Problema con sistema di corpi rigidi in rotazione
Salve ragazzi, non ho mai frequentato questa sezione ma non sono del tutto nuovo in questo magnifico forum. Vorrei proporvi un problema sui corpi rigidi che non riesco a comprendere bene.
Il testo è il seguente:
Ciò che mi lascia basito è la soluzione fornita dal libro, mi è risultata abbastanza strana. Ho risolto svariati problemi coi corpi rigidi ma mai mi sono imbattuto in sistemi formati da più corpi saldati o uniti in qualche altro modo. Sono consapevole del fatto che ovviamente il sistema, nel suo complesso, avrà un determinato centro di massa le cui coordinate x e y in un sistema di coordinate cartesiane possono essere calcolate mediante delle relazioni note a tutti. Vi chiedo dei consigli su come affrontare il problema e, in generale, i problemi con più corpi rigidi insieme.
Veniamo a noi.
Per la risoluzione del punto A, il testo dice che il sistema è in quiete, e in quanto tale devono valere le seguenti:
$ { ( M^E = 0 ),( R^E = 0 ):} $
dove con \(\displaystyle R^E \) ed \(\displaystyle M^E \) indico rispettivamente il vettore risultante delle forze agenti sul sistema e il vettore risultante dei momenti agenti sul sistema.
Per il calcolo di \(\displaystyle F \) avevo posto la seguente relazione, ricavata in base alla II nel sistema:
\(\displaystyle F + m_1g + m_2g = 0 \) ma, in base alle soluzioni fornite, non è la giusta via. In qualche modo viene inserita la coordinata in x del centro di massa del sistema (disco + asta).
P.s. devo considerare anche la reazione \(\displaystyle N \) del vincolo nella somma delle forze, giusto?
Grazie a tutti coloro che mi risponderanno!
Il testo è il seguente:
Ciò che mi lascia basito è la soluzione fornita dal libro, mi è risultata abbastanza strana. Ho risolto svariati problemi coi corpi rigidi ma mai mi sono imbattuto in sistemi formati da più corpi saldati o uniti in qualche altro modo. Sono consapevole del fatto che ovviamente il sistema, nel suo complesso, avrà un determinato centro di massa le cui coordinate x e y in un sistema di coordinate cartesiane possono essere calcolate mediante delle relazioni note a tutti. Vi chiedo dei consigli su come affrontare il problema e, in generale, i problemi con più corpi rigidi insieme.
Veniamo a noi.
Per la risoluzione del punto A, il testo dice che il sistema è in quiete, e in quanto tale devono valere le seguenti:
$ { ( M^E = 0 ),( R^E = 0 ):} $
dove con \(\displaystyle R^E \) ed \(\displaystyle M^E \) indico rispettivamente il vettore risultante delle forze agenti sul sistema e il vettore risultante dei momenti agenti sul sistema.
Per il calcolo di \(\displaystyle F \) avevo posto la seguente relazione, ricavata in base alla II nel sistema:
\(\displaystyle F + m_1g + m_2g = 0 \) ma, in base alle soluzioni fornite, non è la giusta via. In qualche modo viene inserita la coordinata in x del centro di massa del sistema (disco + asta).
P.s. devo considerare anche la reazione \(\displaystyle N \) del vincolo nella somma delle forze, giusto?
Grazie a tutti coloro che mi risponderanno!
Risposte
- Ma non ci hai detto cosa ti lascia basito...
- E certo che devi considerare la reazione...
- Poi per il punto B io trovarei la variazione di energia potenziale del sistema (di quanto si abbassa il CM) e lo uguaglierei all'energia cinetica rotazionale, $1/2Iomega^2$ trovando $I$ come somma dei momenti d'inerzia dell'asta rispetto a un estremo, e dell'anello (traslato col teorema di Huygens.Steiner)
- E certo che devi considerare la reazione...
- Poi per il punto B io trovarei la variazione di energia potenziale del sistema (di quanto si abbassa il CM) e lo uguaglierei all'energia cinetica rotazionale, $1/2Iomega^2$ trovando $I$ come somma dei momenti d'inerzia dell'asta rispetto a un estremo, e dell'anello (traslato col teorema di Huygens.Steiner)
Come non detto. Credo di aver risolto il punto A. Ho calcolato i momenti delle forze agenti sul sistema scegliendo il punto \(\displaystyle O \) come polo e in base alla relazione I si ha:
\(\displaystyle M_F + M_1 + M_2 = 0 \) dove gli ultimi due vettori indicano i momenti della forza peso della massa 1 (asta) e della massa 2 (anello).
Svolgendo i calcoli si ottiene che \(\displaystyle Fx_F = [m_1d/2 + m_2 (d + R)]g \) da cui \(\displaystyle F = 38.3 N \).
Invece \(\displaystyle N = -4.9 N \) avendo proiettato la II in un sistema di coordinate cartesiane con l'asse y verso l'alto. Il libro riporta il valore come positivo, ma dice che la forza è diretta verso il basso. Fosse hanno scelto un sistema di coordinate tale che l'asse y sia anch'esso verso il basso?
Come ti sembra fin qui? Mi ero perso nel buio pur avendo una torcia in mano
EDIT: esercizio risolto. Mi scuso per averti fatto perdere tempo. Mentre ci sono, ne approfitto per chiederti delucidazioni su un paio di questioni. 1) Nei corpi rigidi, la variazione di energia potenziale corrisponde alla variazione di quota del centro di massa. Dunque, se il sistema giace su un piano orizzontale ( con asse x disposto come il piano) la sua energia potenziale sarà nulla? E' quanto ho capito e quanto ho applicato in questo problema per calcolare il secondo punto in cui si chiedeva la velocità del centro di massa.
2) Sto svolgendo un altro problema in cui si ha un asse di rotazione verticale e due funi legate a questo asse in modo da trattenere una pallina m, formando un triangolo equilatero di angoli pari a 60°. Scegliendo un sistema di coordinate cartesiane in questo nuovo problema, si ha ovviamente un sistema non inerziale essendo in rotazione per cui agiscono anche delle forze fittizie. In particolare, trattandosi di moti rotazionali, dovrebbero subentrare anche la Forza di Coriolis e la forza Centrifuga. Ora, essendo il sistema trattenuto dalle due funi che esercitano una certa tensione, esso sarà fermo rispetto all'asse che ruota e dunque la forza di Coriolis dovrebbe essere nulla ( la forza di Coriolis ha relazione, lo ricordo, \(\displaystyle -2m\omega \times v' \) dove \(\displaystyle v' \) è la velocità della pallina in un sistema di riferimento non inerziale ).
\(\displaystyle M_F + M_1 + M_2 = 0 \) dove gli ultimi due vettori indicano i momenti della forza peso della massa 1 (asta) e della massa 2 (anello).
Svolgendo i calcoli si ottiene che \(\displaystyle Fx_F = [m_1d/2 + m_2 (d + R)]g \) da cui \(\displaystyle F = 38.3 N \).
Invece \(\displaystyle N = -4.9 N \) avendo proiettato la II in un sistema di coordinate cartesiane con l'asse y verso l'alto. Il libro riporta il valore come positivo, ma dice che la forza è diretta verso il basso. Fosse hanno scelto un sistema di coordinate tale che l'asse y sia anch'esso verso il basso?
Come ti sembra fin qui? Mi ero perso nel buio pur avendo una torcia in mano
EDIT: esercizio risolto. Mi scuso per averti fatto perdere tempo. Mentre ci sono, ne approfitto per chiederti delucidazioni su un paio di questioni. 1) Nei corpi rigidi, la variazione di energia potenziale corrisponde alla variazione di quota del centro di massa. Dunque, se il sistema giace su un piano orizzontale ( con asse x disposto come il piano) la sua energia potenziale sarà nulla? E' quanto ho capito e quanto ho applicato in questo problema per calcolare il secondo punto in cui si chiedeva la velocità del centro di massa.
2) Sto svolgendo un altro problema in cui si ha un asse di rotazione verticale e due funi legate a questo asse in modo da trattenere una pallina m, formando un triangolo equilatero di angoli pari a 60°. Scegliendo un sistema di coordinate cartesiane in questo nuovo problema, si ha ovviamente un sistema non inerziale essendo in rotazione per cui agiscono anche delle forze fittizie. In particolare, trattandosi di moti rotazionali, dovrebbero subentrare anche la Forza di Coriolis e la forza Centrifuga. Ora, essendo il sistema trattenuto dalle due funi che esercitano una certa tensione, esso sarà fermo rispetto all'asse che ruota e dunque la forza di Coriolis dovrebbe essere nulla ( la forza di Coriolis ha relazione, lo ricordo, \(\displaystyle -2m\omega \times v' \) dove \(\displaystyle v' \) è la velocità della pallina in un sistema di riferimento non inerziale ).
"MrEngineer":
1) Nei corpi rigidi, la variazione di energia potenziale corrisponde alla variazione di quota del centro di massa. Dunque, se il sistema giace su un piano orizzontale ( con asse x disposto come il piano) la sua energia potenziale sarà nulla?
Ok la prima frase. La seconda è poco chiara. Se hai una bottiglia messa in piedi su un piano orizzontale, e poi la corichi, è sempre su un piano orizzontale, ma la sua energia potenziale è variata, in quanto il CM si abbassa.
"MrEngineer":
2) Sto svolgendo un altro problema in cui si ha un asse di rotazione verticale e due funi legate a questo asse in modo da trattenere una pallina m, formando un triangolo equilatero di angoli pari a 60°.
Suppongo che devi trovare le tensioni delle funi? Io non sono a mio agio con le forze di Coriolis, ma qui il problema è sostanzialmente di statica (nel sistema rotante) per cui non ci interessano. La pallina risente delle due tensioni e del peso, e la somma di queste tre forze deve coincidere con la forza centripeta
Forse mi sono espresso male circa il primo dubbio. Quello che intendevo chiederti è se un corpo, inizialmente disposto orizzontalmente rispetto all'asse x ( e in seguito verticalmente o in qualsiasi altra direzione rispetto al suddetto asse) abbia \(\displaystyle E_p \) iniziale nulla. Immagina in sostanza di avere questa bottiglia disposta orizzontalmente rispetto all'asse x. A seguito di rotazione il corpo si dispone verticalmente, verso la parte negativa dell'asse y. Il corpo, quando era disposto in orizzontale, aveva energia potenziale nulla? Spero di aver reso l'idea.
Per quanto riguarda il secondo punto sì, devo ricavare il valore delle tensioni. Pensi che il ragionamento che ho fatto possa andar bene? La forza di Coriolis non subentra nel computo delle forze in gioco quindi una cosa è certa, la forza di Coriolis non ci interessa.
Ritornando sul primo punto, abbiamo parlato di variazioni di quota, quindi dovrebbe essere nulla dato che il corpo, inizialmente orizzontale, avrà quota y = 0.
Per quanto riguarda il secondo punto sì, devo ricavare il valore delle tensioni. Pensi che il ragionamento che ho fatto possa andar bene? La forza di Coriolis non subentra nel computo delle forze in gioco quindi una cosa è certa, la forza di Coriolis non ci interessa.
Ritornando sul primo punto, abbiamo parlato di variazioni di quota, quindi dovrebbe essere nulla dato che il corpo, inizialmente orizzontale, avrà quota y = 0.
Ma l'energia potenziale è definita a meno di una costante additiva. Dire che è nulla implica una scelta - convenzionale - dello zero. Quello che ha reale significato è solo la VARIAZIONE dell'energia potenziale.
Per il secondo punto, ti ho già detto: abbiamo tre forze, di cui una è completamente nota (il peso) e due di cui è nota la direzione (le tensioni); la loro somma deve dare una forza pure completamente nota (la forza centripeta)
Per il secondo punto, ti ho già detto: abbiamo tre forze, di cui una è completamente nota (il peso) e due di cui è nota la direzione (le tensioni); la loro somma deve dare una forza pure completamente nota (la forza centripeta)
Grazie mille! Gentilissimo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo