Problema con massa attaccata alla fune
un corpo puntiforme di massa m=0.1 kg, posto su un piano orizzontale privo di attrito, è collegatto ad un'estremità di un filo inestensibile, di massa trascurabile e di lunghezza R= 1.2m. L'altra estremità della fune è fissata ad un perno O posto anch'esso sul piano orizzontale. Il corpo si muove inizialente con velocità costante $v_0=5m/s$ su una traiettoria rettilinea a distanza d=0.4 m dal perno O, finchè il filo una volta teso (t>=0), lo costringe a muoversisu una traiettoria circolare di ragio R. Deteminare:
a) la velocità angolare omega con cui il corpo si muove sulla traiettoria circolare (t>0);
b) la variazione di energia cinetica del corpo quando il filo si tende (t=0);
c) l'impulso J che il corpo puntiforme subisce quando il filo si tende (t=0).
Suggerimento: Per il calcolo di J, di cui al punto b), conviene considerare a componente parallela e perpendicolare al filo, ed esprimere $teta$ in funzione di d e R.
disegno immagine
a) per trovare la velocità angolare devo trovare la velocita v tangenziale alla circoferenza, quindi devo trovarmi gli angoli
so che $tan(teta)=d/R$ per cui $teta=arctan(d/R)=18.43$ sottraggo a 90 $alpha=90-teta=71.57&$ quindi la mia velocità tangenziale sarà la componente di v di quell'angolo $v_t=v_0*cos(alpha)=1.58 m/s$ e allora $omega=v_t/R=1.3 rad/s$
disegno che spiega megio che angoli intendo
b)la variazione di energia cinetica è data da $K_(var)=1/2m*v_t^2+1/2Iomega^2-1/2m*v_0^2$
l'inerzia è $I=1/2m*r^2$ quindi $K_(var)=1/2m*v_t^2+1/4mR^2*omega^2-1/2m*v_0^2=0.125+0.0625-1.25=-1.0625$
adesso ke ci penso io ho calcolato l'inerzia del disco o spira, va bene?
c) io so che l'impulso $J=intF dt=P_2-P_1=m(v_2-v_1)=0.1*(1.58-5)=0.342 Ns$
a) la velocità angolare omega con cui il corpo si muove sulla traiettoria circolare (t>0);
b) la variazione di energia cinetica del corpo quando il filo si tende (t=0);
c) l'impulso J che il corpo puntiforme subisce quando il filo si tende (t=0).
Suggerimento: Per il calcolo di J, di cui al punto b), conviene considerare a componente parallela e perpendicolare al filo, ed esprimere $teta$ in funzione di d e R.
disegno immagine
a) per trovare la velocità angolare devo trovare la velocita v tangenziale alla circoferenza, quindi devo trovarmi gli angoli
so che $tan(teta)=d/R$ per cui $teta=arctan(d/R)=18.43$ sottraggo a 90 $alpha=90-teta=71.57&$ quindi la mia velocità tangenziale sarà la componente di v di quell'angolo $v_t=v_0*cos(alpha)=1.58 m/s$ e allora $omega=v_t/R=1.3 rad/s$
disegno che spiega megio che angoli intendo
b)la variazione di energia cinetica è data da $K_(var)=1/2m*v_t^2+1/2Iomega^2-1/2m*v_0^2$
l'inerzia è $I=1/2m*r^2$ quindi $K_(var)=1/2m*v_t^2+1/4mR^2*omega^2-1/2m*v_0^2=0.125+0.0625-1.25=-1.0625$
adesso ke ci penso io ho calcolato l'inerzia del disco o spira, va bene?
c) io so che l'impulso $J=intF dt=P_2-P_1=m(v_2-v_1)=0.1*(1.58-5)=0.342 Ns$
Risposte
a) se $alpha$ è l'angolo in $t=0$, l'equazione giusta è $d=Rsinalpha$, non la tangente...quindi $alpha=arcsin(d/R)=19.47°$
Quindi $omega=v_0/Rsinalpha=v_t/R=1.667/1.2=1.389[(rad)/s]$
b) la componente parallela al filo viene completamente persa...quindi prima aveva velocità $v_0$ ed ora ha $v_t$:
$DeltaE_c=1/2mv_t^2-1/2mv_0^2=1/2m(v_t^2-v_0^2)=-1.11[J]$
Puoi valutare l'energia cinetica iniziale come rotazionale oppure rettilinea, ma non entrambe perchè sono la stessa cosa...infatti $I=mR^2$ e quindi:
$1/2Iomega^2=1/2(mR^2)v^2/R^2=1/2mv^2$
c) non conosco la definizione di impulso, e non ti so aiutare...però se va usata la differenza della quantità di moto come tu hai fatto, ritengo sia più adatto valutare $Deltav=v_0cosalpha-0$ perchè l'impulso deve annullare la componente di velocità parallela al filo...l'altra rimane invariata!
Quindi $omega=v_0/Rsinalpha=v_t/R=1.667/1.2=1.389[(rad)/s]$
b) la componente parallela al filo viene completamente persa...quindi prima aveva velocità $v_0$ ed ora ha $v_t$:
$DeltaE_c=1/2mv_t^2-1/2mv_0^2=1/2m(v_t^2-v_0^2)=-1.11[J]$
Puoi valutare l'energia cinetica iniziale come rotazionale oppure rettilinea, ma non entrambe perchè sono la stessa cosa...infatti $I=mR^2$ e quindi:
$1/2Iomega^2=1/2(mR^2)v^2/R^2=1/2mv^2$
c) non conosco la definizione di impulso, e non ti so aiutare...però se va usata la differenza della quantità di moto come tu hai fatto, ritengo sia più adatto valutare $Deltav=v_0cosalpha-0$ perchè l'impulso deve annullare la componente di velocità parallela al filo...l'altra rimane invariata!
l'impulso è un vettore, e anche le quantità di moto che compaiono nell'eguaglianza $intFdt= mv_2-mv_1$ Lo sono. Pertanto non puoi sottrarre i loro moduli così, ma devi tenere conto anche delle loro direzioni e componenti, e trattarli come vettori appunto...
"antani":
l'impulso è un vettore, e anche le quantità di moto che compaiono nell'eguaglianza $intFdt= mv_2-mv_1$ Lo sono. Pertanto non puoi sottrarre i loro moduli così, ma devi tenere conto anche delle loro direzioni e componenti, e trattarli come vettori appunto...
Quindi l'impulso è definito come $intFdt=intmadt=m int adt=mDeltav$?? Buono a sapersi
il mio $alpha$ era l'angolo tra la velocità è la componente tangenziale infattti prima mi sono trovato $theta$ che era l'angolo che c'era tra il vettore velocità e tra la componente parallela al raggio e poi l'ho sottrratto a 90 perche la componente parallela ed l acomponente tangenziale formano un angolo retto cosiì ho calcolato il coseno di $alpha$ invece ke il seno di $theta$...scusa non mi ero spiegato bene
Quello sì, è vero, però fai attenzione alla tangente che hai usato all'inizio...devi usare il seno. Il fatto che corra in maniera rettilinea per $t<0$ non permette comunque il fatto che arrivi ad una distanza dal centro superiore a $R$...mentre l'utilizzo della tangente che tu hai fatto all'inizio presuppone, per esser giusta, che la massa si trovi ad una distanza superiore ad $R$, e non è possibile...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo