrt(3/5) |m_l=2>|m_s=-1> - sqrt(3/10) |m_l=1>|m_s=0> + sqrt(1/10) |m_l=0>|m_s=1>$
Il tutto si può compattare scrivendo:
$|alpha>_l = l/2 [sqrt(3/5) |m_l=2>|m_s=-1> - sqrt(3/10) |m_l=1>|m_s=0>] + sqrt((10 - 9/2 l)/10) |m_l=0,m_s=1>$
Infatti, al variare di $l$, come puoi verificare, ottieni i due stati scritti in precedenza. Se ora si moltiplica tutto da sinistra per il bra $
$psi_(1,l) = u_l (r) {l/2 [sqrt(3/5) (Y_2)^l |m_s=-1> - sqrt(3/10) (Y_1)^l |m_s=0>] + sqrt((10 - 9/2 l )/10) (Y_0)^l |m_s=1>}$
Infatti, $ = u_l (r) (Y_(m_l))^l$ (basta mettere poi $u_l (r)$ in evidenza che è comune a tutti i termini). Questa è la funzione d'onda cercata.
b)Consideriamo adesso solo lo spin, che vale $s=1$; naturalmente, si ha $vecS = vecS_p + vecS_n$. Lo stato richiesto si ha per $m_(sp) = -1/2$.
L'obbiettivo è scrivere ogni ket $|m_s>$ che compare nella funzione d'onda nella cosiddetta "base A", ovvero come $|m_(sp)>|m_(sn)>$
Sappiamo, però, che le uniche combinazioni che non danno zero sono quelle per cui $m_s = m_(sp) + m_(sn)$, quindi:
se $m_s = 1$, allora $m_(sn) = 3/2$
se $m_s = 0$, allora $m_(sn) = 1/2$
se $m_s = -1$, allora $m_(sn) = -1/2$
Dai Clebsch-Gordan, dopo attenta analisi si vede che l'unica possibilità affinchè si possano avere combinazioni di questo tipo è che gli spin di protone e neutrone valgano $3/2$ e $1/2$ (o viceversa). Scrivo ora le trasformazioni eliminando già i ket per cui $m_(sp)$ è diverso da $-1/2$ (le proiezioni di questi ket su $
$|m_s=1> = 3/(sqrt4) |m_(sn) = 3/2>|m_(sp) = -1/2>$
$|m_s=0> = sqrt(1/2) |m_(sn) = 1/2>|m_(sp) = -1/2>$
$|m_s=-1> = 1/2 |m_(sn) = -1/2>|m_(sp) = -1/2>$
A questo punto bisogna sostituire queste espressioni nella funzione d'onda trovata e moltiplicare tutto da sinistra per $
Se non ho sbagliato i conti, la probabilità diventa:
$P(l) = 3/40 [l^2 + 3(10 - 3/2 l)]$
Si può fare un test per $l=0$: si ottiene $P(0) = 9/4$. Questo risultato è corretto: infatti lo stato è (vedi sopra) $|alpha>_0 = |m_l = 0>|m_s = 1>$
o anche $|alpha>_0 = 3/(sqrt4) |m_l = 0> |m_(sn) = 3/2> |m_(sp) = -1/2>$
Come si vede, il modulo quadro della proiezione lungo $
Per $l=2$ si ha $P(2) = 21/40$
Il deutone va considerato come un sistema libero da potenziali esterni; spin e momento angolare ($vecS$ e $vecJ$) sono rispettivamente la composizione degli spin e dei momenti angolari del protone e del neutrone, che però non conosciamo singolarmente (tra l'altro, queste non sono neanche particelle elementari e la faccenda si complica ulteriormente...).
a) Se $l=0$, lo stato $alpha$ in cui si trova il deutone è $|alpha>_0 = |j=1,m_j=1> -> |m_l=0> |m_s=1>$ (il momento è puramente di spin).
Se $l=1$, dalla tabella dei "Flash-Gordon" ($2*1$) si trova
$|alpha>_2 -> |j=1,m_j=1> -> sqrt(3/5) |m_l=2>|m_s=-1> - sqrt(3/10) |m_l=1>|m_s=0> + sqrt(1/10) |m_l=0>|m_s=1>$
Il tutto si può compattare scrivendo:
$|alpha>_l = l/2 [sqrt(3/5) |m_l=2>|m_s=-1> - sqrt(3/10) |m_l=1>|m_s=0>] + sqrt((10 - 9/2 l)/10) |m_l=0,m_s=1>$
Infatti, al variare di $l$, come puoi verificare, ottieni i due stati scritti in precedenza. Se ora si moltiplica tutto da sinistra per il bra $
$psi_(1,l) = u_l (r) {l/2 [sqrt(3/5) (Y_2)^l |m_s=-1> - sqrt(3/10) (Y_1)^l |m_s=0>] + sqrt((10 - 9/2 l )/10) (Y_0)^l |m_s=1>}$
Infatti, $
b)Consideriamo adesso solo lo spin, che vale $s=1$; naturalmente, si ha $vecS = vecS_p + vecS_n$. Lo stato richiesto si ha per $m_(sp) = -1/2$.
L'obbiettivo è scrivere ogni ket $|m_s>$ che compare nella funzione d'onda nella cosiddetta "base A", ovvero come $|m_(sp)>|m_(sn)>$
Sappiamo, però, che le uniche combinazioni che non danno zero sono quelle per cui $m_s = m_(sp) + m_(sn)$, quindi:
se $m_s = 1$, allora $m_(sn) = 3/2$
se $m_s = 0$, allora $m_(sn) = 1/2$
se $m_s = -1$, allora $m_(sn) = -1/2$
Dai Clebsch-Gordan, dopo attenta analisi si vede che l'unica possibilità affinchè si possano avere combinazioni di questo tipo è che gli spin di protone e neutrone valgano $3/2$ e $1/2$ (o viceversa). Scrivo ora le trasformazioni eliminando già i ket per cui $m_(sp)$ è diverso da $-1/2$ (le proiezioni di questi ket su $
$|m_s=1> = 3/(sqrt4) |m_(sn) = 3/2>|m_(sp) = -1/2>$
$|m_s=0> = sqrt(1/2) |m_(sn) = 1/2>|m_(sp) = -1/2>$
$|m_s=-1> = 1/2 |m_(sn) = -1/2>|m_(sp) = -1/2>$
A questo punto bisogna sostituire queste espressioni nella funzione d'onda trovata e moltiplicare tutto da sinistra per $
Se non ho sbagliato i conti, la probabilità diventa:
$P(l) = 3/40 [l^2 + 3(10 - 3/2 l)]$
Si può fare un test per $l=0$: si ottiene $P(0) = 9/4$. Questo risultato è corretto: infatti lo stato è (vedi sopra) $|alpha>_0 = |m_l = 0>|m_s = 1>$
o anche $|alpha>_0 = 3/(sqrt4) |m_l = 0> |m_(sn) = 3/2> |m_(sp) = -1/2>$
Come si vede, il modulo quadro della proiezione lungo $
Per $l=2$ si ha $P(2) = 21/40$
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