Problema con carrucola e filo elastico
Salve,
chiedo cortesemente aiuto per il problema che segue. La mia soluzione è diversa da quella esatta e proprio non riesco a venirne a capo.
"Si considerino due corpi A e B (vedi figura) collegati con un elastico di massa trascurabile e costante elastica K=160N/m.
La superficie orizzontale dove è posato B è scabra con μs=0.4. La massa di B è mB= 4kg. Inizialmente il sistema è in quiete perché A è sostenuto da una forza esterna e l’elastico ha lunghezza uguale a quella di riposo. All’istante t=0 si elimina la forza esterna che tiene A in equilibrio. Determinare il massimo valore che può avere la massa di A se B deve restare fermo. (mA=0.8Kg)"
...per il corpo B:
$M$ = massa di del corpo B = $4 kg$
$mu$ = coefficiente di attrito statico = $0.4$
$k$ = coeffiente elastico = $160$ N/m
$ -muMg+kx=0 $ (forza di attrito statico + forza elstica)
da cui
$ x= (muMg)/k=0.098 m $
...per il corpo A
$m$ = massa del corpo A
$k$ = coeffiente elastico = $160$ N/m
$ -kx+mg=0 $
da cui, sostituendo il precedente valore di x:
$ -15.68/9.8=m $
$ m=1.6 kg $ ......ma la soluzione dovrebbe essere la metà: $0.8 kg$
Sbaglio sicuramente qualcosa.
Per esempio, il corpo B dovrebbe iniziare a muoversi dopo il rilascio del supporto. Quindi:
$ -kx+mg=ma $
ma qui mi blocco.
Mi serve una mano, plz
chiedo cortesemente aiuto per il problema che segue. La mia soluzione è diversa da quella esatta e proprio non riesco a venirne a capo.
"Si considerino due corpi A e B (vedi figura) collegati con un elastico di massa trascurabile e costante elastica K=160N/m.
La superficie orizzontale dove è posato B è scabra con μs=0.4. La massa di B è mB= 4kg. Inizialmente il sistema è in quiete perché A è sostenuto da una forza esterna e l’elastico ha lunghezza uguale a quella di riposo. All’istante t=0 si elimina la forza esterna che tiene A in equilibrio. Determinare il massimo valore che può avere la massa di A se B deve restare fermo. (mA=0.8Kg)"
...per il corpo B:
$M$ = massa di del corpo B = $4 kg$
$mu$ = coefficiente di attrito statico = $0.4$
$k$ = coeffiente elastico = $160$ N/m
$ -muMg+kx=0 $ (forza di attrito statico + forza elstica)
da cui
$ x= (muMg)/k=0.098 m $
...per il corpo A
$m$ = massa del corpo A
$k$ = coeffiente elastico = $160$ N/m
$ -kx+mg=0 $
da cui, sostituendo il precedente valore di x:
$ -15.68/9.8=m $
$ m=1.6 kg $ ......ma la soluzione dovrebbe essere la metà: $0.8 kg$
Sbaglio sicuramente qualcosa.
Per esempio, il corpo B dovrebbe iniziare a muoversi dopo il rilascio del supporto. Quindi:
$ -kx+mg=ma $
ma qui mi blocco.
Mi serve una mano, plz
Risposte
Mi sembra che per il corpo appeso hai scritto l'equazione di equilibrio dimenticandoti che c'e' anche la tensione della fune murata al soffitto. Non ho carta e penna sottomano e leggo da cellulare, ma mi concentrei li per trovare l'errore
Grazie per la risposta,
purtroppo avevo sbagliato upload. ^^'''
Adesso ho postato l'immagine adatta, perdonami.
purtroppo avevo sbagliato upload. ^^'''
Adesso ho postato l'immagine adatta, perdonami.
Quando rimuovi il ritegno di A, il corpo A cade.
La massima elongazione, se il corpo B non si muove, e' calcolabile con la conservazione dell'energia.
All'inizio, scelto come livello di potenziale nullo la posizione del corpo A, l'energia e' nulla.
Alla massima elongazione (chiamiamola $delta$), l'energia potenziale e' la somma di energia potenziale "di quota" e di energia potenziale della molla, cioe'
$0=-m_Agdelta+1/2kdelta^2$
La massima elongazione risulta allora $delta=[2m_Ag]/k$, a cui corrisponde una forza massima $F=2m_Ag$.
Quindi per far si che B stia fermo deve risultare $2m_Ag=mu_sm_Bg$, da cui ricavi
$m_A=[m_Bmu_s]/2=[4*0.4]/2=0.8$
Il valore che hai trovato tu e' quello che compete al peso A in condizioni statiche (se i passaggi sono giusti, non ho controllato), cioe' appendendo A all'elastico e rilasciandolo lentamente fino alla massima estensione dell'elastico. Ma in condizioni dinamiche, ovviamente, la massa deve essere minore.
La massima elongazione, se il corpo B non si muove, e' calcolabile con la conservazione dell'energia.
All'inizio, scelto come livello di potenziale nullo la posizione del corpo A, l'energia e' nulla.
Alla massima elongazione (chiamiamola $delta$), l'energia potenziale e' la somma di energia potenziale "di quota" e di energia potenziale della molla, cioe'
$0=-m_Agdelta+1/2kdelta^2$
La massima elongazione risulta allora $delta=[2m_Ag]/k$, a cui corrisponde una forza massima $F=2m_Ag$.
Quindi per far si che B stia fermo deve risultare $2m_Ag=mu_sm_Bg$, da cui ricavi
$m_A=[m_Bmu_s]/2=[4*0.4]/2=0.8$
Il valore che hai trovato tu e' quello che compete al peso A in condizioni statiche (se i passaggi sono giusti, non ho controllato), cioe' appendendo A all'elastico e rilasciandolo lentamente fino alla massima estensione dell'elastico. Ma in condizioni dinamiche, ovviamente, la massa deve essere minore.
La soluzione è chiarissima e piuttosto semplice. L'energia cinetica è nulla nella posizione di partenza e si annulla anche quando il corpo si ferma in posizione di equilibrio, giusto? Quindi calcoliamo solo l'energia potenziale per quanto riguarda la conservazione dell'energia meccanica. Non vorrei sbagliarmi sulla questione, banale ma delicata.
Non avevo voluto adoperare le formule sull'energia perchè l'esercizio fa parte di una sezione chiamata "dinamica". Dopo questo gruppo di esercizi ce n'è un'altra denominata "lavoro, energia", quindi ho pensato si potesse risolvere anche in altro modo... ma mi rendo conto che probabilmente questo è l'unica via esatta.
Non avevo voluto adoperare le formule sull'energia perchè l'esercizio fa parte di una sezione chiamata "dinamica". Dopo questo gruppo di esercizi ce n'è un'altra denominata "lavoro, energia", quindi ho pensato si potesse risolvere anche in altro modo... ma mi rendo conto che probabilmente questo è l'unica via esatta.
Si, e' giusto. Se non vuoi usare l ' energia, puoi risolvere il problema con Le forze in gioco. Calcoli la legge oraria della massa appesa con Le leggi della dinamica. Vedi dove si annulla la velocita' (punto di massima elongazione) e ritrovi, si spera, lo stesso risultato.
Grazie mille per il prezioso aiuto 
...vedo cosa riesco ad ottenere.
...vedo cosa riesco ad ottenere.
Per completare:
$-muMg +kx = 0$ , quindi $kx=15.68N$
Rilasciato il supporto, le forze che compongono il moto del corpo A (armonico) sono:
$−kx+mg=ma$
nel centro dell'ampiezza totale (in questo caso l'elongazione massima $x$) l'accelerazione è nulla (caratteristica del moto armonico). Questo vuol dire che in $x/2 →−k(x/2)+mg=0$ (per un breve momento, forza elastica e forza peso si equivalgono)
da cui
$m=(k(x/2))/g=0.8kg$
$-muMg +kx = 0$ , quindi $kx=15.68N$
Rilasciato il supporto, le forze che compongono il moto del corpo A (armonico) sono:
$−kx+mg=ma$
nel centro dell'ampiezza totale (in questo caso l'elongazione massima $x$) l'accelerazione è nulla (caratteristica del moto armonico). Questo vuol dire che in $x/2 →−k(x/2)+mg=0$ (per un breve momento, forza elastica e forza peso si equivalgono)
da cui
$m=(k(x/2))/g=0.8kg$
A dire il vero non riesco a seguire il tuo ragionamento. Perche prendi il punto a meta' elongazione?
Io intendevo dire che dovresti trovare la legge del moto (che risulta $ y= -g/omega^2(cosomegat-1) $
La velocita e' $ doty=g/wsinomegat $
e si annulla in $ omegat=pi $ momento in cui l'elongazione (e quindi la forza di richiamo) e' massima.
Quindi a $ omegat=pi $ l'elongazione massima e' $ delta=[2g]/w^2 $
da cui, per l'equilibrio delle forze, $ m_Bmu_sg=kdelta=k[2g]/omega^2=2gm_A $
e quindi $ m_A=[m_Bmu_s]/2 $
Io intendevo dire che dovresti trovare la legge del moto (che risulta $ y= -g/omega^2(cosomegat-1) $
La velocita e' $ doty=g/wsinomegat $
e si annulla in $ omegat=pi $ momento in cui l'elongazione (e quindi la forza di richiamo) e' massima.
Quindi a $ omegat=pi $ l'elongazione massima e' $ delta=[2g]/w^2 $
da cui, per l'equilibrio delle forze, $ m_Bmu_sg=kdelta=k[2g]/omega^2=2gm_A $
e quindi $ m_A=[m_Bmu_s]/2 $
Non capisco come si ottiene la legge del moto.
Risulta:
$ -w^2xm+mg=ma $
da cui
$ a=-w^2x+g $
Potresti spiegarmi i tuoi passaggi più nel dettaglio?
Risulta:
$ -w^2xm+mg=ma $
da cui
$ a=-w^2x+g $
Potresti spiegarmi i tuoi passaggi più nel dettaglio?
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