Problema auto e pendolo al suo interno
Salve ragazzi ho questo problema. Abbiamo su un piano privo di attrito un auto con all'interno un pendolo mantenuto in quiete a 60 gradi come in figura. Se il pendolo viene lasciato da quella posizione bisogna calcolare a che velocità si trova nel punto di equilibrio, e la velocità dell'auto.
$M=50 kg $
$m=5kg$
$l_0 = 1m$
come posso iniziare a ragionare con questo problema? credo che la tensione del filo sia importante, vero? però non sono convinto che la macchina possa muoversi...no?
Grazie
Risposte
Potresti conservare l'energia meccanica e la quantità di moto lungo la direzione orizzontale.
"speculor":
Potresti conservare l'energia meccanica e la quantità di moto lungo la direzione orizzontale.
Quindi l'auto si muove davvero? oggi all'uni alcuni amici invece dicevano che l'auto non può muoversi, e che il problema era diverso: cioè l'automobile si muove con una certa velocità, e il pendolo quando viene lasciato da quella posizione avrà una determinata velocità anche'essa da calcolare.
come si fa a conservare la quantità di moto orizzontalmente?
Per la conservazione dell'energia meccanica dico $mgh = 1/2 m v^2$? però non ho l'altezza...e soprattutto questo problema cosa centra con la dinamica dei sistemi? lo ha prosposto a fine lezione....
Grazie Speculor
Esprimendo le due equazioni in funzione delle velocità assolute:
$\{(1/2(M+m)V^2+1/2mgl_0=1/2MV_1^2+1/2mv^2),((M+m)V=MV_1+mv):}$
$\{(1/2(M+m)V^2+1/2mgl_0=1/2MV_1^2+1/2mv^2),((M+m)V=MV_1+mv):}$
"speculor":
Esprimendo le due equazioni in funzione delle velocità assolute:
$\{(1/2(M+m)V^2+1/2mgl_0=1/2MV_1^2+1/2mv^2),((M+m)V=MV_1+mv):}$
Siccome ho molti dubbi mi potresti illustrare il perchè di ciò? ora non riesco a capire perchè la quantità di moto si conserva...grazie mille
Le forze esterne che agiscono sul sistema sono la forza peso, diretta lungo la verticale, e la reazione vincolare del piano che, in assenza di attrito, è pure diretta lungo la verticale. In questi casi si conserva la quantità di moto del sistema lungo l'orizzontale.
Smaug , speculor ,
scusate per l'intrusione , non sono abituato a disturbare il lavoro altrui...
Smaug , chiarisci per favore se all'inizio la macchina è ferma ( come penso io ) , oppure no . Se è ferma , il pendolo che oscilla da destra a sinistra, causa alla macchina una "oscillazione" contraria da sinistra a destra !
Perchè ?
Se fai fare al pendolo oscillazioni ripetute, si sposta il baricentro di tutto il sistema "isolato", periodicamente, avanti e indietro .
E se gliene fai fare una sola , avrai un solo spostamento.
Ma ora mi ritiro , e lascio continuare speculor , che non ha certo bisogno di miei suggerimenti .
scusate per l'intrusione , non sono abituato a disturbare il lavoro altrui...
Smaug , chiarisci per favore se all'inizio la macchina è ferma ( come penso io ) , oppure no . Se è ferma , il pendolo che oscilla da destra a sinistra, causa alla macchina una "oscillazione" contraria da sinistra a destra !
Perchè ?
Se fai fare al pendolo oscillazioni ripetute, si sposta il baricentro di tutto il sistema "isolato", periodicamente, avanti e indietro .
E se gliene fai fare una sola , avrai un solo spostamento.
Ma ora mi ritiro , e lascio continuare speculor , che non ha certo bisogno di miei suggerimenti .
"navigatore":
Smaug , chiarisci per favore se all'inizio la macchina è ferma ( come penso io ) , oppure no .
La macchina è ferma all'inizio e il pendolo penso faccia una sola oscillazione, il professore non ha detto solo di calcolare le due velocità, e quella del pendolo nel punto di equilibrio...
Ciao navigatore. Hai fatto più che bene ad intervenire, avevo supposto che il sistema avesse una velocità iniziale. Probabilmente non è così, il sistema è inizialmente fermo. In questo caso, continua a valere quel sistema sostituendo $[V=0]$.
@speculor: per affermare che la quantità di moto si conservi devi assumere che la macchina non acceleri, giusto?
speculor ,
il discorso è chiaro ... continua tu , che non hai bisogno di me.
il discorso è chiaro ... continua tu , che non hai bisogno di me.
"robe92":
Per affermare che la quantità di moto di conservi devi assumere che la macchina non acceleri, giusto?
Nel senso che l'autista non accelera? Certamente. In ogni modo, durante la caduta del pendolo, la macchina è comunque soggetta ad un moto accelerato, l'oscillazione di cui parlava il buon navigatore.
@navigatore
Mi faresti un favore se continuassi tu, io sono già impegnato su altri fronti.
Visto che qualcuno batte la fiacca ...
Considero un asse $x$ , orientato positivamente verso destra , di versore $\veci$ , parallelo alla strada .
Inizialmente , il sistema isolato "auto + pendolo" è in quiete rispetto ad un osservatore esterno solidale all'asse $x$.
Quindi la componente orizzontale della quantità di moto totale , rispetto a tale osservatore , è zero .
E tale deve rimanere : infatti le forze peso e le relative reazioni sono tutte verticali , non ci sono forze in direzione orizzontale che possano variare la componente detta della q.d.m .
La massa pendolare descrive un arco di circonferenza : il suo spostamento totale , rispetto alla macchina , dalla posizione iniziale a quella verticale , si può scomporre in una componente verticale e una orizzontale : quest'ultima , da Sn a Ds, vale : $l_0*sen\theta(t)$ ( l'angolo è funzione del tempo ) .
La velocità del pendolo,rispetto alla macchina stessa ( velocità relativa) è un vettore tangente all'arco ,ed ha due componenti , una verticale e una orizzontale . Calcoliamo la componente orizzontale , sempre riferita alla macchina , di tale velocità , che è massima nel punto più basso della traiettoria circolare del pendolo .
Possiamo farlo applicando il principio di conservazione dell'energia al pendolo stesso , nel riferimento della macchina, tenendo presente che la massa pendolare si abbassa di $ h = l_0(1-cos\theta)$ :
$mgh = mgl_0(1-cos\theta) = 1/2*m*v^2$ , da cui , essendo $ cos 60° = 1/2$ si ricava : $ v = sqrt(gl_0)$ .
La componente orizzontale della velocità , in un punto qualsiasi della traiettoria , si può ottenere derivando risp al tempo lo spostamento orizzontale .
Quindi : $v_x = d/(dt)l_0*sen\theta(t) = l_0*cos\theta(t)*(d\theta)/(dt) $ , che ha il massimo prima calcolato nel punto più basso .
Come detto , dev' essere uguale a zero la quantità di moto di tutto il sistema in direzione $x$ , rispetto all'osservatore esterno , in ogni istante del moto . In un istante generico , la qdm vettoriale , parallela a $x$, è somma di tre termini :
$ M*(dx)/(dt) \veci+ m*(dx)/(dt)\veci + m*l_0*cos\theta(t)*(d\theta)/(dt) \veci = 0 $
dove il primo è la qdm della sola macchina di massa $M$ , e gli altri due termini sono la qdm della massa pendolare $m$ rispetto all'osservatore . Proiettando sull'asse $x$ , e raggruppando i primi due termini :
$ [M + m] *(dx)/(dt) + m*l_0*cos\theta(t)*(d\theta)/(dt) = 0 $
dove il primo termine ora rappresenta la qdm del sistema "auto + pendolo" ne lmoto traslatorio con velocità istantanea $(dx)/(dt) $ , l 'altro termine è la componente parallela aad $x$ della qdm del pendolo nel moto relativo all'auto.
Quando il pendolo è nel punto più basso , detta $V_(max) $ la velocità del sistema , si ha :
$ [M + m] *V_(max) + m*v = 0 $ , da cui si ricava :
$V_(max) = - (m*v)/[M + m] $
Il segno " $-$ " sta ad indicare che la velocità del sistema è in direzione opposta a quella di $v$
Una analisi più dettagliata del moto mostra che , oscillando il pendolo da Sn a Ds , la macchina oscilla in senso opposto : il baricentro del sistema rimane fermo rispetto all'osservatore . Se le oscillazioni del pendolo sono "piccole" , il moto del sistema è armonico -
Considero un asse $x$ , orientato positivamente verso destra , di versore $\veci$ , parallelo alla strada .
Inizialmente , il sistema isolato "auto + pendolo" è in quiete rispetto ad un osservatore esterno solidale all'asse $x$.
Quindi la componente orizzontale della quantità di moto totale , rispetto a tale osservatore , è zero .
E tale deve rimanere : infatti le forze peso e le relative reazioni sono tutte verticali , non ci sono forze in direzione orizzontale che possano variare la componente detta della q.d.m .
La massa pendolare descrive un arco di circonferenza : il suo spostamento totale , rispetto alla macchina , dalla posizione iniziale a quella verticale , si può scomporre in una componente verticale e una orizzontale : quest'ultima , da Sn a Ds, vale : $l_0*sen\theta(t)$ ( l'angolo è funzione del tempo ) .
La velocità del pendolo,rispetto alla macchina stessa ( velocità relativa) è un vettore tangente all'arco ,ed ha due componenti , una verticale e una orizzontale . Calcoliamo la componente orizzontale , sempre riferita alla macchina , di tale velocità , che è massima nel punto più basso della traiettoria circolare del pendolo .
Possiamo farlo applicando il principio di conservazione dell'energia al pendolo stesso , nel riferimento della macchina, tenendo presente che la massa pendolare si abbassa di $ h = l_0(1-cos\theta)$ :
$mgh = mgl_0(1-cos\theta) = 1/2*m*v^2$ , da cui , essendo $ cos 60° = 1/2$ si ricava : $ v = sqrt(gl_0)$ .
La componente orizzontale della velocità , in un punto qualsiasi della traiettoria , si può ottenere derivando risp al tempo lo spostamento orizzontale .
Quindi : $v_x = d/(dt)l_0*sen\theta(t) = l_0*cos\theta(t)*(d\theta)/(dt) $ , che ha il massimo prima calcolato nel punto più basso .
Come detto , dev' essere uguale a zero la quantità di moto di tutto il sistema in direzione $x$ , rispetto all'osservatore esterno , in ogni istante del moto . In un istante generico , la qdm vettoriale , parallela a $x$, è somma di tre termini :
$ M*(dx)/(dt) \veci+ m*(dx)/(dt)\veci + m*l_0*cos\theta(t)*(d\theta)/(dt) \veci = 0 $
dove il primo è la qdm della sola macchina di massa $M$ , e gli altri due termini sono la qdm della massa pendolare $m$ rispetto all'osservatore . Proiettando sull'asse $x$ , e raggruppando i primi due termini :
$ [M + m] *(dx)/(dt) + m*l_0*cos\theta(t)*(d\theta)/(dt) = 0 $
dove il primo termine ora rappresenta la qdm del sistema "auto + pendolo" ne lmoto traslatorio con velocità istantanea $(dx)/(dt) $ , l 'altro termine è la componente parallela aad $x$ della qdm del pendolo nel moto relativo all'auto.
Quando il pendolo è nel punto più basso , detta $V_(max) $ la velocità del sistema , si ha :
$ [M + m] *V_(max) + m*v = 0 $ , da cui si ricava :
$V_(max) = - (m*v)/[M + m] $
Il segno " $-$ " sta ad indicare che la velocità del sistema è in direzione opposta a quella di $v$
Una analisi più dettagliata del moto mostra che , oscillando il pendolo da Sn a Ds , la macchina oscilla in senso opposto : il baricentro del sistema rimane fermo rispetto all'osservatore . Se le oscillazioni del pendolo sono "piccole" , il moto del sistema è armonico -
Solo per dire che, nel corso di Meccanica razionale, un esercizio del genere può essere modellizzato mediante il sistema a due gradi di libertà in figura: l'ascissa della sospensione e l'angolo formato dal pendolo con la verticale.
Salve,
Mi allaccio alla vostra discussione per cercare di chiarire un dubbio su un esercizio di meccanica razionale.
Prendendo come riferimento l' ultimo intervento , caso in cui abbiamo un pendolo collegato ad un supporto mobile di massa m libero di muoversi orizzontalmente su un binario liscio , determinare i gradi di libertà del sistema , scrivere la lagrangiana e le equazioni di lagrange che descrivono il moto del sistema.
Per la prima domanda riguardo i gradi di libertà , la risposta credo sia 2 in quanto l intero sistema riesce a muoversi solamente verso destra e sinistra, corretto?
Per le altre 2 invece non riesco a capire come approcciare i quesiti.
Grazie a tutti per il prezioso supporto che vorrete darmi.
Mi allaccio alla vostra discussione per cercare di chiarire un dubbio su un esercizio di meccanica razionale.
Prendendo come riferimento l' ultimo intervento , caso in cui abbiamo un pendolo collegato ad un supporto mobile di massa m libero di muoversi orizzontalmente su un binario liscio , determinare i gradi di libertà del sistema , scrivere la lagrangiana e le equazioni di lagrange che descrivono il moto del sistema.
Per la prima domanda riguardo i gradi di libertà , la risposta credo sia 2 in quanto l intero sistema riesce a muoversi solamente verso destra e sinistra, corretto?
Per le altre 2 invece non riesco a capire come approcciare i quesiti.
Grazie a tutti per il prezioso supporto che vorrete darmi.
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