Problema campi magnetici
Lo so che non dovrei semplicemente postare un problema ed aspettarmi che qualcuno me lo risolva,ma questa tipologia di problema è davvero importante e non so come risolverla..
Si consideri una sbarretta di lunghezza 1 m,massa 1 kg e resistenza 10 ohm,che collegata a due binari di resistenza trascurabile cade per effeto della gravità,partendo da ferma,in una zona in cui agisce un campo magnetico uniforme di intensità B=10 T diretto perpendicolarmente al piano del circuito.Determinare la velocità della sbarretta dopo un tempo t,essendo t il tempo caratteristico del moto della sbarretta e l'energia dissipata per effetto Joule sulla sbarretta nello stesso intervallo di tempo.
L'unica idea che mi viene è quella di calcolarmi la forza di Lorens= i dl X B,che dovrebbe essere la forza che agisce sulla sbarretta insieme alla forza peso,ma non ho i e poi mi blocco...:S.
Si consideri una sbarretta di lunghezza 1 m,massa 1 kg e resistenza 10 ohm,che collegata a due binari di resistenza trascurabile cade per effeto della gravità,partendo da ferma,in una zona in cui agisce un campo magnetico uniforme di intensità B=10 T diretto perpendicolarmente al piano del circuito.Determinare la velocità della sbarretta dopo un tempo t,essendo t il tempo caratteristico del moto della sbarretta e l'energia dissipata per effetto Joule sulla sbarretta nello stesso intervallo di tempo.
L'unica idea che mi viene è quella di calcolarmi la forza di Lorens= i dl X B,che dovrebbe essere la forza che agisce sulla sbarretta insieme alla forza peso,ma non ho i e poi mi blocco...:S.
Risposte
Ciao Nick, ho letto il problema; provo a suggerirti una soluzione, cercando di riuscire a disegnarti a parole il sistema (non essendo ancora capace di postare i disegni!). Intanto ho disegnato una figura con i due binari e visto che la sbarra cade per effetto gravitazionale, disegnerei un asse, ad essi parallelo, che punta verso il basso, i due binari sono collegati in alto da un filo mentre in basso la sbarretta che cade chiude il circuito. Sul piano ho disegnato un campo magnetico uscente, quindi perpendicolare al piano del circuito. Chiamerei gli estremi della sbarretta A e B e la sua lunghezza l e l'orientazione $\vec AB$. Ora se volessi usare la forza di Lorenz, dovrei calcolare $i$. Prima però mi occorre la tensione ai capi della sbarretta, dunque:
$V = V_A - V_B= \int_A^B \vec v \times \vec B d\vec s = -vBl$
essendo $\vec v \times \vec B$ contrario all'orientazione di $\vec AB$. Dunque la sbarretta agisce come un generatore di forza elettromotrice $V$, con A polo positivo e polo negativo B, che determineranno il verso della corrente nel circuito. La corrente è dinque: $i = \frac{V}{R} = - \frac{vBl}{R}$. Ora occupiamoci della forza di Lorenz che è:
$\vec F = i \vec BA \times \vec B = - \frac{B^2l^2}{R} \vec v$ essendo il verso della corrente contrario a $\vec AB$. Or a possiamo scrivere l'equazione del moto:
$m \frac{dv}{dt} = mg - \frac{B^2l^2}{R} v$
ora se non ho sbagliato i conti,la soluzione dell'equazione dovrebbe essere:
$v = \frac{mgR}{B^2l^2}(1 – e^(\frac{B^2 l^2}{mR} t))$.
Dalla formula $vlB = Ri$ otteniamo l'intensità di corrente $i = \frac{mg}{Bl}(1 – e^(\frac{B^2 l^2}{mR} t))$ che ti consente di ricavarti la potenza ($P=Ri^2$) e dunque l'energia spesa per effetto joule nell'unità di tempo.
Spero di essere stato abbastanza chiaro e di non avere sbagliato i conti!
$V = V_A - V_B= \int_A^B \vec v \times \vec B d\vec s = -vBl$
essendo $\vec v \times \vec B$ contrario all'orientazione di $\vec AB$. Dunque la sbarretta agisce come un generatore di forza elettromotrice $V$, con A polo positivo e polo negativo B, che determineranno il verso della corrente nel circuito. La corrente è dinque: $i = \frac{V}{R} = - \frac{vBl}{R}$. Ora occupiamoci della forza di Lorenz che è:
$\vec F = i \vec BA \times \vec B = - \frac{B^2l^2}{R} \vec v$ essendo il verso della corrente contrario a $\vec AB$. Or a possiamo scrivere l'equazione del moto:
$m \frac{dv}{dt} = mg - \frac{B^2l^2}{R} v$
ora se non ho sbagliato i conti,la soluzione dell'equazione dovrebbe essere:
$v = \frac{mgR}{B^2l^2}(1 – e^(\frac{B^2 l^2}{mR} t))$.
Dalla formula $vlB = Ri$ otteniamo l'intensità di corrente $i = \frac{mg}{Bl}(1 – e^(\frac{B^2 l^2}{mR} t))$ che ti consente di ricavarti la potenza ($P=Ri^2$) e dunque l'energia spesa per effetto joule nell'unità di tempo.
Spero di essere stato abbastanza chiaro e di non avere sbagliato i conti!
Innanzitutto grazie per la tua risposta.
Cmq mi sono dimenticato di scrivere nella traccia che il campo era entrante,ma alla fine dovrebbero cambiare solo qualche segno.Poi ci sono alcuni passaggi che non mi sono chiarissimi:perchè per trovare il potenziale fai così V=VA−VB=∫BAv⃗ ×B⃗ ds⃗ =−vBl,non dovrebbe essere uguale alla variazione del flusso rispetto al tempo?anche se alla fine il risultato dovrebbe essere uguale;poi come fai a stabilire l'orientazione del segmento AB?Infine,cosa molto importante XD,io NON sono in grado di risolvere eq. differenziali,non ci sarebbe un modo per aggirare l'ostacolo??
Ah dimenticavo,nel risultato mette t(tempo caratteristico)= MR/B^2 L^2,cioè l'inverso del coefficiente di V,in base a cosa lo fa??
Cmq mi sono dimenticato di scrivere nella traccia che il campo era entrante,ma alla fine dovrebbero cambiare solo qualche segno.Poi ci sono alcuni passaggi che non mi sono chiarissimi:perchè per trovare il potenziale fai così V=VA−VB=∫BAv⃗ ×B⃗ ds⃗ =−vBl,non dovrebbe essere uguale alla variazione del flusso rispetto al tempo?anche se alla fine il risultato dovrebbe essere uguale;poi come fai a stabilire l'orientazione del segmento AB?Infine,cosa molto importante XD,io NON sono in grado di risolvere eq. differenziali,non ci sarebbe un modo per aggirare l'ostacolo??
Ah dimenticavo,nel risultato mette t(tempo caratteristico)= MR/B^2 L^2,cioè l'inverso del coefficiente di V,in base a cosa lo fa??
Se calcoli il potenziale come variazione del flusso di $\vec B$ attraverso il circuito, effettivamente ottienti lo stesso risultato. Io ho usato quel metodo, solo perchè mi aiuta a “vedere” il verso del campo $\vec E$, ma è questione di gusti, se preferisci usare la legge di Faraday va bene lo stesso, però devi calcolarti prima il flusso di $\vec B$, ovvero $\Phi(\vec B) = \int \vec B \vec n dS = Blx$ (se usi x come asse!), poi $V = - \frac{d\Phi}{dt} = - Bl \frac{dx}{dt} = - Blv$.
Io ho scelto come orientazione del vettore $\vec AB$ (su questo sito non si riesce a disegnare la freccia lunga!), quella che evidentemente va da A a B; è evidente che quando uso la seconda legge di Laplace, poiché la corrente va da B ad A devo usare il vettore $\vec BA$ o equivalentemente $- \vec AB$.
Io sinceramente non so assolutamente cosa si intenda con tempo caratteristico, cmq se sostituisci la formula che hai scritto in quella che ho ottenuto io, ottieni $e^1$, quindi suppongo che il tempo caratteristico sia t = 1 s.
Io sinceramente non sono in grado di risolvere questo tipo di problemi senza equazioni differenziali, chiedi a qualche altra persona di questo sito per quello, in fondo è un sito di matematici (ci sono anche molti fisici!), ci sarà pure qualcuno in grado di aiutarti!
In ogni caso, equazioni differenziali a parte, spero proprio di aver risolto i tuoi dubbi!
Io ho scelto come orientazione del vettore $\vec AB$ (su questo sito non si riesce a disegnare la freccia lunga!), quella che evidentemente va da A a B; è evidente che quando uso la seconda legge di Laplace, poiché la corrente va da B ad A devo usare il vettore $\vec BA$ o equivalentemente $- \vec AB$.
Io sinceramente non so assolutamente cosa si intenda con tempo caratteristico, cmq se sostituisci la formula che hai scritto in quella che ho ottenuto io, ottieni $e^1$, quindi suppongo che il tempo caratteristico sia t = 1 s.
Io sinceramente non sono in grado di risolvere questo tipo di problemi senza equazioni differenziali, chiedi a qualche altra persona di questo sito per quello, in fondo è un sito di matematici (ci sono anche molti fisici!), ci sarà pure qualcuno in grado di aiutarti!
In ogni caso, equazioni differenziali a parte, spero proprio di aver risolto i tuoi dubbi!
Primo devo correggermi, ho dimenticato di scrivere due segni -, che nelle formule che ho scritto sono essenziali! In pratica devi cambiare il segno dell'esponenziale, infatti se fosse positivo, la corrente, invece di andare a regime, crescerebbe indefinitamente! E lo stesso accadrebbe per la velocità! Cose che non hanno nemmeno senso!
Secondo, credo di aver capito, cosa si intende per tempo caratteristico del circuito, è la “famosa” costante di tempo $\tau$, per valori grandi della quale (in genere in realtà bastano 4 o 5 $tau$) le grandezze del circuito vanno a regime! Ora mi pare torni tutto, a parte il fatto di riuscire a risolvere questo problema senza equazioni differenziali! Aspetto che qualche volonteroso di questo sito provi ad aiutarci in questo. D'altronde se hanno dato a te, che non hai fatto le equazioni differenziali, questo problema, significa che lo si può risolvere senza! Magari prova a chiedere aiuto tu con qualche “UP”!
Secondo, credo di aver capito, cosa si intende per tempo caratteristico del circuito, è la “famosa” costante di tempo $\tau$, per valori grandi della quale (in genere in realtà bastano 4 o 5 $tau$) le grandezze del circuito vanno a regime! Ora mi pare torni tutto, a parte il fatto di riuscire a risolvere questo problema senza equazioni differenziali! Aspetto che qualche volonteroso di questo sito provi ad aiutarci in questo. D'altronde se hanno dato a te, che non hai fatto le equazioni differenziali, questo problema, significa che lo si può risolvere senza! Magari prova a chiedere aiuto tu con qualche “UP”!
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