Problema con un sistema rigido in condizioni di equilibrio.
Si è presentato un altro problema con gli elastici.
Dunque, ho un sistema che pende, un pesetto di massa $m$ collegato ad una molla orizzontale, posta su un tavolo, tramite un filo di massa trascurabile che passa senza attrito su una carrucola di massa $M$, e raggio $R$. La molla ha una costante elastica $k$. Si chiede di trovare il periodo delle piccole oscillazioni.
Al di là della soluzione, che spero di riuscire a trovare da me in modo consapevole, mi è saltato agli occhi il primo rigo della soluzione che invece ho cercato di leggere e che è dietro il libro. Sostanzialmente, viene posta, in condizioni di equilibrio, la seguente uguaglianza, su cui chiedo il vostro aiuto.
$ky_o = mg$.
A questo punto provo a ragionare. Supponiamo che il corpo sia in equilibrio. Allora le tensioni del filo comprensibilmente si annullano. La molla allora dovrebbe avere allungamento 0, poichè non sollecitata da forze di cui dovrebbe fornire la reazione.
L'equazione della dinamica, in tal caso di equilibrio, a me viene:
$mg = 0$, e non $ky_0 - mg = 0$, come invece suggerisce il testo.
Chi mi aiuta?
Dunque, ho un sistema che pende, un pesetto di massa $m$ collegato ad una molla orizzontale, posta su un tavolo, tramite un filo di massa trascurabile che passa senza attrito su una carrucola di massa $M$, e raggio $R$. La molla ha una costante elastica $k$. Si chiede di trovare il periodo delle piccole oscillazioni.
Al di là della soluzione, che spero di riuscire a trovare da me in modo consapevole, mi è saltato agli occhi il primo rigo della soluzione che invece ho cercato di leggere e che è dietro il libro. Sostanzialmente, viene posta, in condizioni di equilibrio, la seguente uguaglianza, su cui chiedo il vostro aiuto.
$ky_o = mg$.
A questo punto provo a ragionare. Supponiamo che il corpo sia in equilibrio. Allora le tensioni del filo comprensibilmente si annullano. La molla allora dovrebbe avere allungamento 0, poichè non sollecitata da forze di cui dovrebbe fornire la reazione.
L'equazione della dinamica, in tal caso di equilibrio, a me viene:
$mg = 0$, e non $ky_0 - mg = 0$, come invece suggerisce il testo.
Chi mi aiuta?
Risposte
Ci sono parecchie cose che non capisco qui.
Promo: a che serve una carrucola, della quale si specifica massa e raggio, se il filo vi scorre sopra senza attrito? Di solito il filo deve fare attrito nella gola della carrucola, la quale però può avere massa oppure no. Se non ha massa il problema si riduce a quello che tu descrivi, mentre se ha massa allora l'inerzia della carrucola deve concorrere alla dinamica del sistema....
Però facciamo finta che non ho detto niente e assumiamo pure l'assenza di attrito del filo. Ebbene: in che senso le tensioni si annullano? il peso $mg$ è una forza che tende il filo verso il basso, e quindi il filo passando per la carrucola senza attrito trasmette questa forza alla molla, la quale si allunga di $y_0$. Dunque $ky_0=mg$ a sistema fermo, mentre dinamicamente occorre aggiungere la forza di inerzia. Quindi per la massa sospesa vale la formula $ma= mg-ky$ ($a$ positiva verso il basso), dove $ky$ è la forza esercitata dalla molla, che equivale anche alla tensione lungo tutto il filo.
Promo: a che serve una carrucola, della quale si specifica massa e raggio, se il filo vi scorre sopra senza attrito? Di solito il filo deve fare attrito nella gola della carrucola, la quale però può avere massa oppure no. Se non ha massa il problema si riduce a quello che tu descrivi, mentre se ha massa allora l'inerzia della carrucola deve concorrere alla dinamica del sistema....
Però facciamo finta che non ho detto niente e assumiamo pure l'assenza di attrito del filo. Ebbene: in che senso le tensioni si annullano? il peso $mg$ è una forza che tende il filo verso il basso, e quindi il filo passando per la carrucola senza attrito trasmette questa forza alla molla, la quale si allunga di $y_0$. Dunque $ky_0=mg$ a sistema fermo, mentre dinamicamente occorre aggiungere la forza di inerzia. Quindi per la massa sospesa vale la formula $ma= mg-ky$ ($a$ positiva verso il basso), dove $ky$ è la forza esercitata dalla molla, che equivale anche alla tensione lungo tutto il filo.
Se non ha massa il problema si riduce a quello che tu descrivi, mentre se ha massa allora l'inerzia della carrucola deve concorrere alla dinamica del sistema....
Da non profondo conoscitore delle dinamiche dei fili, dico che intuitivamente mi viene da pensare che non è detto che ci debba essere per forza attrito. La massa della carrucola influisce semplicemente con il fatto che dai due lati il filo esercita due tensioni differenti, e non una sola come invece farebbe se la massa della carrucola fosse trascurabile. Ma ciò non vuol dire che tra filo e carrucola, poichè questa ha massa, ci debba essere attrito.
Però facciamo finta che non ho detto niente e assumiamo pure l'assenza di attrito del filo. Ebbene: in che senso le tensioni si annullano? il peso mg è una forza che tende il filo verso il basso, e quindi il filo passando per la carrucola senza attrito trasmette questa forza alla molla, la quale si allunga di y0. Dunque ky0=mg a sistema fermo, mentre dinamicamente occorre aggiungere la forza di inerzia. Quindi per la massa sospesa vale la formula ma=mg-ky (a positiva verso il basso), dove ky è la forza esercitata dalla molla, che equivale anche alla tensione lungo tutto il filo.
Sul sistema agiscono, oltre alla forza elastica e alla forza peso del blocchetto pendente, anche le tensioni del filo. Se supponiamo che queste si annullino, allora mi pare ragionevole supporre che si annulli anche la reazione elastica: se c'è un minimo di reazione elastica, allora la tensione del filo non si può annullare, e quindi deve entrare nelle equazioni che descrivono il moto. Se il corpo oscilla, oscilla in modo tale da arrivare periodicamente in un punto, quello più in alto, in cui non vi sia reazione elastica.
Un discorso come quello che fa il libro riesco a giustificarmelo, sia pure con i pochi elementi che mi ritrovo a disposizione, solo se il filo non fa parte del sistema, e quindi la molla è direttamente collegata al sistema (al pesetto, cosa che in questo caso non è nemmeno possibile perchè c'è la carrucola di mezzo).
Il filo non fa altro che trasferire la forza della molla al pesetto. La tensione del filo è sempre la stessa lungo tutto il filo ed è uguale alla forza della molla; insomma è come se la molla (ipotizzata di massa nulla) fosse appesa in verticale col pesetto direttamente attaccato sotto di lei. Basta che risolvi questo caso, se ti viene più facile.
Il filo non fa altro che trasferire la forza della molla al pesetto. La tensione del filo è sempre la stessa lungo tutto il filo ed è uguale alla forza della molla; insomma è come se la molla (ipotizzata di massa nulla) fosse appesa in verticale col pesetto direttamente attaccato sotto di lei. Basta che risolvi questo caso, se ti viene più facile.
Come mai, alla luce dei principi della fisica?
Se tu sollevi un peso con una mano, oppure se tiri una corda alla quale è attacccato lo stesso peso, non ti sembra che fai il medesimo sforzo?
Una corda non fa altro che trasferire lo sforzo che riceve in modo assolutamente trasparente.
Una corda non fa altro che trasferire lo sforzo che riceve in modo assolutamente trasparente.
Mah, il mio discorso era un discorso meno intuitivo, per lo più legato a come piazzare le forze sul corpo rigido. Quale corpo rigido? Altro punto dolente: in effetti penso che per determinare qualsiasi incognita, algebrica, che il problema chiede di determinare, se utile, si possa considerare anche una sola parte di un sistema più ampio (carrucola+ pesetto). Quindi considero la sola carrucola. La prima equazione cardinale, applicata a tale sistema, mi verrebbe così:
$\tau_1 + \tau_2 + \vec mg + \vec Mg + \vec N = 0$, dove indico con:
$\tau_1$ = tensione del primo tratto di filo, quello dal lato della molla;
$\tau_2$ = tensione del secondo tratto di filo, quello che collega carrucola e pesetto;
$\vec N$ = Reazione vincolare del perno su cui si trova la carrucola;
$\vec mg$ = peso del pesetto;
$\vec Mg$ = peso della carrucola.
In tale contesto, mi sembra riduttivo poter considerare l'uguaglianza $ky_0 = mg$.
Del resto un problema simile capitava anche quando svolgevo i primi problemi sui sistemi collegati da fili, quelli con un corpo pendente e l'altro appoggiato su un tavolo. Io consideravo applicata al corpo sul tavolo la forza peso di quello pendente, trascurando, colpevolmente, la forza del filo. Perché? Perchè non davo "dignità dinamica" al filo, che invece, nonostante tutte le approssimazioni, la possiede.
$\tau_1 + \tau_2 + \vec mg + \vec Mg + \vec N = 0$, dove indico con:
$\tau_1$ = tensione del primo tratto di filo, quello dal lato della molla;
$\tau_2$ = tensione del secondo tratto di filo, quello che collega carrucola e pesetto;
$\vec N$ = Reazione vincolare del perno su cui si trova la carrucola;
$\vec mg$ = peso del pesetto;
$\vec Mg$ = peso della carrucola.
In tale contesto, mi sembra riduttivo poter considerare l'uguaglianza $ky_0 = mg$.
Del resto un problema simile capitava anche quando svolgevo i primi problemi sui sistemi collegati da fili, quelli con un corpo pendente e l'altro appoggiato su un tavolo. Io consideravo applicata al corpo sul tavolo la forza peso di quello pendente, trascurando, colpevolmente, la forza del filo. Perché? Perchè non davo "dignità dinamica" al filo, che invece, nonostante tutte le approssimazioni, la possiede.
Lo sapevo io che dichiarare la massa della carrucola faceva confusione (e l'ho anche detto nel mio primo post).
Se il filo passa sulla carrucola senza fare attrito, la carrucola non gira né si muove, e quindi è come un vincolo fisso, come se facesse parte del tavolo cui è attaccata, come se fosse il bordo del tavolo.
Come dire che il filo gira attorno a questo bordo senza fare attrito.
A questo punto restano solo il filo e il pesetto.
Ma siccome il filo non ha massa, dal punto di vista dinamico è ininfluente mentre dal punto di vista delle forze lui non fa altro che traslare la forza lungo il suo cammino. Allora se dalla parte della molla viene teso con una forza $F$, questa forza si trasmette lungo tutto il filo e a questo punto prende il nome di tensione $\tau=F$. Questa tensione trasmettendosi lungo il filo scavalca il bordo del tavolo rimanendo inalterata come valore perché non c'è attrito. Allora la stessa forza si ritrova pari pari a reggere il pesetto in senso verticale. Questa forza è uguale alla tensione del filo, sempre lei, ovvero è uguale alla forza con cui la molla tira il filo. A questo punto è come se la molla fosse attaccata direttamente al pesetto, senza nessun filo di mezzo.
Se il filo passa sulla carrucola senza fare attrito, la carrucola non gira né si muove, e quindi è come un vincolo fisso, come se facesse parte del tavolo cui è attaccata, come se fosse il bordo del tavolo.
Come dire che il filo gira attorno a questo bordo senza fare attrito.
A questo punto restano solo il filo e il pesetto.
Ma siccome il filo non ha massa, dal punto di vista dinamico è ininfluente mentre dal punto di vista delle forze lui non fa altro che traslare la forza lungo il suo cammino. Allora se dalla parte della molla viene teso con una forza $F$, questa forza si trasmette lungo tutto il filo e a questo punto prende il nome di tensione $\tau=F$. Questa tensione trasmettendosi lungo il filo scavalca il bordo del tavolo rimanendo inalterata come valore perché non c'è attrito. Allora la stessa forza si ritrova pari pari a reggere il pesetto in senso verticale. Questa forza è uguale alla tensione del filo, sempre lei, ovvero è uguale alla forza con cui la molla tira il filo. A questo punto è come se la molla fosse attaccata direttamente al pesetto, senza nessun filo di mezzo.
Ma siccome il filo non ha massa, dal punto di vista dinamico è ininfluente mentre dal punto di vista delle forze lui non fa altro che traslare la forza lungo il suo cammino. Allora se dalla parte della molla viene teso con una forza F, questa forza si trasmette lungo tutto il filo e a questo punto prende il nome di tensione τ=F. Questa tensione trasmettendosi lungo il filo scavalca il bordo del tavolo rimanendo inalterata come valore perché non c'è attrito. Allora la stessa forza si ritrova pari pari a reggere il pesetto in senso verticale. Questa forza è uguale alla tensione del filo, sempre lei, ovvero è uguale alla forza con cui la molla tira il filo. A questo punto è come se la molla fosse attaccata direttamente al pesetto, senza nessun filo di mezzo.
Ti posto il testo del problema, per completezza. Poi discuto, perchè pare che piano piano ci stiamo avvicinando.
"Nel sistema descritto in figura (pare che ti sia chiara la figura) la molla, di massa trascuirabile, ha costante elastica k; la carrucola, costituita da un cilindro omogeneo di massa M e raggio R, ruota senza attrito intorno all'asse O disposto orizzontalmente. Il filo che collega la molla, un cui estremo è fissato in A, alla massa m, è inestensibile, di massa trascurabile e non slitta sulla carrucola. Calcolare il periodo delle piccole oscillazioni della massa m nel suo moto lungo la verticale".
Quindi, come puoi vedere anche dal testo, la carrucola si muove e ruota.
Il tuo discorso fila, fila davvero, lo condividerei a occhi chiusi. Però mi trovo di fronte all'ennesima incongruenza va pare andare contro il primo ragionamento, che va risolta.
"turtle87":
passa senza attrito su una carrucola di massa $M$
...
Chi mi aiuta?
"turtle87":
Ti posto il testo del problema, per completezza. Poi discuto, perchè pare che piano piano ci stiamo avvicinando.
la carrucola, costituita da un cilindro omogeneo di massa M e raggio R, ruota senza attrito intorno all'asse O disposto orizzontalmente.
...
Il filo che collega la molla, un cui estremo è fissato in A, alla massa m, è inestensibile, di massa trascurabile e non slitta sulla carrucola
[mod="Fioravante Patrone"]La prossima volta posta il testo giusto, così eviti di far perdere tempo agli utenti del forum.[/mod]
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