Problema con la Meccanica Classica
Ho un problema di tipo concettuale nell'affrontare alcuni problemi di meccanica classica. Il problema in questione risiede nel fatto che non riesco a comprendere se posso scrivere un potenziale nudo e crudo per una forza F costante (indipendente sia dal tempo che dai parametri langrangiani) generica e per un momento M costante (come per F). Ed inoltre se ciò sia possibile, ma in tal caso credo di si, per forze dipendenti dalla posizione che hanno espressione:
$F=k Q'Q$ e $M=2kR(OG x i)$
essendo k una costante positiva, i un versore, OG e Q'Q vettori.
Il problema mi si è posto quando in alcuni esercizi mi viene richiesto di determinare la Langrangiana del sistema, avendo io studiato che questa esiste quando il sistema ammette un potenziale generalizzato, altrimenti il sistema si risolve utilizzando le equazioi di Langrange che coinvolge energia cinetica T e fore generalizzate Qi.
Al di là della definizione di potenziale che ben conosco vorrei sapere se tutte le forze che ho scritto precedentemente vanno trattate semplicemente come forze generalizzate e quindi la Langrangiana non esiste oppure esiste una espressione per il potenziale.
Grazie in anticipo per le cortesi risposte.
$F=k Q'Q$ e $M=2kR(OG x i)$
essendo k una costante positiva, i un versore, OG e Q'Q vettori.
Il problema mi si è posto quando in alcuni esercizi mi viene richiesto di determinare la Langrangiana del sistema, avendo io studiato che questa esiste quando il sistema ammette un potenziale generalizzato, altrimenti il sistema si risolve utilizzando le equazioi di Langrange che coinvolge energia cinetica T e fore generalizzate Qi.
Al di là della definizione di potenziale che ben conosco vorrei sapere se tutte le forze che ho scritto precedentemente vanno trattate semplicemente come forze generalizzate e quindi la Langrangiana non esiste oppure esiste una espressione per il potenziale.
Grazie in anticipo per le cortesi risposte.
Risposte
Pensandoci un pò su, mi sembre semplice e intuitivo che se ho una forza costante F diretta ad esmpio lungi x il suo potenziale non può che essere Fx...
Cmq vi pregherei di fornirmi comunque un chiarimento....
Cmq vi pregherei di fornirmi comunque un chiarimento....
Partendo dalla definizione $ L(vecx,vecv)= T(vecv)-U(vecx)$ puoi subito vedere che ti basta solamente conoscere le energie cinetiche e potenziali del sistema per scrivere la Lagrangiana.
Se vuoi descrivere un sistema utilizzando la meccanica Lagrangiana (o in generale utilizzando la meccanica analitica) puoi anche dimenticarti delle forze!!!
Nella definizione di Lagrangiana è già inteso che tutte le forze generalizzate ammettano un potenziale...
Quindi quando dovrai fare un esercizio dovrai osservare le energie potenziali che agiscono sul sistema (a cui corrispondono le rispettive forze).
Se disgraziatamente sul sistema agiscono forze che non ammettono un potenziale allora non potrai scrivere la Lagrangiana, e ti toccherà descrivere il sistema utilizzando le equazioni di Newton...
Se vuoi descrivere un sistema utilizzando la meccanica Lagrangiana (o in generale utilizzando la meccanica analitica) puoi anche dimenticarti delle forze!!!
Nella definizione di Lagrangiana è già inteso che tutte le forze generalizzate ammettano un potenziale...
Quindi quando dovrai fare un esercizio dovrai osservare le energie potenziali che agiscono sul sistema (a cui corrispondono le rispettive forze).
Se disgraziatamente sul sistema agiscono forze che non ammettono un potenziale allora non potrai scrivere la Lagrangiana, e ti toccherà descrivere il sistema utilizzando le equazioni di Newton...
Grazie Cantaro per la tua risposta, però non mi è stata molto utile perchè sostanzialmente non hai risposto alla mia domanda. So che è possibile scrivere la langrangiana per tutti i sistemi di forze conservative di potenziale e giroscopiche senza alcuna difficoltà.
Non so a cosa ti riferisci nella affermazione "le forze te le puoi anche dimenticare..." io piuttosto che dimenticarle ricavo la forza generalizzata e poi da queste ricavo il potenziale (quando non so calcolarlo a priori). La mia domanda è se nel caso di forze costanti o momenti costanti posso ricavare l'energia potenziale direttamente, senza calcolare il lavoro virtuale fatto dalla forza e poi da questo ricavare il potenziale.
Cmq se ci sono forze dissipative, vedasi forza d'attrito, non è detto che debba usare per forza le equazioni di Newton.....mi basterà ricavare l'espressione della forza generalizzata relativa all'attrito e la metto al secondo membro dll'equazione... ora non ho tempo per scrivere magari fatto l'esame posterò il procedimento sempre che ti interessi.
Grazie per l'attenzione
Non so a cosa ti riferisci nella affermazione "le forze te le puoi anche dimenticare..." io piuttosto che dimenticarle ricavo la forza generalizzata e poi da queste ricavo il potenziale (quando non so calcolarlo a priori). La mia domanda è se nel caso di forze costanti o momenti costanti posso ricavare l'energia potenziale direttamente, senza calcolare il lavoro virtuale fatto dalla forza e poi da questo ricavare il potenziale.
Cmq se ci sono forze dissipative, vedasi forza d'attrito, non è detto che debba usare per forza le equazioni di Newton.....mi basterà ricavare l'espressione della forza generalizzata relativa all'attrito e la metto al secondo membro dll'equazione... ora non ho tempo per scrivere magari fatto l'esame posterò il procedimento sempre che ti interessi.
Grazie per l'attenzione
si l'energia potenziale la puoi scrivere direttamente...
prendiamo ad esempio un qualsiasi corpo soggetto al potenziale gravitazionale terrestre...
sai che F=-mg è una forza costante puoi scrivere direttamente U(x)=mgx
e cosi puoi fare in tutti gli altri casi...
"le forze te le puoi anche dimenticare" questa frase un po "scherzosa":-D l'ho scritta perchè nella meccanica Lagrangiana le forze perdono importanza a favore dell'energia potenziale...
basti vedere che le equazioni del moto non si risolvono più con le equazioni di Newton $sum_i vecf_i=mveca$ ma basta conoscere la lagrangiana e questa formula qua $d/dt ((dL)/(dv)) - (dL)/dx=0$
spero che l'esame ti vada bene e posta pure il procedimento...
prendiamo ad esempio un qualsiasi corpo soggetto al potenziale gravitazionale terrestre...
sai che F=-mg è una forza costante puoi scrivere direttamente U(x)=mgx
e cosi puoi fare in tutti gli altri casi...
"le forze te le puoi anche dimenticare" questa frase un po "scherzosa":-D l'ho scritta perchè nella meccanica Lagrangiana le forze perdono importanza a favore dell'energia potenziale...
basti vedere che le equazioni del moto non si risolvono più con le equazioni di Newton $sum_i vecf_i=mveca$ ma basta conoscere la lagrangiana e questa formula qua $d/dt ((dL)/(dv)) - (dL)/dx=0$
spero che l'esame ti vada bene
e posta pure il procedimento...
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