Problema con un "problema di Cauchy"...
Salve a tutti,
studiando il moto dei satelliti si arriva a dire che:
$ (d^(2)z)/(dt^2) = - (GM)/z^2 $
noto che:
z(0) = R;
z'(0)= V;
come trovo una z=z(t)?
Grazie dell'aiuto!
studiando il moto dei satelliti si arriva a dire che:
$ (d^(2)z)/(dt^2) = - (GM)/z^2 $
noto che:
z(0) = R;
z'(0)= V;
come trovo una z=z(t)?
Grazie dell'aiuto!
Risposte
mmmm mi piace...non sono sicuro ma credo che devi porre g = z'e poi ti risolvi l equazione differenziale a variabili separabili che in se e molto facile
di conseguenza z'(0) = V >>>> g(0) = V
poi devi integrare per trovarti la soluzione.
Comunque attendi le opinioni di chi è più bravo di me.
Ciao
di conseguenza z'(0) = V >>>> g(0) = V
poi devi integrare per trovarti la soluzione.
Comunque attendi le opinioni di chi è più bravo di me.
Ciao
"Lagrange10":
mmmm mi piace...non sono sicuro ma credo che devi porre g = z'e poi ti risolvi l equazione differenziale a variabili separabili che in se e molto facile
di conseguenza z'(0) = V >>>> g(0) = V
poi devi integrare per trovarti la soluzione.
Comunque attendi le opinioni di chi è più bravo di me.
Ciao
facendo così trovo una v(z), che si ottiene facilmente moltiplicando e dividendo per $dx$ il primo membro dell'equazione e risolvendo a variabili separate come hai detto tu... il problema invece è trovare una z(t)...
Grazie cmq del supporto
Prova ad usare quello che si chiama "metodo dell'energia", cioè moltiplica l'equazione per [tex]\dot{z}[/tex] in modo da avere:
[tex]\displaystyle \dot{z} \ddot{z} = -\frac{GM}{z^2}\dot{z} \quad \rightarrow \quad \frac{d}{dt}\frac{\dot{z}^2}{2} = \frac{d}{dt} \frac{GM}{z}[/tex]
che è l'equazione che ti da l'integrale primo del moto chiamato "energia del problema".
[tex]\displaystyle \dot{z} \ddot{z} = -\frac{GM}{z^2}\dot{z} \quad \rightarrow \quad \frac{d}{dt}\frac{\dot{z}^2}{2} = \frac{d}{dt} \frac{GM}{z}[/tex]
che è l'equazione che ti da l'integrale primo del moto chiamato "energia del problema".
"Morpheus":
Prova ad usare quello che si chiama "metodo dell'energia", cioè moltiplica l'equazione per [tex]\dot{z}[/tex] in modo da avere:
[tex]\displaystyle \dot{z} \ddot{z} = -\frac{GM}{z^2}\dot{z} \quad \rightarrow \quad \frac{d}{dt}\frac{\dot{z}^2}{2} = \frac{d}{dt} \frac{GM}{z}[/tex]
che è l'equazione che ti da l'integrale primo del moto chiamato "energia del problema".
fin qua ci arrivo anche io, ma, perdonami l'ignoranza, come risolvo?
Bè a questo punto direi che se tu dici che [tex]\displaystyle \frac{d}{dt} \Big( \frac{\dot{z}^2}{2} - \frac{GM}{z} \Big) = 0[/tex] allora significa che la quantità tra parentesi si conserva, cioè:
[tex]\displaystyle \frac{\dot{z}^2}{2} - \frac{GM}{z} = const[/tex]
a questo punto hai una equazione differenziale ordinaria del primo ordine a variabili separabili. Così dici che non si risolve? Oppure non era questo il tuo problema ed ho capito male?
[tex]\displaystyle \frac{\dot{z}^2}{2} - \frac{GM}{z} = const[/tex]
a questo punto hai una equazione differenziale ordinaria del primo ordine a variabili separabili. Così dici che non si risolve? Oppure non era questo il tuo problema ed ho capito male?
quella $const$ che ha scritto Morpheus è proprio l'energia del sistema!
il problema è che essendo un equazione differenziale di secondo grado è molto difficile da risolvere...
io non ricordo di aver mai visto una $z(t)$... nel senso che non ho idea di come si risolve l'equazione $\ddot{z}=-\frac{GM}{z^2}$ in funzione del tempo (forse su qualche libro c'è, ma neanche di questo sono sicuro)
ma se stai studiando il moto dei satelliti allora per forza dovrai lavorare in 2 dimensioni...
di solito per risolvere il problema e trovare le orbite di Keplero si passa alle coordinate polari... ma così facendo si ottiene una $r(\theta)$ e non una $r(t)$.
qua ci sono i conti http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_problem
se qualcosa non è chiaro chiedi pure.
il problema è che essendo un equazione differenziale di secondo grado è molto difficile da risolvere...
io non ricordo di aver mai visto una $z(t)$... nel senso che non ho idea di come si risolve l'equazione $\ddot{z}=-\frac{GM}{z^2}$ in funzione del tempo (forse su qualche libro c'è, ma neanche di questo sono sicuro)
ma se stai studiando il moto dei satelliti allora per forza dovrai lavorare in 2 dimensioni...
di solito per risolvere il problema e trovare le orbite di Keplero si passa alle coordinate polari... ma così facendo si ottiene una $r(\theta)$ e non una $r(t)$.
qua ci sono i conti http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_problem
se qualcosa non è chiaro chiedi pure.
"Morpheus":
Bè a questo punto direi che se tu dici che [tex]\displaystyle \frac{d}{dt} \Big( \frac{\dot{z}^2}{2} - \frac{GM}{z} \Big) = 0[/tex] allora significa che la quantità tra parentesi si conserva, cioè:
[tex]\displaystyle \frac{\dot{z}^2}{2} - \frac{GM}{z} = const[/tex]
a questo punto hai una equazione differenziale ordinaria del primo ordine a variabili separabili. Così dici che non si risolve? Oppure non era questo il tuo problema ed ho capito male?
la mia perplessità è riguardo il fatto che v' è al quadrato...! Avrei $ 1/2 * ((dz)^2)/(dt)^2 = (GM)/z $ ed è questo che non so risolvere... non è una diff ordinaria...
@Cantaro: il mio prof vuole che trovi una $z(t)$, per questo non penso che sia necessario passare alle polari....però grazie cmq... lui dice che è facile trovarla, io ci sto provando in tutti i modi...
Si l'equazione non è lineare, questo la complica un po'. Provo a vedere se mi ricordo come si fa:
chiamo quella costante di integrazione [tex]E[/tex] e poi anche [tex]U = -\frac{GM}{z}[/tex], cioè l'energia totale e l'energia potenziale. Quindi riscrivo l'equazione come:
[tex]\displaystyle \dot{z} = \frac{dz}{dt} = \sqrt{2(E-U(z))}[/tex]
allora separo le variabili e ottengo:
[tex]\displaystyle \frac{dz}{\sqrt{2(E-U(z))}} = dt \quad \rightarrow \quad \int_{z_0}^z \frac{dz'}{\sqrt{2(E-U(z'))}} = \int_{t_0}^t dt'[/tex]
pongo per semplicità di notazione [tex]t_0 = 0[/tex] quindi ottengo una nota equazione in meccanica classica:
[tex]\displaystyle t = \int_{z_0}^z \frac{dz'}{\sqrt{2(E-U(z'))}}[/tex]
Ora tutto sta a risolvere quell'integrale. In generale non è detto che si possa fare, ma nel caso gravitazionale si può fare e se la memoria non mi inganna dovrebbe dare qualcosa tipo [tex]\arcsin(z)[/tex] oppure [tex]\arccos(z)[/tex], non ricordo bene.
Ad ogni modo dopo aver fatto l'integrale sfruttando il Teorema di Dini sulle funzioni implicite puoi invertire la relazione e passare da una [tex]t=t(z)[/tex] a una [tex]z=z(t)[/tex].
Se vuoi una trattazione abbastanza completa del problema generale la puoi trovare nel "Meccanica" di Landau, credo.
chiamo quella costante di integrazione [tex]E[/tex] e poi anche [tex]U = -\frac{GM}{z}[/tex], cioè l'energia totale e l'energia potenziale. Quindi riscrivo l'equazione come:
[tex]\displaystyle \dot{z} = \frac{dz}{dt} = \sqrt{2(E-U(z))}[/tex]
allora separo le variabili e ottengo:
[tex]\displaystyle \frac{dz}{\sqrt{2(E-U(z))}} = dt \quad \rightarrow \quad \int_{z_0}^z \frac{dz'}{\sqrt{2(E-U(z'))}} = \int_{t_0}^t dt'[/tex]
pongo per semplicità di notazione [tex]t_0 = 0[/tex] quindi ottengo una nota equazione in meccanica classica:
[tex]\displaystyle t = \int_{z_0}^z \frac{dz'}{\sqrt{2(E-U(z'))}}[/tex]
Ora tutto sta a risolvere quell'integrale. In generale non è detto che si possa fare, ma nel caso gravitazionale si può fare e se la memoria non mi inganna dovrebbe dare qualcosa tipo [tex]\arcsin(z)[/tex] oppure [tex]\arccos(z)[/tex], non ricordo bene.
Ad ogni modo dopo aver fatto l'integrale sfruttando il Teorema di Dini sulle funzioni implicite puoi invertire la relazione e passare da una [tex]t=t(z)[/tex] a una [tex]z=z(t)[/tex].
Se vuoi una trattazione abbastanza completa del problema generale la puoi trovare nel "Meccanica" di Landau, credo.
fai cosi:
prova a chiedere nella sezione di analisi come si risolve l'equazione differenziale $y''=\frac{k}{y^2}$ magari scopriamo qualcosa di nuovo...
prova a chiedere nella sezione di analisi come si risolve l'equazione differenziale $y''=\frac{k}{y^2}$ magari scopriamo qualcosa di nuovo...
$dz/dt = sqrt(K/z)$ è risolvibile eccome!
"Morpheus":
Si l'equazione non è lineare, questo la complica un po'. Provo a vedere se mi ricordo come si fa:
chiamo quella costante di integrazione [tex]E[/tex] e poi anche [tex]U = -\frac{GM}{z}[/tex], cioè l'energia totale e l'energia potenziale. Quindi riscrivo l'equazione come:
[tex]\displaystyle \dot{z} = \frac{dz}{dt} = \sqrt{2(E-U(z))}[/tex]
allora separo le variabili e ottengo:
[tex]\displaystyle \frac{dz}{\sqrt{2(E-U(z))}} = dt \quad \rightarrow \quad \int_{z_0}^z \frac{dz'}{\sqrt{2(E-U(z'))}} = \int_{t_0}^t dt'[/tex]
pongo per semplicità di notazione [tex]t_0 = 0[/tex] quindi ottengo una nota equazione in meccanica classica:
[tex]\displaystyle t = \int_{z_0}^z \frac{dz'}{\sqrt{2(E-U(z'))}}[/tex]
Ora tutto sta a risolvere quell'integrale. In generale non è detto che si possa fare, ma nel caso gravitazionale si può fare e se la memoria non mi inganna dovrebbe dare qualcosa tipo [tex]\arcsin(z)[/tex] oppure [tex]\arccos(z)[/tex], non ricordo bene.
Ad ogni modo dopo aver fatto l'integrale sfruttando il Teorema di Dini sulle funzioni implicite puoi invertire la relazione e passare da una [tex]t=t(z)[/tex] a una [tex]z=z(t)[/tex].
Se vuoi una trattazione abbastanza completa del problema generale la puoi trovare nel "Meccanica" di Landau, credo.
QUESTO dovrebbe essere ciò che fa per me....
il problema è risolvere adesso:
$ t = 1/sqrt(2) *int_(x0)^(x) dz/(sqrt(E-1/z))$
che come forma è simile all'integrale dell'arcoseno... si può fare completando il quadrato?
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