Problema con delta di Dirac

[lukath]

Ciao a tutti, avrei un problema con un esercizio... mi si chiede di trovare la soluzione al seguente problema:

$ddot x + dot x = \delta(t-1)$, con condizioni iniziali $x(0)=dot x(0)=0$.

Non so veramente da dove partire... ho provato a calcolare la trasformata di Fourier della soluzione, ma, una volta trovata, ritornare alla soluzione sembra infattibile. Qualcuno ha un'idea?

[anonymous_0b37e9]

Senza scomodare la trasformata di Fourier, puoi procedere risolvendo l'equazione differenziale omogenea associata in due intervalli distinti:

$[x(t)=Ae^(-t)+B] ^^ [0 lt= t lt 1]$

$[x(t)=Ce^(-t)+D] ^^ [t gt 1]$

e imponendo le quattro condizioni seguenti:

$[x(0)=0] ^^ [dotx(0)=0] ^^ [lim_(x->1^+)x(t)=lim_(x->1^-)x(t)] ^^ [lim_(x->1^+)dotx(t)=1+lim_(x->1^-)dotx(t)]$

[lukath]

Ti ringrazio davvero, proverò a procedere così. Un'ultima cosa: l'ultima condizione che hai imposto deriva dal fatto che consideriamo tempi maggiori di $1$ e quindi la $\delta$ assume il suo unico valore non nullo?

[anonymous_0b37e9]

Poiché il supporto della $[\delta(t-1)]$ è esclusivamente $[t=1]$, se $[t ne 1]$ l'equazione è omogenea. Tuttavia, la sua presenza richiede che $[x(t)]$ sia continua e che $[x'(t)]$ abbia una discontinuità di prima specie con salto unitario per $[t=1]$. Dal punto di vista fisico, all'istante $[t=1]$ agisce una forza impulsiva di impulso unitario che, essendo la massa unitaria, modifica le condizioni iniziali in $[x(1)=0] ^^ [dotx(1)=1]$.