Problema con il piano inclinato e le carrucole
Salve sto provando a risolvere il primo di questi due problemi qui:
http://www.df.unipi.it/~giudici/scritti/071107.pdf
Ho impostato tutte le equazioni correttamente, ma quando vado a imporre il vincolo del filo inestensibile ho paura di sbagliare:
dunque io scrivo che il filo è di lunghezza $l = 2(y_1 -d) + sqrt((x_2 + c)^2 + (d + y_2)^2)$
d e c sono le coordinate del punto del soffitto cui è attaccata la carrucola.
Spero di aver fatto bene, ma quando vado a derivare due volte cosa succede? potreste scrivermi gli eventuali errori e il risultato delle due derivazioni? grazie!
http://www.df.unipi.it/~giudici/scritti/071107.pdf
Ho impostato tutte le equazioni correttamente, ma quando vado a imporre il vincolo del filo inestensibile ho paura di sbagliare:
dunque io scrivo che il filo è di lunghezza $l = 2(y_1 -d) + sqrt((x_2 + c)^2 + (d + y_2)^2)$
d e c sono le coordinate del punto del soffitto cui è attaccata la carrucola.
Spero di aver fatto bene, ma quando vado a derivare due volte cosa succede? potreste scrivermi gli eventuali errori e il risultato delle due derivazioni? grazie!
Risposte
"Zkeggia":
Ho impostato tutte le equazioni correttamente, ma quando vado a imporre il vincolo del filo inestensibile ho paura di sbagliare:
dunque io scrivo che il filo è di lunghezza $l = 2(y_1 -d) + sqrt((x_2 + c)^2 + (d + y_2)^2)$
d e c sono le coordinate del punto del soffitto cui è attaccata la carrucola.
Non complicare troppo le cose: considera solo la prima puleggia, quando la massa 1 si abbassa di $y_1$ allora devo "dare filo" pari al doppio di $y_1$.
Questo spostamento si trasmette alla massa 2. Quindi è $y_2=2y_1$. (Tra l'altro questo fa sì che una puleggia simile dimezza la forza per alzare la massa 1 ad essa appesa, anche se questo non ti serve per gli altri quesiti del problema).
Comunque un commento sul compito: che razza di modo è di far fare un esame? Si guarda solo al risultato e non al procedimento seguito dallo studente... Multi-risposta e punti come un quiz.. che schifezza...
Ma quanti studenti ha questo professore? Non può neanche spendere qualche ora a correggere decentemente dei compiti d'esame ? Che tristezza davvero....
a me non torna mica tanto... la massa $y_2$ non scende mica del doppio di $y_1$, o meglio lo farebbe se solo fosse posta in verticale, ma essendo in obliquo quando il primo corpo scende di un tratto l allora la massa 2 scende di un tratto $1/2l$, che però si compone per il teorema di pitagora nella radice quadrata della roba che ho scritto sopra... perchè il filo è in obliquo rispetto al sistema di riferimento... è sbagliato dire così?
Comunque sì, è abbastanza triste un professore così, ma che ci possiamo fare, c'è toccato questo...
Comunque sì, è abbastanza triste un professore così, ma che ci possiamo fare, c'è toccato questo...
"Zkeggia":
a me non torna mica tanto... la massa $y_2$ non scende mica del doppio di $y_1$, o meglio lo farebbe se solo fosse posta in verticale, ma essendo in obliquo quando il primo corpo scende di un tratto l allora la massa 2 scende di un tratto $1/2l$, che però si compone per il teorema di pitagora nella radice quadrata della roba che ho scritto sopra... perchè il filo è in obliquo rispetto al sistema di riferimento... è sbagliato dire così?
Sì.
Che senso ha scomporre lo spostamento del filo come fai tu?
Non ha importanza che il filo sia in verticale o in obliquo, ma solo come sono legati lo spostamento della massa 1 e il filo che va dato per ottenere quello spostamento. Da come sono messi i corpi è chiaro che il filo che viene dato corrisponde direttamente allo spostamento massa 2.
Ho capito, tu stai riferendoti allo spostamento della massa 2 in verticale, io allo spostamento lungo il piano inclinato, che è poi quello che ti serve per gli altri punti (in particolare per il calcolo del rapporto delle velocità).
eh appunto per ottenere uno spostamento della prima massa verso il basso la seconda massa deve spostarsi di una quantità pari alla metà della prima massa, quindi sembrerebbe come dici tu... però quella quantità non è soltanto $y_2$, perchè quando il filo scende dal piano inclinato, si sposta anche sull'asse x... quindi il filo che scende di un tratto l dal piano inclinato è l'ipotenusa del triangolo rettangolo formato dalle sue componenti, e l'unico modo per calcolarla è col teorema di pitagora... mi pare che tu intendessi questo... puoi spiegarti meglio?
se la massa 1 salisse di due metri, un metro proverrebbe dalla massa due, che scende di due metri quindi... ma di due metri in obliquo! non di due metri sull'asse y, nè di due metri sull'asse x.
se la massa 1 salisse di due metri, un metro proverrebbe dalla massa due, che scende di due metri quindi... ma di due metri in obliquo! non di due metri sull'asse y, nè di due metri sull'asse x.
"Zkeggia":
eh appunto per ottenere uno spostamento della prima massa verso il basso la seconda massa deve spostarsi di una quantità pari alla metà della prima massa, quindi sembrerebbe come dici tu... però quella quantità non è soltanto $y_2$, perchè quando il filo scende dal piano inclinato, si sposta anche sull'asse x... quindi il filo che scende di un tratto l dal piano inclinato è l'ipotenusa del triangolo rettangolo formato dalle sue componenti, e l'unico modo per calcolarla è col teorema di pitagora... mi pare che tu intendessi questo... puoi spiegarti meglio?
se la massa 1 salisse di due metri, un metro proverrebbe dalla massa due, che scende di due metri quindi... ma di due metri in obliquo! non di due metri sull'asse y, nè di due metri sull'asse x.
Scusa ma non riesco proprio a seguirti...
Cosa è che vuoi trovare? A me sembra che per scrivere tutte le equazioni del problema sia conveniente fissare un sistema di riferimento $x$ diretto come l'ipotenusa del cuneo e trovare la relazione che lega lo spostamento (per velocità e accelerazione il rapporto sarebbe lo stesso) lungo l'ipotenusa della massa 2 e quello verticale della massa 1. Come detto sopra se la massa 1 si sposta in verticale di $l$ allora la massa 2 si sposta lungo il piano inclinato di $2l$. Il rapporto delle velocità e accelerazioni tra la massa 1 e la massa 2 sarà dunque pari a $1/2$. Questo è tutto.
Io ho preso come sistema di riferimento uno con l'asse x parallela alla linea di terra e l'asse y verticale... insomma un sistema di riferimento standard per intenderci. Mi sono venute fuori queste equazioni:
$m_1x_1 = 0$
$m_1y_1 = -m_1g + 2T$
$m_2x_2 = Qsen(alpha) - T cos alpha $
$m_2y_2 = Qcos (alpha) - T sen alpha - m_2g$
$m_3x_3 = F - Q sen alpha$
$m_3y_3 = N - m_3g - Q cos alpha$
I vincoli sono:
$y_3 = x_3 = 0$
$y_2 = tg alpha x_2$
e l'ultimo vincolo è quello della fune inestensibile.
Il problema con il mio ultimo vincolo è quello che a mio avviso il moto della massa 1 non è semplicemente la metà del moto della massa 2, in quanto se lo fosse la massa 2 dovrebbe essere posta in verticale... a quel punto sì che sarebbe la metà, infatti se la massa 2 scendesse di un metro la massa uno salirebbe mezzo metro. Ma siccome è in obliquo, quando la massa uno sale o scende di l, il filo si sposta di l e siamo d'accordo, ma ciò non significa che il corpo 2 scende di 2l... perchè il corpo due si muove secondo una retta obliqua, quindi per fare un metro in quella direzione deve scendere di un po' sia in altezza che sull'asse delle x. Più chiaro ora? comunque se non ti torna puoi spiegarmi come ti tornano le equazioni in un sistema di riferimento diretto come l'ipotenusa del cuneo?
$m_1x_1 = 0$
$m_1y_1 = -m_1g + 2T$
$m_2x_2 = Qsen(alpha) - T cos alpha $
$m_2y_2 = Qcos (alpha) - T sen alpha - m_2g$
$m_3x_3 = F - Q sen alpha$
$m_3y_3 = N - m_3g - Q cos alpha$
I vincoli sono:
$y_3 = x_3 = 0$
$y_2 = tg alpha x_2$
e l'ultimo vincolo è quello della fune inestensibile.
Il problema con il mio ultimo vincolo è quello che a mio avviso il moto della massa 1 non è semplicemente la metà del moto della massa 2, in quanto se lo fosse la massa 2 dovrebbe essere posta in verticale... a quel punto sì che sarebbe la metà, infatti se la massa 2 scendesse di un metro la massa uno salirebbe mezzo metro. Ma siccome è in obliquo, quando la massa uno sale o scende di l, il filo si sposta di l e siamo d'accordo, ma ciò non significa che il corpo 2 scende di 2l... perchè il corpo due si muove secondo una retta obliqua, quindi per fare un metro in quella direzione deve scendere di un po' sia in altezza che sull'asse delle x. Più chiaro ora? comunque se non ti torna puoi spiegarmi come ti tornano le equazioni in un sistema di riferimento diretto come l'ipotenusa del cuneo?
casomai forse $y_2 / sen alpha$ è lo spostamento di $y_2$ in relazione a $y_1$
Mi sembra che le equazioni che hai scritto siano corrette.
A questo punto detto $s$ lo spostamento della massa 2 lungo l'ipotenusa (sul cuneo).
$s=2y_1$
e
$x2=s cos(30°)$
$y2=s sin(30°)$
e puoi risolvere tutto.
Dato che il cuneo è fermo io per la massa 2 scriverei l'equazione direttamente scegliendo il sistema di riferimento diretto lungo l'ipotenusa del cuneo. Comunque il tuo approccio è giusto.
A questo punto detto $s$ lo spostamento della massa 2 lungo l'ipotenusa (sul cuneo).
$s=2y_1$
e
$x2=s cos(30°)$
$y2=s sin(30°)$
e puoi risolvere tutto.
Dato che il cuneo è fermo io per la massa 2 scriverei l'equazione direttamente scegliendo il sistema di riferimento diretto lungo l'ipotenusa del cuneo. Comunque il tuo approccio è giusto.
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