Problema Atomo Idrogenoide (Mecc.Quantistica)
Salve a tutti.. nuova iscritta già con la sua prima domanda!
Ho cercato tra i topic ma non mi pare ci sia una discussione simile, in tal caso mi scuso in anticipo.
Il problema è il seguente:
Ho un positronio con un elettrone e un positrone, devo trascurare effetti relativistici e spin.
Devo calcolare la distanza media, l'energia x staccare l'elettrone e la lungh, d'onda in cm del fotone emesso.
poichè è un problema a due corpi uso la massa ridotta che è $m_e/2$ avendo solo l'elettrone e uso le formule relative all'atomo di idrogeno, quindi la funzione d'onda dello stato fondamentale sarà $\psi_{1,0,0} = R_{1,0}(r) Y_0^0 (\vartheta,\varphi)$
Il problema che incontro è nel calcolo dell'integrale del valor medio di r perchè con il passaggio in coordinate polari avrò che
$d^3x = r^2 dr dcos(\vartheta)d(\varphi)$
quindi
$ = \int_0^infty (R_{1,0}(r))^2 r^3 dr \int_-1^1 dcos(\vartheta) \int_-0^(2pi) (Y_0^0(\vartheta,\varphi))^2 d(\varphi)$
ora, l'integrale delle Y è 1 perchè sono ortonormali.
Quindi dovrebbe restarmi solo l'integrale in dr che mi da'.
Essendo un esercizio che mi ha passato un mio amico in preparazione del compito, non ci sono tutti i passaggi ben chiari..ed è qui che arriva la mia domanda: l'integrale in $dcos(\vartheta)$ che fine fa???
Deve venire 1 ed io ho provato a farlo ma non me lo riesco a spiegare.
Ho anche pensato che $dcos(\vartheta) = sin(\vartheta)d(\vartheta)$ ma non ne sono sicura.
Potreste darmi una mano per questo passaggio senza farmi sentire una stupida?
Grazie a tutti in anticipo
Ho cercato tra i topic ma non mi pare ci sia una discussione simile, in tal caso mi scuso in anticipo.
Il problema è il seguente:
Ho un positronio con un elettrone e un positrone, devo trascurare effetti relativistici e spin.
Devo calcolare la distanza media
poichè è un problema a due corpi uso la massa ridotta che è $m_e/2$ avendo solo l'elettrone e uso le formule relative all'atomo di idrogeno, quindi la funzione d'onda dello stato fondamentale sarà $\psi_{1,0,0} = R_{1,0}(r) Y_0^0 (\vartheta,\varphi)$
Il problema che incontro è nel calcolo dell'integrale del valor medio di r perchè con il passaggio in coordinate polari avrò che
$d^3x = r^2 dr dcos(\vartheta)d(\varphi)$
quindi
$
ora, l'integrale delle Y è 1 perchè sono ortonormali.
Quindi dovrebbe restarmi solo l'integrale in dr che mi da'
Essendo un esercizio che mi ha passato un mio amico in preparazione del compito, non ci sono tutti i passaggi ben chiari..ed è qui che arriva la mia domanda: l'integrale in $dcos(\vartheta)$ che fine fa???
Deve venire 1 ed io ho provato a farlo ma non me lo riesco a spiegare.
Ho anche pensato che $dcos(\vartheta) = sin(\vartheta)d(\vartheta)$ ma non ne sono sicura.
Potreste darmi una mano per questo passaggio senza farmi sentire una stupida?
Grazie a tutti in anticipo
Risposte
Ciao e benvenuta!
Hai ragione quando dici che le armoniche sferiche sono ortonormali, ma sbagli ad interpretare il significato di questa affermazione. Data la famiglia di funzioni $Y_n^l (\theta,\phi)$, esse si diranno ortonormali se:
$(Y_n^l,Y_m^k) = \delta_{nm}\delta_{lk}$
Dove cone $(\cdot,\cdot)$ ho indicato il prodotto scalare. Il punto è proprio lì: il prodotto scalare è definito mediante un integrale (quello che tu hai scritto, considerando anche la parte in $r$), pertanto:
$(Y_0^0,Y_0^0)=\int_{-1}^{1}d\cos\theta\int_{0}^{2\pi}|Y_0^0(\theta,\phi)|^2 d\phi=1$
Se ho capito bene, tu consideravi il solo modulo quadro delle $Y$ uguale ad $1$ (correggimi se ho mal interpretato). Fammi sapere se ti è ancora poco chiaro quel che intendevo
Hai ragione quando dici che le armoniche sferiche sono ortonormali, ma sbagli ad interpretare il significato di questa affermazione. Data la famiglia di funzioni $Y_n^l (\theta,\phi)$, esse si diranno ortonormali se:
$(Y_n^l,Y_m^k) = \delta_{nm}\delta_{lk}$
Dove cone $(\cdot,\cdot)$ ho indicato il prodotto scalare. Il punto è proprio lì: il prodotto scalare è definito mediante un integrale (quello che tu hai scritto, considerando anche la parte in $r$), pertanto:
$(Y_0^0,Y_0^0)=\int_{-1}^{1}d\cos\theta\int_{0}^{2\pi}|Y_0^0(\theta,\phi)|^2 d\phi=1$
Se ho capito bene, tu consideravi il solo modulo quadro delle $Y$ uguale ad $1$ (correggimi se ho mal interpretato). Fammi sapere se ti è ancora poco chiaro quel che intendevo
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