Problema Campi elettrici bacchetta unif. carica
Mi aiutate a risolvere questo problema?
Su una bacchetta di lunghezza L,posta sull'asse x,esiste una distribuzione lineare di carica lambda.Determinare 1)il campo elettrico nel punto P sull'asse della bacchetta ad una distanza d,2)Il momento di dipolo della bacchetta ed il potenziale nel punto P2 a distanza D=100m>>L situato anch'esso sull'asse,nel caso in cui la distribuzione lineare di carica presente su di essa sia data da lambda(x)=Ax -L/2
Allora per quanto riguarda il primo punto ho innanzitutto calcolato il campo infinetesimo in P
dEy=K 1/r^2 X lambda dx cosA
Dove r^2=x^2 + d^2 e cosA=d/r
Quindi per il campo totale integro dEy tra -L/2 e L/2,porto fuori tutte le costanti e dentro l'integrale mi dovrebbe rimanere solo 1/x^2 + d^2.
Per quanto riguarda il secondo punto mi calcolo prima la carica totale positiva Q+,che è uguale in modulo a quella negativa,integrando tra 0 e L lambda dx;poi calcolo il baricentro di carica Xq come rapporto tra l'integrale tra 0 e L di lambdaXdx e Q+.Il momento di dipolo dovrebbe essere qd=Q+ 2Xq.
Poi non so come calcolare il potenziale in P2(e vorrei sapere come si calcola anche se il punto non fosse sull'asse)
Grazie anticipatamente per le vostre risposte
Su una bacchetta di lunghezza L,posta sull'asse x,esiste una distribuzione lineare di carica lambda.Determinare 1)il campo elettrico nel punto P sull'asse della bacchetta ad una distanza d,2)Il momento di dipolo della bacchetta ed il potenziale nel punto P2 a distanza D=100m>>L situato anch'esso sull'asse,nel caso in cui la distribuzione lineare di carica presente su di essa sia data da lambda(x)=Ax -L/2
Allora per quanto riguarda il primo punto ho innanzitutto calcolato il campo infinetesimo in P
dEy=K 1/r^2 X lambda dx cosA
Dove r^2=x^2 + d^2 e cosA=d/r
Quindi per il campo totale integro dEy tra -L/2 e L/2,porto fuori tutte le costanti e dentro l'integrale mi dovrebbe rimanere solo 1/x^2 + d^2.
Per quanto riguarda il secondo punto mi calcolo prima la carica totale positiva Q+,che è uguale in modulo a quella negativa,integrando tra 0 e L lambda dx;poi calcolo il baricentro di carica Xq come rapporto tra l'integrale tra 0 e L di lambdaXdx e Q+.Il momento di dipolo dovrebbe essere qd=Q+ 2Xq.
Poi non so come calcolare il potenziale in P2(e vorrei sapere come si calcola anche se il punto non fosse sull'asse)
Grazie anticipatamente per le vostre risposte
Risposte
up
Devi aver riportato scorrettamente la densità lineare di carica. Al limite dovrebbe essere $[lambda(x)=A(x-L/2)]$ per $[0<=x<=L]$, con $[A]$ costante arbitraria dalle dimensioni opportune.
non so perchè ma non escono i caratteri "compreso",cmq X è compreso tra -L/2 e L/2 e lambda(x)= Ax
Quindi, $[lambda(x)=Ax]$ per $[-L/2<=x<=L/2]$. Per calcolare il momento di dipolo, è sufficiente applicare la definizione e svolgere il seguente integrale:
$[p=\int_{-L/2}^{L/2}lambda(x)xdx] rarr [p=\int_{-L/2}^{L/2}Ax^2dx] rarr [p=(AL^3)/12]$
$[p=\int_{-L/2}^{L/2}lambda(x)xdx] rarr [p=\int_{-L/2}^{L/2}Ax^2dx] rarr [p=(AL^3)/12]$
mmm io mi trovo 2/3 AL^3..
cmq potresti aiutarmi con l'ultimo punto?E la prima parte è fatta bene?
cmq potresti aiutarmi con l'ultimo punto?E la prima parte è fatta bene?
$[q^+=\int_{0}^{L/2}lambda(x)dx] rarr [q^+=(AL^2)/8]$
$[x^+=(\int_{0}^{L/2}lambda(x)xdx)/(\int_{0}^{L/2}lambda(x)dx)] rarr [x^+=((AL^3)/24)/((AL^2)/8)] rarr [x^+=L/3]$
$[p=2q^+x^+] rarr [p=(AL^3)/12]$
$[x^+=(\int_{0}^{L/2}lambda(x)xdx)/(\int_{0}^{L/2}lambda(x)dx)] rarr [x^+=((AL^3)/24)/((AL^2)/8)] rarr [x^+=L/3]$
$[p=2q^+x^+] rarr [p=(AL^3)/12]$
aaah ho fatto due volte lo stesso errore:quando sostituivo L/2 non elevavo l'1/2 XD...capito grazie ^^
Cmq per quanto riguarda l'altra parte?*_*
Cmq per quanto riguarda l'altra parte?*_*
Mi sembra corretto. In ogni modo, questo è l'integrale:
$[E_y(0,D)=2\int_{0}^{L/2}1/(4piepsilon_0)(lambdadx)/(x^2+D^2)costheta] ^^ [costheta=D/sqrt(x^2+D^2)]$
Per concludere, vista la condizione $[D> >L]$, puoi utilizzare la formula relativa al potenziale di un dipolo.
$[E_y(0,D)=2\int_{0}^{L/2}1/(4piepsilon_0)(lambdadx)/(x^2+D^2)costheta] ^^ [costheta=D/sqrt(x^2+D^2)]$
Per concludere, vista la condizione $[D> >L]$, puoi utilizzare la formula relativa al potenziale di un dipolo.
Scusa come cambierebbe il procedimento se il punto non fosse sull'asse?
up
In generale, dovresti calcolare le componenti $E_x(x,y)$ e $E_y(x,y)$ del campo elettrico in funzione delle coordinate $(x,y)$ del punto in esame. Siccome non è più possibile semplificare il calcolo mediante considerazioni di simmetria, è sicuramente più agevole procedere mediante il potenziale $V(x,y)$ svolgendo il seguente integrale:
$[V(x,y)=\int_{-L/2}^{L/2}1/(4piepsilon_0)(lambda(t)dt)/sqrt((x-t)^2+y^2)]$
Ovviamente, per determinare il campo elettrico, basterà prenderne il gradiente cambiato di segno. Tuttavia, raramente questi integrali sono di facile valutazione. Per questo motivo, è spesso necessario introdurre delle approssimazioni come quelle proposte dal testo.
$[V(x,y)=\int_{-L/2}^{L/2}1/(4piepsilon_0)(lambda(t)dt)/sqrt((x-t)^2+y^2)]$
Ovviamente, per determinare il campo elettrico, basterà prenderne il gradiente cambiato di segno. Tuttavia, raramente questi integrali sono di facile valutazione. Per questo motivo, è spesso necessario introdurre delle approssimazioni come quelle proposte dal testo.
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