Problema con centro di massa
Ho questo problema e non capisco da dove cominciare: una lamina è composta da due lastre dello stesso volume e di materiali diversi. Come mostra la figura una lastra è fatta d'oro che ha una densità di $19,3g/cm^3$ e l'altra è fatta di ferro che ha una densità di $7,9g/cm^3$. Dove si trova il centro di massa della lamina. La lamina è lunga 30cm, alta 2cm e larga 4cm e lo stesso vale per l'altra lamina. Potreste aiutarmi a capire come risolverlo? Bisogna per caso trovare il volume e conoscendo la densitá trovare la massa?
Risposte
Vedere la figura aiuterebbe 
Comunque, assumendo che sia due lamine identiche sovrapposte ed omogenee, il cdm di una sarà a $1\text( cm)$ di altezza e quello dell'altra sarà a $3\text( cm)$.
Ti basta fare la media ponderata.
Comunque, assumendo che sia due lamine identiche sovrapposte ed omogenee, il cdm di una sarà a $1\text( cm)$ di altezza e quello dell'altra sarà a $3\text( cm)$.
Ti basta fare la media ponderata.
Sonot messe a fianco. Però non mi fà inserire l'immagine, mi dice che il formato non va bene perchè è jpeg. Che formato devo mettere?
Il ragionamento da fare è sempre quello, si tratta solo di capire su quale faccia siano affiancate ... io, prima, ho usato l'altezza non sapendo come sono messe, tu usa la dimensione sulla quale sono affiancate ...
Ma non sono omogenee.
Le due lastre SONO omogene: una è tutta d'oro e l'altra è tutta di ferro.
Le due lastre non solo sono omogenee , ma hanno anche lo stesso volume.
Essendo omogenee , il CM di ciascuna esse coincide col baricentro geometrico , che spero tu sappia determinare. Prendi un piano orizzontale come piano $(x,y)$ , quindi il terzo asse $z$ è perpendicolare. Metti su questo piano le due lastre , affiancate come dice il testo per formare la lamina . Trova le coordinate $(x_i,y_i,z_i) $ del CM di ciascuna di esse. Poi scrivi :
$x_G = (x_1rho_1V + x_2rho_2V)/(rho_1V + rho_2V) = (x_1rho_1 + x_2rho_2)/(rho_1 + rho_2) $
e analogamente per le altre due coordinate .
Essendo omogenee , il CM di ciascuna esse coincide col baricentro geometrico , che spero tu sappia determinare. Prendi un piano orizzontale come piano $(x,y)$ , quindi il terzo asse $z$ è perpendicolare. Metti su questo piano le due lastre , affiancate come dice il testo per formare la lamina . Trova le coordinate $(x_i,y_i,z_i) $ del CM di ciascuna di esse. Poi scrivi :
$x_G = (x_1rho_1V + x_2rho_2V)/(rho_1V + rho_2V) = (x_1rho_1 + x_2rho_2)/(rho_1 + rho_2) $
e analogamente per le altre due coordinate .
Allora il baricentro geometrico è il punto d'incontro delle mediane o è il punto in cui si concetra la massa? Il volume si calcolare b×l×h e non devo convertire tutto in kg? Provo a farlo come dici tu
L'immagine è questa. Secondo me la lastra è unica ed è fatta per metà da ferro e metà da oro.
Te lo ridico: ciascuna lastra è omogenea, quindi il CM coincide col baricentro geometrico. Vista la figura, immagina che la lamina sia poggiata sul piano (x,y) ; prendi come origine delle coordinate il vertice inferiore Sn della lamina, asse x lungo lo spigolo di 60 cm in basso, asse y lungo lo spigolo di 40 cm , diretto verso il retro; asse z lungo lo spigolo verticale di 2 cm.
Ora, sei in grado di trovare le coordinate dei due centri?
Ora, sei in grado di trovare le coordinate dei due centri?
Ho fatto come hai detto tu ma dopo aver applicato la formula mi ridanno gli stessi risultati ovvero la lunghezza, la larghezza e l'altezza
Io non so che cosa hai combinato. Ti ho detto di mettere gli assi in un certo modo , cioè questo :
I punti 1 e 2 sono i centri di figura dei due parallelepipedi , coincidenti con i centri di massa delle due lastre . Il punto 1 ha coordinate :
$x_1 = 15 cm $
$y_1 = 20 cm $
$z_1 = 1 cm$
il punto 2 ha coordinate :
$x_2 = 45 cm $
$y_2 = 20 cm $
$z_2 = 1 cm$
Per trovare la coordinata $x_G$ del centro di massa della lamina composta , devi scrivere :
$x_G = (x_1M_1 + x_2M_2) / ( M_1+M_2) =(x_1\rho_1 V+ x_2\rho_2V) / ( rho_1V+\rho_2V) = (x_1\rho_1 + x_2\rho_2) / ( rho_1+\rho_2) =...$
sostituendo i valori numerici :
$....= (15*7.9 + 45*19.3)/(7.9+19.3) = (987)/(27.2) cm = 36.29 cm $
Le altre due coordinate del CM della lamina composta sono immediate ( perchè ? ) :
$y_G = 20 cm $
$z_G = 1 cm $
e comunque puoi ricavare questi valori applicando pedissequamente la formula già detta per $x_G$ , naturalmente usando le coordinate giuste.
Questi sono i fondamenti della geometria delle masse; ma forse non te li hanno spiegati a dovere ?
I punti 1 e 2 sono i centri di figura dei due parallelepipedi , coincidenti con i centri di massa delle due lastre . Il punto 1 ha coordinate :
$x_1 = 15 cm $
$y_1 = 20 cm $
$z_1 = 1 cm$
il punto 2 ha coordinate :
$x_2 = 45 cm $
$y_2 = 20 cm $
$z_2 = 1 cm$
Per trovare la coordinata $x_G$ del centro di massa della lamina composta , devi scrivere :
$x_G = (x_1M_1 + x_2M_2) / ( M_1+M_2) =(x_1\rho_1 V+ x_2\rho_2V) / ( rho_1V+\rho_2V) = (x_1\rho_1 + x_2\rho_2) / ( rho_1+\rho_2) =...$
sostituendo i valori numerici :
$....= (15*7.9 + 45*19.3)/(7.9+19.3) = (987)/(27.2) cm = 36.29 cm $
Le altre due coordinate del CM della lamina composta sono immediate ( perchè ? ) :
$y_G = 20 cm $
$z_G = 1 cm $
e comunque puoi ricavare questi valori applicando pedissequamente la formula già detta per $x_G$ , naturalmente usando le coordinate giuste.
Questi sono i fondamenti della geometria delle masse; ma forse non te li hanno spiegati a dovere ?
I centri li hai trovati usando la formula del baricentro? Non ho capito perchè sono immediate le altre due. No a scuola non me lo hanno spiegato bene quest'argomento.
Prendiamo una delle due lastre , quella di ferro , per capirci. Ha la forma di un parallelepipedo , quindi , rispetto agli assi coordinati messi nel modo che ti ho indicato, le coordinate del suo centro di figura sono , ciascuna, la metà dei rispettivi lati. Ci sei su questo ?
Il centro di figura della lastra 2 ha ordinata $y_2= 20cm$ e quota $z_2= 1 cm$ uguali a quelle della lastra 1 : basta guardare la figura per capirlo. L'ascissa $x_2$ vale la somma $30cm + 15 cm = 45 cm$ , e anche qui la figura è eloquente al riguardo.
Come detto più volte, essendo ciascuna lastra omogenea, il centro di massa coincide col centro di figura.
È chiaro finora ?
Per trovare le coordinate del centro di massa $G$ di tutta la lamina , occorre applicare la definizione di CM . Dato un sistema di masse $m_i$ , di coordinate $x_i$ , la coordinata $x_G$ del CM è data da :
$x_G = (Sigma_i m_ix_i)/M $
e analogamente per le altre due coordinate.
Ho detto che le coordinate $y_G$ e $z_G$ del CM della lamina composta sono immediate , perchè i due centri 1 e 2 delle singole lastre hanno lo stesso valore di tali coordinate , come puoi verificare . Quando metti in 1 tutta la massa $M_1$ , e in 2 tutta la massa $M_2$ , e applichi la formula più volte richiamata , ottieni gli stessi valori :
$y_G = (y_1M_1 + y_2M_2 )/ (M_1+M_2) = y_1 (M_1+M_2)/(M_1+M_2) = y_1=y_2 $
e analogamente per $z_G$ , come puoi verificare direttamente. Per cui, sapendo già che $y_1=y_2$ , e $z_1=z_2$, non c'è bisogno di fare alcun calcolo.
............................................................................
Che classe fai, se è lecito ? E come mai ti hanno dato un esercizio che non sei in grado di risolvere ? Intendiamoci, tu non hai nessuna colpa, forse ( e ripeto: forse! ) la colpa è del sistema scolastico....ma bando a certe riflessioni che potrebbero suscitare il risentimento di qualche frequentatore del forum.
Il centro di figura della lastra 2 ha ordinata $y_2= 20cm$ e quota $z_2= 1 cm$ uguali a quelle della lastra 1 : basta guardare la figura per capirlo. L'ascissa $x_2$ vale la somma $30cm + 15 cm = 45 cm$ , e anche qui la figura è eloquente al riguardo.
Come detto più volte, essendo ciascuna lastra omogenea, il centro di massa coincide col centro di figura.
È chiaro finora ?
Per trovare le coordinate del centro di massa $G$ di tutta la lamina , occorre applicare la definizione di CM . Dato un sistema di masse $m_i$ , di coordinate $x_i$ , la coordinata $x_G$ del CM è data da :
$x_G = (Sigma_i m_ix_i)/M $
e analogamente per le altre due coordinate.
Ho detto che le coordinate $y_G$ e $z_G$ del CM della lamina composta sono immediate , perchè i due centri 1 e 2 delle singole lastre hanno lo stesso valore di tali coordinate , come puoi verificare . Quando metti in 1 tutta la massa $M_1$ , e in 2 tutta la massa $M_2$ , e applichi la formula più volte richiamata , ottieni gli stessi valori :
$y_G = (y_1M_1 + y_2M_2 )/ (M_1+M_2) = y_1 (M_1+M_2)/(M_1+M_2) = y_1=y_2 $
e analogamente per $z_G$ , come puoi verificare direttamente. Per cui, sapendo già che $y_1=y_2$ , e $z_1=z_2$, non c'è bisogno di fare alcun calcolo.
............................................................................
Che classe fai, se è lecito ? E come mai ti hanno dato un esercizio che non sei in grado di risolvere ? Intendiamoci, tu non hai nessuna colpa, forse ( e ripeto: forse! ) la colpa è del sistema scolastico....ma bando a certe riflessioni che potrebbero suscitare il risentimento di qualche frequentatore del forum.
Si, al risultato poi c'ero arrivato quello che volevo capire è se quello che avevi scritto è il baricentro. E dopo averlo scritto ho capito perchè le altre due soluzioni erano immediate. Grazie mille per l'aiuto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo