Problema a due corpi elettromagnetico
Vi dò una situazione iniziale: due cariche si muovono, la prima è ferma, posta inizialmente sull'origine. la seconda invece "si muove" al tempo t=0 a velocità $\vec v$, diretta verticalmente. Al tempo t=0 la particella 2 si trova allineata con la prima. mi interesserebbe trovare l'equazione del moto di entrambe le cariche; in particolare sarei curioso di sapere le traiettorie che fa.
Forza sentita dalla particella 1
$K_0 \frac{q_1 q_2(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2 -z_1)}{((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2)^(3/2)}+ q_1(\dot x_1, \dot y_1, \dot z_1) \times \vec B_2$
dove B_2 è il campo magnetico generato dalla seconda carica.
Espressione analoga vale per la particella 2. Ma non riesco a trovare una soluzione semplice per la traiettoria: vengono sistemi differenziali assurdi e non lineari...c'è qualche modo per ottenere una soluzione approssimata? Per lo meno sarei curioso di vedere la "forma" delle traiettorie delle due cariche
Forza sentita dalla particella 1
$K_0 \frac{q_1 q_2(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2 -z_1)}{((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2)^(3/2)}+ q_1(\dot x_1, \dot y_1, \dot z_1) \times \vec B_2$
dove B_2 è il campo magnetico generato dalla seconda carica.
Espressione analoga vale per la particella 2. Ma non riesco a trovare una soluzione semplice per la traiettoria: vengono sistemi differenziali assurdi e non lineari...c'è qualche modo per ottenere una soluzione approssimata? Per lo meno sarei curioso di vedere la "forma" delle traiettorie delle due cariche
Risposte
Intanto, la tua formula è sbagliata. Stai usando la formula di un campo EM generato da una particella in moto uniforme eterno. Ma questo contraddice completamente le tue ipotesi. Dovresti usare i campi di Liénard-Wiechert, che sono ritardati e quindi in funzione dei parametri del moto al tempo ritardato (l'interazione non si propaga istantaneamente!)
Neanche lo sto a dire, la soluzione sono abbastanza sicuro che non ci sia.
Se le particelle vanno abbastanza piano, c'è la soluzione perturbativa; si trova in qualsiasi testo di elettrodinamica classica. Sostanzialmente è la dimostrazione dell'instabilità dell'atomo planetario. Le particelle seguono orbite kepleriane. Se di carica opposta, ellissi, ma i parametri orbitali precedono lentamente (rispetto alla scala orbitale) in conseguenza del flusso di radiazione emesso perché stanno accelerando; alla fine cadono l'una nell'altra in un tempo finito (sviluppando infinita energia, tra parentesi). Se di carica uguale, scatterano e non si incontrano più.
Neanche lo sto a dire, la soluzione sono abbastanza sicuro che non ci sia.
Se le particelle vanno abbastanza piano, c'è la soluzione perturbativa; si trova in qualsiasi testo di elettrodinamica classica. Sostanzialmente è la dimostrazione dell'instabilità dell'atomo planetario. Le particelle seguono orbite kepleriane. Se di carica opposta, ellissi, ma i parametri orbitali precedono lentamente (rispetto alla scala orbitale) in conseguenza del flusso di radiazione emesso perché stanno accelerando; alla fine cadono l'una nell'altra in un tempo finito (sviluppando infinita energia, tra parentesi). Se di carica uguale, scatterano e non si incontrano più.
eterno? In che senso?
"newton_1372":
eterno? In che senso?
nel senso che quel campo è valido se la particella è sempre stata in moto uniforme, dal tempo ritardato indietro fino al passato infinito.
Mi spiego meglio: le perturbazioni elettromagnetiche si muovono alla velocità della luce. Il campo prodotto da una particella che viene misurato in un certo punto dipende dalla posizione, velocità ed accelerazione della particella come era quando la perturbazione è partita. Il momento in cui la perturbazione è partita è il cosiddetto tempo ritardato.
http://www.zamandayolculuk.com/cetinbal ... htcone.gif
Al tempo t=0, le tue particelle sentono l'influenza dei campi ed iniziano ad accelerare. In tutti i coni di luce futuri, il campo sarà diverso da quello descritto da te. Inoltre dipenderà ad ogni istante dai tempi ritardati.
L'ennesima complicazione è che il tempo ritardato esiste sempre, ma è soluzione di un'equazione in generale trascendentale.
Alcuni casi limite si possono risolvere esattamente. Uno è quello del moto uniforme (e quella che dai è la soluzione). Un altro è quello in cui il punto in cui si misura il campo è molto lontano dalle sorgenti. Insomma, si fa quel che si può.
Ma visto che le distanze in gioco sono piccolissime (le onde elettromagnetiche si propagano a 3 10^8 m/s!) non si può semplicemente trascurare l'effetto ritardo, e assumere che il campo si propaghi "istantaneamente"?
quasi. Non puoi paragonare la distanza tipica con la velocità della luce, perché hanno unità diverse. Puoi paragonare la velocità tipica delle particelle (che poi è la tua scala di lunghezza diviso quella di tempo) a c. Allora fai un'espansione in v/c. Siccome vuoi liberarti del ritardo, tronchi all'ordine 0 (ti sbarazzi di tutto ciò che ha v/c). Questo però ti libera anche del campo magnetico, che è soppresso di v/c. Inoltre in questa approssimazione il campo elettrico diventa coulombiano. Allora ti ritrovi con i soli campi elettrostatici, e la soluzione solo le orbite kepleriane.
Questo è assolutamente ragionevole; nella stragrande maggioranza dei casi questa è l'interazione fra due particelle cariche. Il campo magnetico ha veramente poco effetto.
Se sei virtuoso puoi reinserire gli effetti relativistici come perturbazione e studiare il decadimento delle orbite per irraggiamento. Noteresti - se non sbaglio - che l'effetto del campo magnetico di una particella sull'altra rimane comunque trascurabile rispetto al rinculo dovuto all'emissione di radiazione.
Questo è assolutamente ragionevole; nella stragrande maggioranza dei casi questa è l'interazione fra due particelle cariche. Il campo magnetico ha veramente poco effetto.
Se sei virtuoso puoi reinserire gli effetti relativistici come perturbazione e studiare il decadimento delle orbite per irraggiamento. Noteresti - se non sbaglio - che l'effetto del campo magnetico di una particella sull'altra rimane comunque trascurabile rispetto al rinculo dovuto all'emissione di radiazione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
