Problema con l'inverso gradiente
Ciao a tutti, non capisco come risolvere questo esercizio 
spero possiate aiutarmi :
All’interno di una sfera di raggio R = 3.5 cm di materiale dielettrico è presente una densità volumetrica di carica di polarizzazione \(\displaystyle \rho p(r) = \alpha r^2 \), dove r è la distanza dal centro della sfera ed \(\displaystyle \alpha = 2 · 10−18 C/cm^5. \). Determinare il campo elettrico (modulo, direzione e verso) in tutte le regioni di spazio in funzione della posizione.
Sostanzialmente mi chiede di ricavare \(\displaystyle E(r) \), inizialmente mi era sembrato semplicissimo, e sicuramente lo è..ma dopo pochi passi mi sono bloccato..intanto vediamo se è giusto :
La densità volumetrica (o spaziale) di carica di polarizzazione non è altro che il gradiente del vettore polarizzazione (cambiata di segno), inoltre dalla relazione tra campo polarizzazione e campo elettrico ho :
quindi si tratta di risolvere :
L'operazione inversa del gradiente (che è una derivata direzionale) è l'integrale giusto? Ma :
1) Gli estremi di integrazione quali sono?
2) L'integrale va fatto ad ambo i membri no?
Potete darmi una linea guida? L'integrale ovviamente lo svolgo io però avrei bisogno di un'impostazione con particolare spiegazione sull'integrazione del gradiente :
vi ringrazio tantissimo!
spero possiate aiutarmi :All’interno di una sfera di raggio R = 3.5 cm di materiale dielettrico è presente una densità volumetrica di carica di polarizzazione \(\displaystyle \rho p(r) = \alpha r^2 \), dove r è la distanza dal centro della sfera ed \(\displaystyle \alpha = 2 · 10−18 C/cm^5. \). Determinare il campo elettrico (modulo, direzione e verso) in tutte le regioni di spazio in funzione della posizione.
Sostanzialmente mi chiede di ricavare \(\displaystyle E(r) \), inizialmente mi era sembrato semplicissimo, e sicuramente lo è..ma dopo pochi passi mi sono bloccato..intanto vediamo se è giusto :
La densità volumetrica (o spaziale) di carica di polarizzazione non è altro che il gradiente del vettore polarizzazione (cambiata di segno), inoltre dalla relazione tra campo polarizzazione e campo elettrico ho :
\(\displaystyle \rho p(r) = - grad P = - \epsilon_0 (k-1) grad E = \alpha r^2 \)
quindi si tratta di risolvere :
\(\displaystyle grad E = - \frac{\alpha r^2}{\epsilon_0 (k-1)} \)
L'operazione inversa del gradiente (che è una derivata direzionale) è l'integrale giusto? Ma :
1) Gli estremi di integrazione quali sono?
2) L'integrale va fatto ad ambo i membri no?
Potete darmi una linea guida? L'integrale ovviamente lo svolgo io però avrei bisogno di un'impostazione con particolare spiegazione sull'integrazione del gradiente :
vi ringrazio tantissimo!
Risposte
Vista la simmetria sferica del problema lo risolverei semplicemente con il classico teorema di gauss!
mmm..intendi dire :
\(\displaystyle \oint D u_N d\Sigma = 4\pi r^2 D = q \Rightarrow D(r) = \frac{q}{4 \pi r^2} \)
Quindi con il dielettrico si ha:
\(\displaystyle E(r) = \frac{D}{\epsilon_0 k} = \frac{q}{4 \pi r^2\epsilon_0k} \)
però non ho la carica totale sul dielettrico, ed il secondo punto del problema chiede proprio di calcolare il campo elettrico sulla superficie della sfera (quindi per \(\displaystyle r=R \))
Tu come lo svolgeresti? Ti ringrazio tantissimo per l'aiuto!
PS: Il mio dubbio viene dal fatto che mi sembra che il dielettrico non è lineare (se sbaglio correggimi), in quanto varia con legge quadratica in base al raggio. Non essendo lineare e quindi non essendoci una distribuzione di carica di polarizzazione uniforme, per ricavare la carica di polarizzazione sul dielettrico \(\displaystyle Q_pol \) dovrei scegliere una superficie gaussiana che racchiude tutta la sfera e quindi anche con questo metodo si tratterebbe di risolvere questo integrale :
no?
nessuno che può aiutarmi?
\(\displaystyle \oint D u_N d\Sigma = 4\pi r^2 D = q \Rightarrow D(r) = \frac{q}{4 \pi r^2} \)
Quindi con il dielettrico si ha:
\(\displaystyle E(r) = \frac{D}{\epsilon_0 k} = \frac{q}{4 \pi r^2\epsilon_0k} \)
però non ho la carica totale sul dielettrico, ed il secondo punto del problema chiede proprio di calcolare il campo elettrico sulla superficie della sfera (quindi per \(\displaystyle r=R \))
Tu come lo svolgeresti? Ti ringrazio tantissimo per l'aiuto!
PS: Il mio dubbio viene dal fatto che mi sembra che il dielettrico non è lineare (se sbaglio correggimi), in quanto varia con legge quadratica in base al raggio. Non essendo lineare e quindi non essendoci una distribuzione di carica di polarizzazione uniforme, per ricavare la carica di polarizzazione sul dielettrico \(\displaystyle Q_pol \) dovrei scegliere una superficie gaussiana che racchiude tutta la sfera e quindi anche con questo metodo si tratterebbe di risolvere questo integrale :
\(\displaystyle \int_\tau \rho_{pol} d\tau = - \int_\tau divP dx dy dz = \int_\tau \alpha r^2 dx dy dz = Q_{pol} \)
no?
nessuno che può aiutarmi?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo