Problema dei due corpi
Scusate non vorrei dire una sciocchezza ma credo ci sia un errore di stampa sul mio testo...
Dice che $(partial L)/ (partial dot q_k^j)=0$ ma affinchè il moto del baricentro sia rettilineo uniforme, non deve essere $(partial L)/ (partial q_k^j)=0$ ?
Cioè si conserva il momento cinetico coniugato se la coordinata $q_k$ è ciclica $(partial L)/ (partial q_k^j)=0$
Dice che $(partial L)/ (partial dot q_k^j)=0$ ma affinchè il moto del baricentro sia rettilineo uniforme, non deve essere $(partial L)/ (partial q_k^j)=0$ ?
Cioè si conserva il momento cinetico coniugato se la coordinata $q_k$ è ciclica $(partial L)/ (partial q_k^j)=0$
Risposte
Hai ragione, anche se non vedo la necessità di usare $2$ indici.
L'indice in basso serve per le coordinate e quello in alto per le componenti. Immagino.
Grazie
Grazie
Immaginavo qualcosa del genere. Tuttavia, per dare un senso a quella scrittura, bisognerebbe che l'indice $k$ si riferisse alla k-esima particella ($k=1,2,...,N$) e che l'indice $j$ si riferisse alla coordinata j-esima ($j=1,2,3$) della k-esima particella. Ma siccome stavi parlando del centro di massa, la scrittura rimane ancora un po' oscura.
Qui secondo me c'è un problema concettuale amorettina. E se è scritto così sul libro mi preoccupa ancora di più..
Le coordinate lagrangiane definiscono completamente il sistema. In altre parole \(\displaystyle \mathbf{r}_i(\mathbf{q}) \) per ogni punto \(\displaystyle P_i \). Il baricentro è definito anch'esso a partire dalla coordinate \(\displaystyle \mathbf{q} \) infatti \(\displaystyle \mathbf{r}_B(\mathbf{q}) = \left(\sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{r}_i(\mathbf{q})\right)\left(\sum_{i=1}^{N} m_i \right)^{-1} \). Nel caso di due punti si riduce a \(\displaystyle \mathbf{r}_B(\mathbf{q}) = \frac{m_1\mathbf{r}_1(\mathbf{q}) + m_2\mathbf{r}_2(\mathbf{q})}{m_1 + m_2} \).
Se scriviamo i punti nel sistema baricentrale avremo che:
\(\displaystyle \mathbf{r}'_1(\mathbf{q}) = \mathbf{r}_1(\mathbf{q}) - \mathbf{r}_B(\mathbf{q}) = \frac{(m_1+m_2)\mathbf{r}_1(\mathbf{q}) - \left(m_1\mathbf{r}_1(\mathbf{q}) + m_2\mathbf{r}_2(\mathbf{q})\right)}{m_1 + m_2} = \frac{m_2}{m_1+m_2} \left(\mathbf{r}_1(\mathbf{q}) - \mathbf{r}_2(\mathbf{q})\right)\)
\(\displaystyle \mathbf{r}'_2(\mathbf{q}) = \mathbf{r}_2(\mathbf{q}) - \mathbf{r}_B(\mathbf{q}) = \frac{(m_1+m_2)\mathbf{r}_2(\mathbf{q}) - \left(m_1\mathbf{r}_1(\mathbf{q}) + m_2\mathbf{r}_2(\mathbf{q})\right)}{m_1 + m_2} = \frac{m_1}{m_1+m_2} \left(\mathbf{r}_2(\mathbf{q}) - \mathbf{r}_1(\mathbf{q})\right)\)
Si noti che \(\displaystyle \mathbf{r}'_1(\mathbf{q}) = -\frac{m_2}{m_1}\mathbf{r}'_2(\mathbf{q}) \).
Come vedi continuiamo ad usare le stesse coordinate lagrangiane. Ciò che cambia sono le funzioni che associano ad un punto dello spazio delle fasi le coordinate cartesiane di un certo sistema di punti. D'altra parte le funzioni \(\displaystyle T \) e \(\displaystyle V \) dipendono dalla funzioni \(\displaystyle \mathbf{r}_i \) e quindi cambiano al variare del sistema di riferimento.
Detto questo considerando che:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}_k}} - \frac{\partial{L}}{\partial{q_k}} = 0 \)
è evidente che \(\displaystyle \frac{\partial{L}}{\partial{q_k}} = 0 \) se e solo se \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}_k}} = 0 \)
[edit] piccola correzione
Le coordinate lagrangiane definiscono completamente il sistema. In altre parole \(\displaystyle \mathbf{r}_i(\mathbf{q}) \) per ogni punto \(\displaystyle P_i \). Il baricentro è definito anch'esso a partire dalla coordinate \(\displaystyle \mathbf{q} \) infatti \(\displaystyle \mathbf{r}_B(\mathbf{q}) = \left(\sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{r}_i(\mathbf{q})\right)\left(\sum_{i=1}^{N} m_i \right)^{-1} \). Nel caso di due punti si riduce a \(\displaystyle \mathbf{r}_B(\mathbf{q}) = \frac{m_1\mathbf{r}_1(\mathbf{q}) + m_2\mathbf{r}_2(\mathbf{q})}{m_1 + m_2} \).
Se scriviamo i punti nel sistema baricentrale avremo che:
\(\displaystyle \mathbf{r}'_1(\mathbf{q}) = \mathbf{r}_1(\mathbf{q}) - \mathbf{r}_B(\mathbf{q}) = \frac{(m_1+m_2)\mathbf{r}_1(\mathbf{q}) - \left(m_1\mathbf{r}_1(\mathbf{q}) + m_2\mathbf{r}_2(\mathbf{q})\right)}{m_1 + m_2} = \frac{m_2}{m_1+m_2} \left(\mathbf{r}_1(\mathbf{q}) - \mathbf{r}_2(\mathbf{q})\right)\)
\(\displaystyle \mathbf{r}'_2(\mathbf{q}) = \mathbf{r}_2(\mathbf{q}) - \mathbf{r}_B(\mathbf{q}) = \frac{(m_1+m_2)\mathbf{r}_2(\mathbf{q}) - \left(m_1\mathbf{r}_1(\mathbf{q}) + m_2\mathbf{r}_2(\mathbf{q})\right)}{m_1 + m_2} = \frac{m_1}{m_1+m_2} \left(\mathbf{r}_2(\mathbf{q}) - \mathbf{r}_1(\mathbf{q})\right)\)
Si noti che \(\displaystyle \mathbf{r}'_1(\mathbf{q}) = -\frac{m_2}{m_1}\mathbf{r}'_2(\mathbf{q}) \).
Come vedi continuiamo ad usare le stesse coordinate lagrangiane. Ciò che cambia sono le funzioni che associano ad un punto dello spazio delle fasi le coordinate cartesiane di un certo sistema di punti. D'altra parte le funzioni \(\displaystyle T \) e \(\displaystyle V \) dipendono dalla funzioni \(\displaystyle \mathbf{r}_i \) e quindi cambiano al variare del sistema di riferimento.
Detto questo considerando che:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}_k}} - \frac{\partial{L}}{\partial{q_k}} = 0 \)
è evidente che \(\displaystyle \frac{\partial{L}}{\partial{q_k}} = 0 \) se e solo se \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}_k}} = 0 \)
[edit] piccola correzione
Scusate ma al di la delle considerazioni, la seguente affermazione vi sembra gusta o sbagliata?
"Poichè le tre cordinate del baricentro sono cicliche allora, lungo il moto, si conservano i loro momenti cinetici coniungati, cioè $(partial L)/(partial dot x_G^k)=0$ implica $(partial L)/(partial dot x_G^k)=(m_1+m_2)dot x_G^k=costante$"
Io penso che la prima equazione sia $(partial L)/(partial x_G^k)=0$ e non $(partial L)/(partial dot x_G^k)=0$
"Poichè le tre cordinate del baricentro sono cicliche allora, lungo il moto, si conservano i loro momenti cinetici coniungati, cioè $(partial L)/(partial dot x_G^k)=0$ implica $(partial L)/(partial dot x_G^k)=(m_1+m_2)dot x_G^k=costante$"
Io penso che la prima equazione sia $(partial L)/(partial x_G^k)=0$ e non $(partial L)/(partial dot x_G^k)=0$
Su questo punto hai ragione, come detto in precedenza. Per quanto riguarda le notazioni, ora va molto meglio, in quanto ti stai riferendo esplicitamente al centro di massa, mediante il pedice $G$, e l'indice $k$ indica le $3$ coordinate cartesiane del centro di massa medesimo.
Ok, ora ha più senso.
In pratica aggiunge al sistema di coordinate lagrangiane \(\displaystyle \mathbf{q} \) il centro di massa. Il nuovo sistema a \(\displaystyle N+1 \) punti, come fatto notare in precedenza, ha lo stesso grado di libertà del sistema precedente quindi le coordinate del punto sono coordinate cicliche della lagrangiana. Giustamente quindi il libro dice che i momenti coniugati sono integrali primi e come ha fatto notare sono \(\displaystyle \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x}_G^k}} \) (per definizioni di momento coniugato). Siccome \(\displaystyle \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x}_G^k}} = c \) allora \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x}_G^k}} = 0 \) e quindi per le equazioni di lagrange \(\displaystyle \frac{\partial{L}}{\partial{x_G^k}} = 0 \) come hai fatto notare giustamente tu.
P.S.: Come dice speculor ora ha più senso perché con coordinate lagrangiane qualsiasi risulta poco sensato. Tra l'altro facendo i conti non riuscivo a far venire zero il tutto per le altre coordinate \(\displaystyle \mathbf{q} \) e quindi cominciavo a mettere in dubbio tutto il risultato (che infatti è falso).
In pratica aggiunge al sistema di coordinate lagrangiane \(\displaystyle \mathbf{q} \) il centro di massa. Il nuovo sistema a \(\displaystyle N+1 \) punti, come fatto notare in precedenza, ha lo stesso grado di libertà del sistema precedente quindi le coordinate del punto sono coordinate cicliche della lagrangiana. Giustamente quindi il libro dice che i momenti coniugati sono integrali primi e come ha fatto notare sono \(\displaystyle \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x}_G^k}} \) (per definizioni di momento coniugato). Siccome \(\displaystyle \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x}_G^k}} = c \) allora \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x}_G^k}} = 0 \) e quindi per le equazioni di lagrange \(\displaystyle \frac{\partial{L}}{\partial{x_G^k}} = 0 \) come hai fatto notare giustamente tu.
P.S.: Come dice speculor ora ha più senso perché con coordinate lagrangiane qualsiasi risulta poco sensato. Tra l'altro facendo i conti non riuscivo a far venire zero il tutto per le altre coordinate \(\displaystyle \mathbf{q} \) e quindi cominciavo a mettere in dubbio tutto il risultato (che infatti è falso).
Grazie e' stato sciolto il mistero.
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