Problema con due carrucole
Ciao a tutti 
l'esercizio è questo:
Due carrucole sono schematizzabili come due dischi rigidi,omogenei, di raggio r1 e r2 (r2>r1) e masse m1 e m2 rispettivamente, vincolati, nello stesso piano verticale, a ruotare intorno a due assi fissi, orizzontali, paralleli, passanti per i loro centri e disposti in modo che i punti più alti dei dischi si trovino alla stessa quota. Un filo di massa trascurabile ha un estremo collegato al bordo del primo disco, dopo un tratto orizzontale aderisce al bordo del secondo disco, dopo un tratto verticale porta appeso un corpo A di massa m3. Calcolare:
-l'accelerazione del corpo A e le tensioni della fune;
-la reazione vincolare nel secondo disco durante il moto.
Ho ragionato in questo modo: nel tratto orizzontale del filo ho una tensione diversa da quello verticale, quindi scrivo:
$ m_3g-T=m_3a $
$ -T'r_2+Tr_2=Ialpha $
$ T'r_1=Ialpha $
avendo scelto il senso orario positivo e considerando la T=tensione nel tratto verticale, T'=tensione nel tratto orizzontale.
La domanda è: le accelerazioni tangenziali e angolari sono uguali?
Inoltre non so da dove partire per il secondo punto
vi ringrazio in anticipo.
l'esercizio è questo:Due carrucole sono schematizzabili come due dischi rigidi,omogenei, di raggio r1 e r2 (r2>r1) e masse m1 e m2 rispettivamente, vincolati, nello stesso piano verticale, a ruotare intorno a due assi fissi, orizzontali, paralleli, passanti per i loro centri e disposti in modo che i punti più alti dei dischi si trovino alla stessa quota. Un filo di massa trascurabile ha un estremo collegato al bordo del primo disco, dopo un tratto orizzontale aderisce al bordo del secondo disco, dopo un tratto verticale porta appeso un corpo A di massa m3. Calcolare:
-l'accelerazione del corpo A e le tensioni della fune;
-la reazione vincolare nel secondo disco durante il moto.
Ho ragionato in questo modo: nel tratto orizzontale del filo ho una tensione diversa da quello verticale, quindi scrivo:
$ m_3g-T=m_3a $
$ -T'r_2+Tr_2=Ialpha $
$ T'r_1=Ialpha $
avendo scelto il senso orario positivo e considerando la T=tensione nel tratto verticale, T'=tensione nel tratto orizzontale.
La domanda è: le accelerazioni tangenziali e angolari sono uguali?
Inoltre non so da dove partire per il secondo punto
vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Ciao Erika.
C'è un po' di pasticcio ( ti piace fare i dolci, eh?
) in quello che hai scritto.
La prima equazione è quella del moto accelerato della massa A. Ok. Contiene due incognite, $a$ e $T$ .
Tieni subito presente questo : quella che è uguale per tutti è l'accelerazione lineare del filo, flessibile e inestensibile. Quindi è $a$ . Percio, le due accelerazioni angolari saranno diverse, ma collegate ad $a$ .
Precisamente sarà : $alpha_1 = a/r_1$ , e : $\alpha_2 = a/r_2 $ .
Inoltre anche i due momenti di inerzia delle due pulegge sono diversi, giusto?
LE equazioni quindi, fisicamente giuste ( variazione di momento angolare = momento di forze esterne) , vanno corrette.
Fai prima questo. Poi la reazione vincolare nel secondo disco, che immagino appeso da qualche parte, è uguale e opposta al risultante delle forze che agiscono sul disco : il peso del disco e le due tensioni nei due tratti, quello entrante e quello uscente.
Però per questo punto io non so se il problema vuole sapere "solo" la forza che si aggiunge al peso del disco , nel qual caso tra le forze agenti il peso non va messo, oppure vuole considerare tutte le forze, peso incluso.
Ti dirò che in generale, quando si risolvono questi problemi, non si tiene conto del peso proprio, tanto quello c'è sempre.
C'è un po' di pasticcio ( ti piace fare i dolci, eh?
) in quello che hai scritto. La prima equazione è quella del moto accelerato della massa A. Ok. Contiene due incognite, $a$ e $T$ .
Tieni subito presente questo : quella che è uguale per tutti è l'accelerazione lineare del filo, flessibile e inestensibile. Quindi è $a$ . Percio, le due accelerazioni angolari saranno diverse, ma collegate ad $a$ .
Precisamente sarà : $alpha_1 = a/r_1$ , e : $\alpha_2 = a/r_2 $ .
Inoltre anche i due momenti di inerzia delle due pulegge sono diversi, giusto?
LE equazioni quindi, fisicamente giuste ( variazione di momento angolare = momento di forze esterne) , vanno corrette.
Fai prima questo. Poi la reazione vincolare nel secondo disco, che immagino appeso da qualche parte, è uguale e opposta al risultante delle forze che agiscono sul disco : il peso del disco e le due tensioni nei due tratti, quello entrante e quello uscente.
Però per questo punto io non so se il problema vuole sapere "solo" la forza che si aggiunge al peso del disco , nel qual caso tra le forze agenti il peso non va messo, oppure vuole considerare tutte le forze, peso incluso.
Ti dirò che in generale, quando si risolvono questi problemi, non si tiene conto del peso proprio, tanto quello c'è sempre.
Eheheh ok, faccio un po' di ordine. Grazie ai tuoi suggerimenti ho scritto:
$ m_3g-T=m_3a $
$ Tr_2-T'r_2=I_2alpha _2 $
$ T'r_1=I_1alpha _1 $
con:
$ I_1=1/2m_1r_1^2 $
$ I_2=1/2m_2r_2^2 $
$ alpha _1=a/r_1 $
$ alpha _2=a/r_2 $
Sostituendo ottengo un sistema a 3 equazioni e 3 incognite: $ a,T,T' $ e lo risolvo. Giusto?
Il secondo punto continuo a non capirlo più che altro non capisco che vuole... la reazione vincolare di cosa??
$ m_3g-T=m_3a $
$ Tr_2-T'r_2=I_2alpha _2 $
$ T'r_1=I_1alpha _1 $
con:
$ I_1=1/2m_1r_1^2 $
$ I_2=1/2m_2r_2^2 $
$ alpha _1=a/r_1 $
$ alpha _2=a/r_2 $
Sostituendo ottengo un sistema a 3 equazioni e 3 incognite: $ a,T,T' $ e lo risolvo. Giusto?
Il secondo punto continuo a non capirlo
più che altro non capisco che vuole... la reazione vincolare di cosa??
Vuole la forza con cui il sostegno della puleggia deve resistere , per impedire che caschi giù!
Questa è la reazione. Per esempio, se hai un gancio attaccato al soffitto, e ci appendi un peso (= azione) , il peso resiste con una forza uguale e contraria (= reazione).
Qui c'è la $T$ che tira in basso, la $T'$ che tira verso destra (o sinistra, non lo so) . E quindi la sospendita della puleggia deve resistere a queste due forze, ovvero al loro risultante.
Ma ti ho detto che non so se devi considerare anche il peso della puleggia. Io non lo metterei in conto, di solito non si fa. Però sappi che c'è anche il peso della puleggia che agisce sulla sospendita.
Questa è la reazione. Per esempio, se hai un gancio attaccato al soffitto, e ci appendi un peso (= azione) , il peso resiste con una forza uguale e contraria (= reazione).
Qui c'è la $T$ che tira in basso, la $T'$ che tira verso destra (o sinistra, non lo so) . E quindi la sospendita della puleggia deve resistere a queste due forze, ovvero al loro risultante.
Ma ti ho detto che non so se devi considerare anche il peso della puleggia. Io non lo metterei in conto, di solito non si fa. Però sappi che c'è anche il peso della puleggia che agisce sulla sospendita.
La T' tira verso sinistra nella figura.
Quindi come si esprime quanto hai detto con un'espressione matematica ?
$ R_y=-T $
$ R_x=-T' $ ?
Quindi come si esprime quanto hai detto con un'espressione matematica ?
$ R_y=-T $
$ R_x=-T' $ ?
Si, se tieni conto solo delle due tensioni. Perciò il modulo della risultante si trova col teorema di Pitagora. Questo è tutto.
Se vuoi considerare anche il peso della puleggia , cambia $R_y$ .
Se vuoi considerare anche il peso della puleggia , cambia $R_y$ .
Ok perfetto ho capito tutto, grazie mille!
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