Problema con Calcolo del Centro di massa...
Salve a tutti ragazzi...fra un mesetto ho l'esame di Fisica I e non riesco a capire come si calcola il centro di massa.... Proprio oggi stavo provando a calcolarlo su un Cilindro con raggio r e altezza h, (il cilindro è posto in orizzontale)... Chi mi può far vedere come posso fare per favore?
Risposte
Almeno intuitivamente lo vedi dov'è il cdm di un cilindro ?
il cilindro è dotato di tre piani di simmetria ortogonali -> il baricentro dovrà trovarsi nell'intersezione di questi tre che guardacaso è un punto
Intuitivamente si che lo sò dove è.... ma come faccio a calcolarlo?
Il cilindro ha un asse di simmetria, il centro di massa deve stare su questo asse. Una volta assegnata l'altezza del cilindro, si determina un ulteriore piano di simmetria, quello perpendicolare all'asse e che lo divide in due parti uguali. Il centro di massa deve stare anche su questo piano. Quindi, il centro di massa coincide con il punto d'intersezione dell'asse del cilindro con questo piano.
allora se io posiziono il cilindro (in orizzontale) in un riferimento cartesiano in cui il suo Centro di Massa sia lungo l'asse z e dovendolo trovare con questa formula:
$\int_Vrdm$
ed avendo che:
$\sigma=(dm)/(dV)$ perciò $\dm=\sigma\pir^2h$ di conseguenza l'integrale diventa:
$\int_0^(2r)r\sigma\pir^2h$ e ora credo che sia così....
$\sigma\pih\int_0^(2r)r^3$ cioè $\sigma\pih(8r^4)/4$
quindi concludendo i conti ottengo che sull'asse Z il mio centro di massa è:
$z_{cm}=(\int_Vrdm)/M$ e perciò
$z_{cm}=( \sigma\pih(8r^4)/4)/M$ ma $\sigma=(dm)/(pihr^2)$ e sostituendo in $z_{cm}=( \sigma\pih(8r^4)/4)/M$ e semplificando ottengo:
$z_{cm}=2r^2$
ma non è corretto! dove sbaglio!?!?!
$\int_Vrdm$
ed avendo che:
$\sigma=(dm)/(dV)$ perciò $\dm=\sigma\pir^2h$ di conseguenza l'integrale diventa:
$\int_0^(2r)r\sigma\pir^2h$ e ora credo che sia così....
$\sigma\pih\int_0^(2r)r^3$ cioè $\sigma\pih(8r^4)/4$
quindi concludendo i conti ottengo che sull'asse Z il mio centro di massa è:
$z_{cm}=(\int_Vrdm)/M$ e perciò
$z_{cm}=( \sigma\pih(8r^4)/4)/M$ ma $\sigma=(dm)/(pihr^2)$ e sostituendo in $z_{cm}=( \sigma\pih(8r^4)/4)/M$ e semplificando ottengo:
$z_{cm}=2r^2$
ma non è corretto! dove sbaglio!?!?!
Tengo a precisare che le simmetrie, quando sufficienti, dovrebbero servire ad evitare il calcolo di un noioso integrale, quando insufficienti, almeno a semplificarlo. La mia impressione è che tu non abbia le basi per impostarlo. Hai scritto infatti una serie di formule con quasi nessun senso matematico e fisico, a tal punto che non vale nemmeno la pena correggerle. Ti invito a ripassare questi concetti.
Allora, io ho appreso e fatto mio tutto ciò che c'è da capire sul centro di massa e le simmetrie per semplificarne il calcolo... Il caso vuole che io debbo fare i calcoli sul compito ed è questo il punto! Sapere dov'è ma non riuscire a calcolarlo... Io chiedo aiuto non per quanto riguarda la teoria o quant'altro ma per calcolare il centro di massa
a seguito delle considerazioni sulla simmetria è banale concludere che se prendi l'asse z lungo l'asse del cilindro e l'origine su una delle due basi il cdm sarà il punto $(0,0,h/2)$
la questione della simmetria è una proposizione dimostrabile , quindi è valida per argomentare il risultato.
per il calcolo con l'integrale devi contare che $r^2 = X^2 + y^2 + Z^2$ e da li lo calcoli magari tramite una parametrizzazione.
la questione della simmetria è una proposizione dimostrabile , quindi è valida per argomentare il risultato.
per il calcolo con l'integrale devi contare che $r^2 = X^2 + y^2 + Z^2$ e da li lo calcoli magari tramite una parametrizzazione.
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