Problema Carica totale interna
Ciao a tutti, ho un problema col seguente esercizio.
Considerate una regione di spazio di forma cubica di lato L = 10 cm, con un vertice del cubo nell’origine delle coordinate e gli spigoli adiacenti orientati come i tre assi cartesiani x, y, z nel verso positivo (in modo che il cubo si trova interamente nella porzione di spazio dove le coordinate cartesiane sono positive). In questa regione, il campo elettrico è dato dalla seguente espressione:
$ Ex =−2ax(y−z)^2 $
$ Ey =−2ax^2(y−z) $
$ Ey = 2ax^2(y−z) $
dove a = 2 V/m4 è una costante. Calcolare la carica totale contenuta nella regione cubica usando due metodi, ovvero calcolando (a) il flusso attraverso la superficie e (b) la divergenza del campo elettrico.
Per il secondo metodo ho applicato semplicemente la divergenza derivando i tre campi, ma mi esce un valore di Q in funzione di due variabili. Il primo invece mi è poco chiaro in generale, applicando Gauss devo integrare per ogni superficie la componente del campo interessato o deve essere un integrazione generale di "E(r)"?
Considerate una regione di spazio di forma cubica di lato L = 10 cm, con un vertice del cubo nell’origine delle coordinate e gli spigoli adiacenti orientati come i tre assi cartesiani x, y, z nel verso positivo (in modo che il cubo si trova interamente nella porzione di spazio dove le coordinate cartesiane sono positive). In questa regione, il campo elettrico è dato dalla seguente espressione:
$ Ex =−2ax(y−z)^2 $
$ Ey =−2ax^2(y−z) $
$ Ey = 2ax^2(y−z) $
dove a = 2 V/m4 è una costante. Calcolare la carica totale contenuta nella regione cubica usando due metodi, ovvero calcolando (a) il flusso attraverso la superficie e (b) la divergenza del campo elettrico.
Per il secondo metodo ho applicato semplicemente la divergenza derivando i tre campi, ma mi esce un valore di Q in funzione di due variabili. Il primo invece mi è poco chiaro in generale, applicando Gauss devo integrare per ogni superficie la componente del campo interessato o deve essere un integrazione generale di "E(r)"?
Risposte
Per quanto riguarda il punto (a):
$[\Phi(x=0)=0] ^^ [\Phi(x=L)=\int_0^Ldy\int_0^Ldz[−2aL(y−z)^2]]$
$[\Phi(y=0)=-\int_0^Ldx\int_0^Ldz[2ax^2z]] ^^ [\Phi(y=L)=\int_0^Ldx\int_0^Ldz[−2ax^2(L−z)]]$
$[\Phi(z=0)=-\int_0^Ldx\int_0^Ldy[2ax^2y]] ^^ [\Phi(z=L)=\int_0^Ldx\int_0^Ldy[2ax^2(y-L)]]$
$[\Phi(x=0)=0] ^^ [\Phi(x=L)=\int_0^Ldy\int_0^Ldz[−2aL(y−z)^2]]$
$[\Phi(y=0)=-\int_0^Ldx\int_0^Ldz[2ax^2z]] ^^ [\Phi(y=L)=\int_0^Ldx\int_0^Ldz[−2ax^2(L−z)]]$
$[\Phi(z=0)=-\int_0^Ldx\int_0^Ldy[2ax^2y]] ^^ [\Phi(z=L)=\int_0^Ldx\int_0^Ldy[2ax^2(y-L)]]$
Quindi si arriva necessariamente a un integrale doppio? Non avendoli ancora fatti penso che si dovrebbe trovare una soluzione da ricondurre a un integrazione semplice..
Puoi comunque ricondurti a due integrali semplici ripetuti. Per esempio:
$[\Phi(y=0)=-\int_0^Ldx\int_0^Ldz[2ax^2z]=-2a\int_0^Lx^2dx\int_0^Lzdz$
In alcuni casi, è possibile procedere con un solo integrale semplice. Tuttavia, non è esattamente questo il caso.
$[\Phi(y=0)=-\int_0^Ldx\int_0^Ldz[2ax^2z]=-2a\int_0^Lx^2dx\int_0^Lzdz$
In alcuni casi, è possibile procedere con un solo integrale semplice. Tuttavia, non è esattamente questo il caso.
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