Problema con un condensatore cilindrico
Ciao a tutti, ho un dubbio che mi blocca nel risolvere il seguente problema:
Si consideri un condensatore cilindrico con raggi $R_1 = 0.0002$ m, $R_2 = 0.00025$ m, lunghezza $L = 0.3$ m e carica $Q_0 = 1.5$ nC sull'armatura interna ($-Q_0$ su quella interna). Lo spazio tra le armature ($R_1 < r < R_2$) viene riempito all’istante $t_0 = 0$ con del silicio, la cui resistività è $\rho = 2500$ Ωm, ed a partire da quell’istante ha luogo il processo di scarica.
Osservando che la densità di corrente di conduzione $\vec{j_c} = j_c(r)\vec{u_r}$ ha direzione radiale, con $\vec{u_r}$ perpendicolare all’asse del cilindro e diretto verso l’esterno, si determini la resistenza R del conduttore tra le armature (si consideri una serie di gusci cilindrici infinitesimi di spessore dr).
Per risolvere il problema ho pensato di calcolare l'intensità di corrente come $I = \int_S \vec{j_c}\cdot \vec{dS}$ per poi usare la legge di Ohm $R = V/I$. Il problema è che la densità di corrente di conduzione $\vec{j_c}$ dipende dal raggio, quindi non conoscendo la sua espressione non saprei come integrarla...
Qualcuno saprebbe aiutarmi? Grazie in anticipo
Si consideri un condensatore cilindrico con raggi $R_1 = 0.0002$ m, $R_2 = 0.00025$ m, lunghezza $L = 0.3$ m e carica $Q_0 = 1.5$ nC sull'armatura interna ($-Q_0$ su quella interna). Lo spazio tra le armature ($R_1 < r < R_2$) viene riempito all’istante $t_0 = 0$ con del silicio, la cui resistività è $\rho = 2500$ Ωm, ed a partire da quell’istante ha luogo il processo di scarica.
Osservando che la densità di corrente di conduzione $\vec{j_c} = j_c(r)\vec{u_r}$ ha direzione radiale, con $\vec{u_r}$ perpendicolare all’asse del cilindro e diretto verso l’esterno, si determini la resistenza R del conduttore tra le armature (si consideri una serie di gusci cilindrici infinitesimi di spessore dr).
Per risolvere il problema ho pensato di calcolare l'intensità di corrente come $I = \int_S \vec{j_c}\cdot \vec{dS}$ per poi usare la legge di Ohm $R = V/I$. Il problema è che la densità di corrente di conduzione $\vec{j_c}$ dipende dal raggio, quindi non conoscendo la sua espressione non saprei come integrarla...
Qualcuno saprebbe aiutarmi? Grazie in anticipo
Risposte
Scusa, ma cosa ti serve la carica e la corrente? Non devi trovare la resistenza? E non hai la resistività e tutta la geometria del sistema? Trova la resistenza di un guscio cilindrico infinitesimo (seconda legge di Ohm), e poi integri da $R_1$ a $R_2$.
In effetti hai ragione, mi sono fatto distrarre dai dettagli che mi hanno fornito sul vettore densità di corrente (e mi sto ancora chiedendo bene a cosa servano, anche se sono banali).
Se poi volessi calcolare il campo nell'istante in cui viene inserito il dielettrico, come potrei fare? Io so che $\vec{E_0} = \vec{E_{1}}/k$
e anche che
$\vec{E_0} = \rho\vec{j_c}$
ma tra i dati che mi vengono forniti non ci sono ne $k$ ne $\vec{j_c}$
Se poi volessi calcolare il campo nell'istante in cui viene inserito il dielettrico, come potrei fare? Io so che $\vec{E_0} = \vec{E_{1}}/k$
e anche che
$\vec{E_0} = \rho\vec{j_c}$
ma tra i dati che mi vengono forniti non ci sono ne $k$ ne $\vec{j_c}$
"shot22":
In effetti hai ragione, mi sono fatto distrarre dai dettagli che mi hanno fornito sul vettore densità di corrente (e mi sto ancora chiedendo bene a cosa servano, anche se sono banali).
Quei dati - anche se banali - servono a garantirti sul fatto che puoi considerare la direzione radiale come la "lunghezza del conduttore" e la circonferenza come "sezione". Se, poniamo, la corrente andasse a spirale, il calcolo della resistenza con la seconda legge di Ohm dovrebbe essere differente.
"shot22":
Se poi volessi calcolare il campo nell'istante in cui viene inserito il dielettrico, come potrei fare?
Non ho capito cosa vuoi calcolare.
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