Problema cilindro con foro
Salve a tutti, stamattina stavo cercando di risolvere un problema con la seguente richiesta:
entro un cilindro di raggio R è praticato un foro cilindrico parallelo all'asse, di raggio $r<=R/4$; la distanza tra l'asse del cilindro e l'asse del foro è $b$. Se il cilndro è carico con densità $rho$ costante, calcolare come varia il campo elettrostatico nel foro lungo la congiungente i due assi.
Il libro mi da questa soluzione (della quale però non sono molto convinto):
il campo elettrostatico nella cavità può essere pensato come somma di un cilindro pieno di raggio $R$ carico positivamente, e del campo di un cilindro avente le dimensioni del foro, carico negativamente. A distanza r dal centro lungo la congiungente i due assi $vec(E)= (rho*r)/(2epsi_0)-rho/(2*epsi_0)*(r-b)= (rho*b)/(2*epsi_0)$.
Quello che contesto è il fatto che il libro ponga, per il cilindro carico negativamente, il suo campo come se avesse la distanza $r-b$ con $r$ in comune con il primo cilindro. Se però io mi ponessi a distanza $a$ dall' asse del cilindro cavo e quindi $E_(cavo)=rho/(2epsi_0)*(a-b)$ il medesimo punto non avrebbe distanza $a$ rispetto all'asse del primo. In conclusione non credo di aver capito bene il ragionamento e quello che contesto è che non c'è una coerenza geometrica, sebbene possa ammettere che alla fine il campo risultante sia costante. Qualcuno potrebbe darmi qualche delucidazione? Grazie infinite
entro un cilindro di raggio R è praticato un foro cilindrico parallelo all'asse, di raggio $r<=R/4$; la distanza tra l'asse del cilindro e l'asse del foro è $b$. Se il cilndro è carico con densità $rho$ costante, calcolare come varia il campo elettrostatico nel foro lungo la congiungente i due assi.
Il libro mi da questa soluzione (della quale però non sono molto convinto):
il campo elettrostatico nella cavità può essere pensato come somma di un cilindro pieno di raggio $R$ carico positivamente, e del campo di un cilindro avente le dimensioni del foro, carico negativamente. A distanza r dal centro lungo la congiungente i due assi $vec(E)= (rho*r)/(2epsi_0)-rho/(2*epsi_0)*(r-b)= (rho*b)/(2*epsi_0)$.
Quello che contesto è il fatto che il libro ponga, per il cilindro carico negativamente, il suo campo come se avesse la distanza $r-b$ con $r$ in comune con il primo cilindro. Se però io mi ponessi a distanza $a$ dall' asse del cilindro cavo e quindi $E_(cavo)=rho/(2epsi_0)*(a-b)$ il medesimo punto non avrebbe distanza $a$ rispetto all'asse del primo. In conclusione non credo di aver capito bene il ragionamento e quello che contesto è che non c'è una coerenza geometrica, sebbene possa ammettere che alla fine il campo risultante sia costante. Qualcuno potrebbe darmi qualche delucidazione? Grazie infinite
Risposte
"Boomerang":
Se però io mi ponessi a distanza $a$ dall' asse del cilindro cavo ...
Il campo non sarebbe $[E_(cavo)=rho/(2epsi_0)*(a-b)]$, piuttosto $[E_(cavo)=rho/(2epsi_0)*a]$. Insomma, la formula $[E_(cavo)=rho/(2epsi_0)*(r-b)]$ deve essere utilizzata solo se $r$ rappresenta la distanza dall'asse del cilindro di raggio $R$.
Quindi devo considerare i cilindri come coassiali?
No. Se $r$ è la distanza dall'asse del cilindro di raggio $R$, $b-r$ è la distanza dall'asse del cilindro cavo.
Credo di aver capito. Intendi dirmi che se $a$ è il punto preso in considerazione allora per il cilndro cavo vale: $r-b=a <=> r=a+b$ da cui $E_(cavo)=(rho*a)/(2epsi_0)$...?
Se $a$ è la distanza dall'asse del cilindro cavo del punto in cui si valuta il campo, allora la distanza del medesimo punto dall'asse del cilindro di raggio $R$ è $r=b-a$.
Non vorrei sembrarti arrogante ma credo sia la stessa cosa che ho scritto nell'ultimo messaggio... Grazie S.Elias
"Boomerang":
Non vorrei sembrarti arrogante ...
Figurati. Non mi sembra la stessa cosa. Per te $r=a+b$, per me $r=b-a$. Tra l'altro, quando dici che $a$ è il punto preso in considerazione, non si comprende del tutto che cosa tu intenda, visto che $a$ è una distanza e le distanze in questione sono due, quelle dagli assi dei due cilindri. In realtà, per te $a$ è la distanza dall'asse del cilindro cavo, quindi $r=b-a$ è la distanza dall'asse del cilindro di raggio $R$.
Hai ragione, non ho specificato bene. Se scrivo che $r$ è la distanza di un qualsiasi punto del cilindro rispetto all' origine del cilindro di raggio $R$ e invece $r'=r-b=r-OO'$, dove $OO'=b$ è la distanza fra i due assi, allora preso un punto $r'=a$ rispetto al cilindro cavo si ha che per l' altro vale $r=r'+OO'$ da cui le mie conclusioni.
Ho aggiunto una considerazione. Nel tuo primo messaggio hai chiaramente indicato con $a$ la distanza dall'asse del cilindro cavo.
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