Problema atroce con la differenza di potenziale
Salve a tutti, dopo aver completato tutto lo scibile degli esercizi sull'elettromagnetismo, c'è ancora una serie di quesiti che da giorni mi crea problemi a causa di segni vari.
Ne presento uno a titolo di esempio perché credo che il problema di fondo sia lo stesso, espongo solo la parte rilevante al mio dubbio.
Devo calcolare l'energia cinetica che una particella negativa possiede al passaggio al centro di un anello carico positivamente, partendo da ferma dal punto x0=0.5 cm sull'asse delle x positive supponendo che il centro dell'anello sia l'origine degli assi.
Dalla conservazione dell'energia ho che:
$ Eka + q_0Va = Ekb + q_0Vb $
Quindi:
$ Ekb = q(Va-Vb) $ che essendo q0 negativa diventa $ Ekb = |q|(Vb-Va) $
Ora.. a parte il fatto che il mio libro usa la convenzione tutta sua che la ddp=Va-Vb e non Vb-Va, credo ci siano due modi per procedere, o calcolo il potenziale in entrambi punti e faccio la differenza, e il risultato torna, oppure calcolo direttamente la differenza di potenziale con la formula:
$ Vb - Va = int_(b)^(a) vecE dvecl $
che diventa:
$ Vb - Va = -int_(b)^(a) (qx)/(4piepsilon R^3) dl $
Con il meno dovuto al prodotto scalare in quanto campo e spostamento hanno versi opposti e utilizzando la formula del campo approssimata per x << R.
Risolvendo l'integrale si ottiene
$ Vb - Va = -(q(x_a)^2)/(8piepsilon_0 R^3) $
Che essendo negativo, moltiplicato per una carica in valore assoluto dà un risultato negativo, cosa impossibile per un'energia cinetica.
Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi questa anomalia?
Ringrazio in anticipo per la risposta.
Ne presento uno a titolo di esempio perché credo che il problema di fondo sia lo stesso, espongo solo la parte rilevante al mio dubbio.
Devo calcolare l'energia cinetica che una particella negativa possiede al passaggio al centro di un anello carico positivamente, partendo da ferma dal punto x0=0.5 cm sull'asse delle x positive supponendo che il centro dell'anello sia l'origine degli assi.
Dalla conservazione dell'energia ho che:
$ Eka + q_0Va = Ekb + q_0Vb $
Quindi:
$ Ekb = q(Va-Vb) $ che essendo q0 negativa diventa $ Ekb = |q|(Vb-Va) $
Ora.. a parte il fatto che il mio libro usa la convenzione tutta sua che la ddp=Va-Vb e non Vb-Va, credo ci siano due modi per procedere, o calcolo il potenziale in entrambi punti e faccio la differenza, e il risultato torna, oppure calcolo direttamente la differenza di potenziale con la formula:
$ Vb - Va = int_(b)^(a) vecE dvecl $
che diventa:
$ Vb - Va = -int_(b)^(a) (qx)/(4piepsilon R^3) dl $
Con il meno dovuto al prodotto scalare in quanto campo e spostamento hanno versi opposti e utilizzando la formula del campo approssimata per x << R.
Risolvendo l'integrale si ottiene
$ Vb - Va = -(q(x_a)^2)/(8piepsilon_0 R^3) $
Che essendo negativo, moltiplicato per una carica in valore assoluto dà un risultato negativo, cosa impossibile per un'energia cinetica.
Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi questa anomalia?
Ringrazio in anticipo per la risposta.
Risposte
"alessandro.a":
$ Vb - Va = int_(b)^(a) vecE dvecl $
Se integri da $b=0$ ad $a>0$, il campo $vec(E)$ e lo spostamento infinitesimo $dvec(l)$ sono paralleli e concordi.
Grazie della risposta e cavolo, mi ha spiazzato, allora sono ritornato a vedere i miei calcoli e mi sono reso conto che effettivamente erano diversi, mi scuso se il ragionamento l'ho scritto in maniera diversa, riusciresti a trovarmi la falla in questo caso più specifico che comunque dovrebbe essere uguale al precedente?
Magari effettivamente l'errore è banale ma non riesco proprio a vederlo.
Ipotizziamo di lasciare la carica q0 con il suo segno e quindi calcolare l'energia cinetica
$ Ekb = q_0(Va-Vb) $ in cui come già detto q0 è negativo, di conseguenza Va-Vb dovrebbe essere negativa
In questo caso integrando da A a B il campo e lo spostamento non sono più concordi quindi possiamo scrivere:
$ Va - Vb = int_(a)^(b) vecE dvecl = -int_(a)^(b) (qx)/(4piepsilon_0 R^3) dx = - (q((x_b)^2-(x_a)^2))/(8piepsilon_0R^3) $
Ora non mi sembra che ci siano errori, e abbiamo che Va-Vb non è negativo come dovrebbe essere ma positivo in quanto abbiamo un segno meno moltiplicato per $ (x_b)^2-(x_a)^2 $ che è anch'esso negativo dato che $x_a > 0$ e $x_b = 0$.
Magari effettivamente l'errore è banale ma non riesco proprio a vederlo.
Ipotizziamo di lasciare la carica q0 con il suo segno e quindi calcolare l'energia cinetica
$ Ekb = q_0(Va-Vb) $ in cui come già detto q0 è negativo, di conseguenza Va-Vb dovrebbe essere negativa
In questo caso integrando da A a B il campo e lo spostamento non sono più concordi quindi possiamo scrivere:
$ Va - Vb = int_(a)^(b) vecE dvecl = -int_(a)^(b) (qx)/(4piepsilon_0 R^3) dx = - (q((x_b)^2-(x_a)^2))/(8piepsilon_0R^3) $
Ora non mi sembra che ci siano errori, e abbiamo che Va-Vb non è negativo come dovrebbe essere ma positivo in quanto abbiamo un segno meno moltiplicato per $ (x_b)^2-(x_a)^2 $ che è anch'esso negativo dato che $x_a > 0$ e $x_b = 0$.
Mah... spero di aver capito. Se consideri una linea $gamma$ orientata da un punto $P_i$ ad uno $P_f$, l'elemento di linea $dvec(l)$ è comunque orientato nello stesso verso di $gamma$. Nel tuo caso, la linea è un asse di ascisse, orientato da $b=0$ verso $a$, quindi $dvec(x)$ ha comunque lo stesso verso qualsiasi sia la scelta della disposizione degli estremi di integrazione.
Tra l'altro ti consiglierei di fare un uso più parco dei simboli. Diciamo $b=0$, $x_a=a$ e basta. E magari indichiamo con $Q>0$ la carica dell'anello, meno confusione con la $q<0$ della particella.
Fissa $V(0)=0$, cosa che puoi fare come scelta arbitraria, e hai:
$V(a)=int_a^0 E(x)dx=Q/(4piepsilonR^3)int_a^0xdx=-(Qa^2)/(8piepsilonR^3)$.
Se proprio vuoi che il campo e lo spostamento infinitesimo siano opposti perché muori dalla voglia di avere $cos pi$ nel prodotto scalare, puoi lasciare $b=0$ e mettere $a<0$, allora viste le ascisse negative in $[a,0]$ il campo avrà modulo $E(x)=-(Qx)/(4piepsilonR^3)$, il prodotto scalare $vec(E)*dvec(x)$ sarà dato da: $-(Qx)/(4piepsilonR^3)*(-1)dx$, ed il potenziale in $a$ allora risulterà: $V(a)=int_a^0vec(E)*dvec(x)=Q/(4piepsilonR^3)int_a^0xdx=-(Qa^2)/(8piepsilonR^3)$. Ovviamente sempre avendo posto $V(0)=0$.
Tra l'altro ti consiglierei di fare un uso più parco dei simboli. Diciamo $b=0$, $x_a=a$ e basta. E magari indichiamo con $Q>0$ la carica dell'anello, meno confusione con la $q<0$ della particella.
Fissa $V(0)=0$, cosa che puoi fare come scelta arbitraria, e hai:
$V(a)=int_a^0 E(x)dx=Q/(4piepsilonR^3)int_a^0xdx=-(Qa^2)/(8piepsilonR^3)$.
Se proprio vuoi che il campo e lo spostamento infinitesimo siano opposti perché muori dalla voglia di avere $cos pi$ nel prodotto scalare, puoi lasciare $b=0$ e mettere $a<0$, allora viste le ascisse negative in $[a,0]$ il campo avrà modulo $E(x)=-(Qx)/(4piepsilonR^3)$, il prodotto scalare $vec(E)*dvec(x)$ sarà dato da: $-(Qx)/(4piepsilonR^3)*(-1)dx$, ed il potenziale in $a$ allora risulterà: $V(a)=int_a^0vec(E)*dvec(x)=Q/(4piepsilonR^3)int_a^0xdx=-(Qa^2)/(8piepsilonR^3)$. Ovviamente sempre avendo posto $V(0)=0$.
Ci sono questi due punti sui quali non ci capiamo.
Come hai detto tu la curva è orientata da Pi a Pf, ossia da punto iniziale fino a punto finale, il punto iniziale della traiettoria è a e non b=0, come ho scritto nella traccia al primo post, la particella va da a>0 a b=0 quindi perché la linea dovrebbe andare da b=0 ad a>0 se lo spostamento è opposto?
Tra l'altro ora mi hai detto che la direzione dello spostamento è la stessa indipendentemente da come pongo gli estremi di integrazione, il che ha senso se consideriamo che si possono invertire gli estremi cambiando segno dell'integrale, però prima mi hai scritto una cosa opposta:
Allora non era vero dato che lo spostamento, ripeto, è da a>0 a b=0.
Come ho scritto prima non sono io a volere che campo e spostamento siano opposti, è parte del problema, il punto è che lo avevo risolto come scritto nel mio secondo post, convinto che non ci fossero errori quando invece il risultato mi viene opposto e non capisco perché.
"Palliit":
Mah... spero di aver capito. Se consideri una linea $gamma$ orientata da un punto $P_i$ ad uno $P_f$, l'elemento di linea $dvec(l)$ è comunque orientato nello stesso verso di $gamma$. Nel tuo caso, la linea è un asse di ascisse, orientato da $b=0$ verso $a$, quindi $dvec(x)$ ha comunque lo stesso verso qualsiasi sia la scelta della disposizione degli estremi di integrazione.
Come hai detto tu la curva è orientata da Pi a Pf, ossia da punto iniziale fino a punto finale, il punto iniziale della traiettoria è a e non b=0, come ho scritto nella traccia al primo post, la particella va da a>0 a b=0 quindi perché la linea dovrebbe andare da b=0 ad a>0 se lo spostamento è opposto?
Tra l'altro ora mi hai detto che la direzione dello spostamento è la stessa indipendentemente da come pongo gli estremi di integrazione, il che ha senso se consideriamo che si possono invertire gli estremi cambiando segno dell'integrale, però prima mi hai scritto una cosa opposta:
"Palliit":
Se integri da $b=0$ ad $a>0$, il campo $vec(E)$ e lo spostamento infinitesimo $dvec(l)$ sono paralleli e concordi.
Allora non era vero dato che lo spostamento, ripeto, è da a>0 a b=0.
"Palliit":
Se proprio vuoi che il campo e lo spostamento infinitesimo siano opposti perché muori dalla voglia di avere $cos pi$ nel prodotto scalare, puoi lasciare $b=0$ e mettere $a<0$, allora viste le ascisse negative in $[a,0]$
Come ho scritto prima non sono io a volere che campo e spostamento siano opposti, è parte del problema, il punto è che lo avevo risolto come scritto nel mio secondo post, convinto che non ci fossero errori quando invece il risultato mi viene opposto e non capisco perché.
il $dx$ è sempre positivo. Su sta cosa ci ho discusso con un altro utente del forum perché anche io prima la pensavo come te. Non mi sento di condannare il tuo ragionamento perché ho cercato di difenderlo con tutte le miei forze (e penso di aver trovato una scappatoia), ma ho realizzato che non ne valeva la pena. Morale della favola: il $dx$, $dl$ o quel che è, è sempre positivo.
Innanzitutto grazie della risposta, sicuramente dx essendo una lunghezza è positivo e questo non lo mette in dubbio nessuno, ma nel problema in esame non si parla di dx ma del vettore dx, e sui vettori il concetto stesso di "positivo" o "negativo" non esiste, quindi non capisco bene cosa intendi dire.
In ogni caso, questa tua affermazione a livello pratico cosa dovrebbe comportare nell'esercizio che ho proposto?
In ogni caso, questa tua affermazione a livello pratico cosa dovrebbe comportare nell'esercizio che ho proposto?
Cercavo di spigare questo
"alessandro.a":
Come hai detto tu la curva è orientata da Pi a Pf, ossia da punto iniziale fino a punto finale, il punto iniziale della traiettoria è a e non b=0, come ho scritto nella traccia al primo post, la particella va da a>0 a b=0 quindi perché la linea dovrebbe andare da b=0 ad a>0 se lo spostamento è opposto?
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