Problema conservazione dell'energia, corda elastica
Salve, ho questo problema:
Una ragazza progetto di saltare da un pallone aerostatico di 65.0m di altezza. Ella usa una corda uniforme ben stretta al suo corpo e vuole fermarsi a 10.0 metri dal suolo. Si supponga che la corda abbia massa trascurabile ed obbedisca alla legge di Hooke. In un test preliminare, ferma e appesa ad uno spezzone di corda di 5.00m, la saltatrice trova che il suo corpo allunga la molla di 1.50m. Ella si propone di gettarsi da ferma dal punto in cui la corda è appesa al pallone stazionario. Quanto deve essere lunga la corda? Quale sarà la massima accelerazione della saltatrice?
Io ho ragionato così, sapendo che l'energia si conserva, la somma dell'energia potenziale gravitazione + energia potenziale della molla + l'energia cinetica deve essere uguale alla somma delle tale e quali nel momento di maggiore estensione della molla..
Pertanto h=65.0m, mgh + 0 +0 = mg(h-6.5) +1/2k(1.5)^2 +0
ma non riesco a trovare k, la trovo solo in funzione della massa che non mi è data dagli esercizi.. Probabilmente ho sbagliato qualcosa nell'applicare la conservazione dell'energia. Ma non riesco a capire dove.
Una ragazza progetto di saltare da un pallone aerostatico di 65.0m di altezza. Ella usa una corda uniforme ben stretta al suo corpo e vuole fermarsi a 10.0 metri dal suolo. Si supponga che la corda abbia massa trascurabile ed obbedisca alla legge di Hooke. In un test preliminare, ferma e appesa ad uno spezzone di corda di 5.00m, la saltatrice trova che il suo corpo allunga la molla di 1.50m. Ella si propone di gettarsi da ferma dal punto in cui la corda è appesa al pallone stazionario. Quanto deve essere lunga la corda? Quale sarà la massima accelerazione della saltatrice?
Io ho ragionato così, sapendo che l'energia si conserva, la somma dell'energia potenziale gravitazione + energia potenziale della molla + l'energia cinetica deve essere uguale alla somma delle tale e quali nel momento di maggiore estensione della molla..
Pertanto h=65.0m, mgh + 0 +0 = mg(h-6.5) +1/2k(1.5)^2 +0
ma non riesco a trovare k, la trovo solo in funzione della massa che non mi è data dagli esercizi.. Probabilmente ho sbagliato qualcosa nell'applicare la conservazione dell'energia. Ma non riesco a capire dove.
Risposte
Allora la la ragazza vuole saltare da un'altezza di \(h\) e fermarsi a un'altezza \(h'\). Sulla stessa ragazza agiscono solo forze conservative quindi si ha la conservazione dell'energia meccanica
\[mgh=mgh'+\frac{1}{2}k\Delta y^{2}\hspace{2 cm}2mg(h-h')=k\Delta y^{2}\]
Nella "prova" preliminare la ragazza è in quiete ovvero forza peso e forza elastica sono all'equilibrio
\[mg-k\Delta y'=0\]
dalla quale ricaviamo \(k\), che a sua volta viene sostituita nella prima
\[\Delta y^{2}=2d\Delta y'\]
\[mgh=mgh'+\frac{1}{2}k\Delta y^{2}\hspace{2 cm}2mg(h-h')=k\Delta y^{2}\]
Nella "prova" preliminare la ragazza è in quiete ovvero forza peso e forza elastica sono all'equilibrio
\[mg-k\Delta y'=0\]
dalla quale ricaviamo \(k\), che a sua volta viene sostituita nella prima
\[\Delta y^{2}=2d\Delta y'\]
Sono d'accordo con te. Ciò che fondamentalmente interessa a me è la lunghezza della corda che sarà la differenza tra:
$ h - h' - Deltay = LUNGHCORD $
Sempre se il mio ragionamento non è sbagliato.
Per trovare $ Deltay $ Applico la tua formula per cui
$ Deltay = sqrt(2dDeltay') $ sostituendo $ Deltay = sqrt(165) $
Alla fine dei conti $ LUNGHCORD = 42.1m $
Il libro mi da un risultato di $ 25.8m $.
Dove ho sbagliato?
$ h - h' - Deltay = LUNGHCORD $
Sempre se il mio ragionamento non è sbagliato.
Per trovare $ Deltay $ Applico la tua formula per cui
$ Deltay = sqrt(2dDeltay') $ sostituendo $ Deltay = sqrt(165) $
Alla fine dei conti $ LUNGHCORD = 42.1m $
Il libro mi da un risultato di $ 25.8m $.
Dove ho sbagliato?
Prova a ricontrollare il testo e le unità di misura.
Ho ricontrollato ma niente 
Ho trovato su internet la risposta.
Ho trovato il modo ma continuo a non capire il procedimento. Soprattutto questo:
mi dice che per 5 m la molla ha questa legge F=kx E SONO D'ACCORDO.
Dopodiché dice: per una corda più lunga di lunghezza L l'allungamento è più lungo quindi la costante elastica è più piccola in proporzione inversa, e tira fuori questa legge:
$ k = (5m)/L ((mg)/(Deltay)) $ dove $ Deltay=1.5m $
Perché??? O.O 5m/L dove viente fuori?
Ho trovato il modo ma continuo a non capire il procedimento. Soprattutto questo:
mi dice che per 5 m la molla ha questa legge F=kx E SONO D'ACCORDO.
Dopodiché dice: per una corda più lunga di lunghezza L l'allungamento è più lungo quindi la costante elastica è più piccola in proporzione inversa, e tira fuori questa legge:
$ k = (5m)/L ((mg)/(Deltay)) $ dove $ Deltay=1.5m $
Perché??? O.O 5m/L dove viente fuori?
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