Problema asteroide-sole
Propongo un problema che mi sono posto ma a cui non ho saputo dare risposta.
Dato un corpo di massa$ m$, diciamo un asteroide, ad una certa distanza $D$ da un altro corpo di massa $M$ molto più grande, diciamo il Sole, calcolare la velocità minima a cui il corpo deve andare per allontanarsi indefinitamente. Questa velocità sarà la seconda velocità cosmica, data da $ v=sqrt(2GM/D)$, dove (correggetemi se sbaglio) non è importante la direzione della velocità (purchè si allontani ovviamente), ma solo il modulo.
Il problema che mi sono posto è il caso opposto, cioè ponendo un corpo di massa $M$ come origine degli assi e un altro corpo di massa $m$ a distanza infinita con velocità $v$ parallela all'asse delle x e tale che la sua ascissa sia un certo valore $Y(a)$, qual è la velocità minima a cui deve andare il corpo per non cadere sul Sole, ma andare a percorrere un' orbita attorno al Sole? E qual è la velocità minima che gli permette di sfuggire all'attrazione solare e allontanarsi indefinitamente nell'altra direzione? (ovviamente i due corpi li considero come punti materiali).
Nel primo caso avevo pensato di impostare la soluzione con l'equivalenza fra l'energia iniziale e quella nel punto di ascissa 0, così poi avrei ricavato la velocità minima dall'accelerazione centripeta, ma poi mi sono reso conto che non so di quanto l'asteroide venga attratto dal Sole, e non trovo una funzione facilmente integrabile per trovare lo spostamento verticale
Dato un corpo di massa$ m$, diciamo un asteroide, ad una certa distanza $D$ da un altro corpo di massa $M$ molto più grande, diciamo il Sole, calcolare la velocità minima a cui il corpo deve andare per allontanarsi indefinitamente. Questa velocità sarà la seconda velocità cosmica, data da $ v=sqrt(2GM/D)$, dove (correggetemi se sbaglio) non è importante la direzione della velocità (purchè si allontani ovviamente), ma solo il modulo.
Il problema che mi sono posto è il caso opposto, cioè ponendo un corpo di massa $M$ come origine degli assi e un altro corpo di massa $m$ a distanza infinita con velocità $v$ parallela all'asse delle x e tale che la sua ascissa sia un certo valore $Y(a)$, qual è la velocità minima a cui deve andare il corpo per non cadere sul Sole, ma andare a percorrere un' orbita attorno al Sole? E qual è la velocità minima che gli permette di sfuggire all'attrazione solare e allontanarsi indefinitamente nell'altra direzione? (ovviamente i due corpi li considero come punti materiali).
Nel primo caso avevo pensato di impostare la soluzione con l'equivalenza fra l'energia iniziale e quella nel punto di ascissa 0, così poi avrei ricavato la velocità minima dall'accelerazione centripeta, ma poi mi sono reso conto che non so di quanto l'asteroide venga attratto dal Sole, e non trovo una funzione facilmente integrabile per trovare lo spostamento verticale
Risposte
Se il corpo è a distanza infinita non c'è nessuna interazione gravitazionale. Quindi qualsiasi velocità è buona.
Forse è meglio sostituire con, "un corpo a distanza $r$", etc.
Forse è meglio sostituire con, "un corpo a distanza $r$", etc.
Si si io per distanza infinita intendevo "molto molto grande", l'avevo posta in quel modo solo per facilitare un eventuale calcolo integrale improprio (che per quello che ne so potrebbe servire a risolvere il problema)
Se il corpo è a una distanza finita $r$ (grande quanto si vuole), allora bisogna studiare la funzione $V'$, ovvero
$E=V'+1/2m\dot{r}^2$, dove $V'=V+1/2(l^2)/(mr^2)$. $V$ è il potenziale gravitazionale e $l$ è il momento angolare costante.
$\dot{r}$ non è la velocità lungo $x$ ma quella lungo $r$.
Quindi basta calcolare il valore di $E$ costante e vedere cosa succede. Se è maggiore di $0$ la trajettoria sarà iperbolica ($E_1$), $E_2=0$ parabolica, $E_3$ ellittica e $E_4$ circolare. Se poi i corpi li consideri come punti materiali, a meno che non sia $Y(a)=0$ (che corrisponde a $1/2(l^2)/(mr^2)=0$) il corpo non cade nel sole (o quello che è) come puoi vedere dal grafico.
Se non ti è chiaro ti propongo di studiarlo direttamente da un libro (che è molto più chiaro quanto lo sia io), per esempio dal Goldstein-Meccanica Classica- cap 3. Si trova in PDF
$E=V'+1/2m\dot{r}^2$, dove $V'=V+1/2(l^2)/(mr^2)$. $V$ è il potenziale gravitazionale e $l$ è il momento angolare costante.
$\dot{r}$ non è la velocità lungo $x$ ma quella lungo $r$.
Quindi basta calcolare il valore di $E$ costante e vedere cosa succede. Se è maggiore di $0$ la trajettoria sarà iperbolica ($E_1$), $E_2=0$ parabolica, $E_3$ ellittica e $E_4$ circolare. Se poi i corpi li consideri come punti materiali, a meno che non sia $Y(a)=0$ (che corrisponde a $1/2(l^2)/(mr^2)=0$) il corpo non cade nel sole (o quello che è) come puoi vedere dal grafico.
Se non ti è chiaro ti propongo di studiarlo direttamente da un libro (che è molto più chiaro quanto lo sia io), per esempio dal Goldstein-Meccanica Classica- cap 3. Si trova in PDF
Grazie, darò un'occhiata sicuramente. Comunque dimmi se ho capito bene: tu poni come energia costante la somma di energia cinetica, energia potenziale e energia rotazionale (le quali tu le raggruppi in V'), poi ti calcoli E sapendo le condizioni iniziali e ti trovi V' (nel caso di punti materiali come hai detto basta l'energia potenziale V) in funzione di r giusto? A questo punto ti studi la funzione che ti sei ricavato e ottieni il disegno.
Solo qualche domanda:
1)come ricavi i valori di E1,E2,E3 e E4? Per l'orbita circolare credo di aver capito: più è vicino il corpo, minore è V, ma negli altri casi?
2) cosa succede in un intervallo di tali valori, per esempio fra E1 e E2?
3) Hai detto che la velocità che consideri non è quella orizzontale ma quella radiale. Come calcoli la variazione di tale velocità nel tempo?
Grazie in anticipo e se sei occupato non preoccuparti, appena avrò tempo mi guardo il libro che hai detto
Solo qualche domanda:
1)come ricavi i valori di E1,E2,E3 e E4? Per l'orbita circolare credo di aver capito: più è vicino il corpo, minore è V, ma negli altri casi?
2) cosa succede in un intervallo di tali valori, per esempio fra E1 e E2?
3) Hai detto che la velocità che consideri non è quella orizzontale ma quella radiale. Come calcoli la variazione di tale velocità nel tempo?
Grazie in anticipo e se sei occupato non preoccuparti, appena avrò tempo mi guardo il libro che hai detto
poi ti calcoli E sapendo le condizioni iniziali e ti trovi V' (nel caso di punti materiali come hai detto basta l'energia potenziale V) in funzione di r giusto?
No, qua non hai capito.
Chiamiamo il corpo centrale molto massivo $A$ e l'altro corpo piccolo $b$. Entrambi sono punti materiali. In generale per $b$ ci sarà sempre una energia potenziale dovuta alla rotazione intorno ad $A$. Solo nel caso $Y(a)=0\Rightarrow V'=V$. In quanto $l=0$.
Il fatto che non tocchi mai l'origine dipende dalla natura puntiforme di $A$, guardando il grafico puoi notare come $V' rightarrow\infty$ per $r\rightarrow 0$. Quindi essendo $E=T+V'$ e $V'>E$ si avrebbe una energia cinetica negativa che non ha senso. Se però il corpo avesse una certa estensione allora è possibile che i due corpi collidano.
1)come ricavi i valori di E1,E2,E3 e E4? Per l'orbita circolare credo di aver capito: più è vicino il corpo, minore è V, ma negli altri casi?
Basta fare la somma dei vari termini e vedi cosa ti esce. Per trovare $l$ si può dimostrare che vale la relazione
$d\theta=(ldt)/(mr^2)$, quindi lo ottieni da un certo $\dot(theta)$.
2) cosa succede in un intervallo di tali valori, per esempio fra E1 e E2?
Sono solo degli esempio, tra $E_1$ ed $E_2$ saranno ancora trajettorie iperboliche, tra $E_2$ ed $E_4$ saranno trajettorie ellittiche. $E_4$ ed $E_2$ non esistono realmente, sono delle trajettorie limite.
3) Hai detto che la velocità che consideri non è quella orizzontale ma quella radiale. Come calcoli la variazione di tale velocità nel tempo?
Basta osservare il moto per un certo tanto di tempo piccolo e guardi di quanto si è mosso lungo $r$. Alla fine una derivata è questo, no? Lo stesso per l'angolo. Quello che ti serve è trovare l'energia del sistema in un certo punto, tanto è costante. Poi nella pratica non lo so come facciano, alla fine la mia trattazione (quella di mr. Goldstein) è molto teorica. Oltre tutto se hai già una $v$ lungo $x$ ti basta semplicemente scomporla.
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