Problema con le aste

[5mrkv]

Il disegno è sbagliato. L'angolo $\theta_2$ sta a destra della bisettrice dell'angolo $\hat{OAB}$. La massa delle aste è $m$ e la loro lunghezza $2l$. Per calcolare l'energia cinetica devo utilizzare il secondo teorema di Konig. L'energia cinetica del centro di massa sommata all'energia cinetica rispetto al centro di massa. Ho trovato i centri delle due aste, le cui coordinate sono $G_1=l(2 \sin \theta_1+\sin \theta_2 , 2 \cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ e $G_2=l(2 \sin \theta_1 +\sin \theta_2, 2 \cos \theta _1 - \cos \theta_2)$. Ora devo trovare l'energia cinetica rispetto al centro utilzzando il momento angolare. Come procedo? Il momento angolare di un'asta rispetto all'asse perpendicolare al suo centro, e quindi a $G$, è $\frac{1}{12}md^2=\frac{1}{12}m(2l)^2=\frac{1}{3}ml^2$. Come procedo? Dove devo portare i due momenti angolari? Entrambi in $A$? Per trovare il centro di massa del sitema applica la definizione considerando le aste come particelle situate in $G_1$ e $G_2$? Sia $T=T'+T_g$ cone $T'$ energia cinetica rispetto al centro di massa e $T_g$ energia cinetica del centro di massa, nella soluzione $T'=\frac{1}{2}(\frac{ml^2}{3}+ml^2)\dot \theta_{1}^{2}+\frac{1}{2}\frac{ml^2}{3}\dot \theta_{2}^{2}$. Significa che ha considerato il momento angolare della prima asta rispetto al punto $A$ utilizzando Huygens-Steiner, mentre il centro di massa della seconda rimane invariato in $G_2$. Come mai?

[Sk_Anonymous]

"5mrkv":
L'angolo $\theta_2$ sta a destra della bisettrice dell'angolo $\hat{OAB}$.

Non si capisce per quale motivo quella verticale sarebbe la bisettrice. Inoltre, in $A$ c'è una cerniera?

[5mrkv]

"speculor":[quote="5mrkv"]
L'angolo $\theta_2$ sta a destra della bisettrice dell'angolo $\hat{OAB}$.

Non si capisce per quale motivo quella verticale sarebbe la bisettrice. Inoltre, in $A$ c'è una cerniera?[/quote]
Hai ragione, non è una bisettrice. E' semplicemente la perpendicolare alle ascisse che passa per $A$. Comunque volevo solo dire che l'angolo $\theta_2$ non sta in quella posizione ma poco più in la. Si, le due aste sono legate in quel punto.

Comunque soluzione per l'energia cinetica è $T=\frac{2}{3}ml^2\dot \theta_1^2+\frac{1}{6}ml^2\dot \theta_2^2+\frac{1}{2}ml^2[4\dot \theta_1^2+ \dot \theta_2^2+4\dot \theta_1 \dot \theta _2 \cos (\theta_1 + \theta_2)]$

[Sk_Anonymous]

"5mrkv":
Come procedo? Dove devo portare i due momenti angolari?

Probabilmente intendevi i due momenti d'inerzia.

[5mrkv]

Eh, si. Come procedo con la risoluzione del problema? Devo scrivere $T$.

[Sk_Anonymous]

Se ho capito bene, il sistema ha $2$ gradi di libertà perche $A$ è una cerniera. L'asta incernierata in $O$ ruota rispetto ad $O$, per calcolare la sua energia cinetica è sufficiente $[T=1/2I_Odot\theta_1^2]$. Per l'asta incernierata in $A$ devi utilizzare il teorema di Koenig, $[T=1/2mV_G^2+1/2I_Gdot\theta_2^2]$.

[5mrkv]

Ma perché non applico il teorema di Koenig anche per la prima asta? Perché sarebbe inutile? Mentre il momento di inerzia sempre della prima asta è calcolato rispetto a $O$ dato che questo è il centro del sistema di riferimento fisso?

[Sk_Anonymous]

"5mrkv":
Ma perché non applico il teorema di Koenig anche per la prima asta? Perché sarebbe inutile?

Sì, sarebbe inutile. Per un sistema che ruota attorno ad un punto fisso, generalmente si fanno meno conti come ti ho detto.

"5mrkv":
Mentre il momento di inerzia sempre della prima asta è calcolato rispetto a $O$ dato che questo è il centro del sistema di riferimento fisso?

Se non applichi il teorema di Koenig, quella formula prevede il momento d'inerzia rispetto al centro fisso di rotazione.

[5mrkv]

Grazie