Problema 5.4 Dalba, Fornasini - Esercizi di fisica - Due masse in moto circolare

[antmerl]

Due sfere di masse $ m_1 = 1 g $ e $ m_2 = 10 g $ e di ugual volume sono appese, mediante due fili inestensibili di massa trascurabile, ad un perno $ O $. Inizialmente la massa $ m_1 $ si trova nella posizione di equilibrio stabile. La massa $ m_2 $, sollevata di un angolo $ \theta $ e poi lasciata andare, urta elasticamente la massa $ m_1 $.
a) Per quale valore minimo dell'angolo $ \theta $ la massa $ m_1 $, ruotando circolarmente intorno al perno $ O $ dopo l'urto, riesce a superare il punto $ B $ ?
b) Calcolare la differenza tra la tensione della fune nel punto $ A $ e la tensione nel punto $ B $ quando la massa $ m_1 $ ruota intorno ad $ O $.

Risultato:
a) $ \cos\alpha \leq 1 - (5( m_1 + m_2 )^2)/(8m_2^2) $ , $ \alpha \geq 75°54' $
b) $ T_A - T_B = 6m_1g = 58,8*10^-3 N $



Con riferimento rispetto alla massa $ m_2$ ho applicato il secondo principio $ F = ma $ trovando $ \upsilon_2 = -(g\cos\theta)t $
So poi che per gli urti elastici si conserva sia la quantità di moto che l'energia cinetica, ma non so come applicarla.
Quindi mi fermo qui. Potreste aiutarmi per favore?

[mgrau]

"antmerl":
Con riferimento rispetto alla massa $ m_2$ ho applicato il secondo principio $ F = ma $ trovando $ \upsilon_2 = -(g\cos\theta)t $

E $t$ che cos'è? E non ti sembra strano che $v_2$ non dipenda dal raggio?
Quindi, prima devi trovare un modo migliore per trovare $v_2$. Puoi notare che la massa $m_2$ cade per un dislivello dato da $R - Rcos theta$.
Poi, nell'urto elastico, hai le due incognite $V_1$ e $V_2$, con le due condizioni
$m_1V_1 + m_2V_2 = m_2v_2$ e
$m_1V_1^2 + m_2V_2^2 = m_2v_2^2$
Poi non è finita, perchè devi trovare per quale valore di $V_1$ la massa $m_1$ raggiunge il punto B.
Ma per intanto prova ad arrivare qui

[antmerl]

Grazie mgrau,

Non credo che sia giusto, cosa sto sbagliando?

[mgrau]

"antmerl":
Non credo che sia giusto, cosa sto sbagliando?

Qui parli del secondo punto, vero? Ma dovrei prima capire cosa hai scritto. Se metti solo formule, sarà un mio limite, ma non capisco niente. Dovresti dire che intenzioni hai, spiegare i simboli che usi, cosa calcoli, e magari perchè.
E il primo punto, l'hai lasciato perdere?

[antmerl]

Scusami, è vero.. In verità non sono ancora riuscito ad inquadrare la strada da prendere, per cui ho cercato di procedere per tentativi. La prima cosa, ho pensato, è quella di trovare la velocità della massa $m_2$ nel punto A, cioè la velocità di impatto con la massa $m_1$. Poi, essendo un urto elastico, applicare la conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica per trovare, come hai già detto tu, le altre due velocità $V_1$ e $V_2$, ma questo ancora non l'ho fatto. Quello che mi ha fatto pensare che avessi sbagliato è che, proiettando le forze su un riferimento mobile rispetto alle masse, sia arrivato alla contraddizione che $\upsilon_2^2=-2rgcos\theta $ che è un risultato contraddittorio, perché è negativo per $\theta\in (-\pi/2;0)$ mentre un quadrato uno può esserlo.

[antmerl]

Ho provato ad usare le energie:
Per la massa $m_2$: $\upsilon_2=sqrt(2gr(1-costheta))$ dove $r$ è il raggio del cerchio per $theta\in(-pi/2;0)$
Applicando poi le equazioni dell'urto elastico trovo la velocità della massa $m_1$ dopo l'urto
$V_1=((2m_2)/(m_1+m_2))\upsilon_2$
Conservazione dell'energia per la massa $m_1$:
$1/2m_1V_1^2=...$
ecco qui non riesco a trovare l'energia potenziale della massa $m_1$ da $A$ a $B$
dovrebbe essere $mgh$ dove $h=r(1-cos\theta)$ ma per $\theta\in(0;pi/2)$ e per $\theta\in(pi/2;pi)$?
Cioè come posso esprimere $h$ da $A$ a $B$?
Se $h=2r$ l'equazione della conservazione è $1/2m_1V_1^2=m_1g2r$
risolvendo avrò $cos\theta=1-(4(m_1+m_2)^2)/(8m_2^2)$
c'è un 4 invece che un 5! Un caso errato?

[mgrau]

"antmerl":
Conservazione dell'energia per la massa $m_1$:
$1/2m_1V_1^2=...$
ecco qui non riesco a trovare l'energia potenziale della massa $m_1$ da $A$ a $B$
dovrebbe essere $mgh$ dove $h=r(1-cos\theta)$ ma per $\theta\in(0;pi/2)$ e per $\theta\in(pi/2;pi)$?
Cioè come posso esprimere $h$ da $A$ a $B$?
Se $h=2r$ Appunto. Cosa c'entrano le cose che hai scritto prima? l'equazione della conservazione è $1/2m_1V_1^2=m_1g2r$
risolvendo avrò $cos\theta=1-(4(m_1+m_2)^2)/(8m_2^2)$
c'è un 4 invece che un 5! Un caso errato?

Qui c'è un piccolo tranello, nel senso che tu hai supposto che $m_1$ arrivi a $B$ da ferma, ma non è così, perchè in questo caso il filo si affloscia , e la massa non arriva a $B$. Deve arrivare a $B$ con una velocità sufficiente a mantenere il filo teso, ossia la forza centripeta deve essere almeno uguale al peso

[antmerl]

Dovrei scrivere allora $(m_1V_1^2)/r>=m_1gcos\theta$, cioè la forza centripeta$>=$componente normale della forza peso?
Ma non risulta.
Ho fatto un ritroso dal risultato e dovrei usare questa condizione: $(m_1V_1^2)/r>= 5m_1g$,
cioè la forza centripeta$>=5m_1g$
Ma da dove viene quel 5?

[mgrau]

"antmerl":Dovrei scrivere allora $(m_1V_1^2)/r>=m_1gcos\theta$, cioè la forza centripeta$>=$componente normale della forza peso?
[...]
Ma da dove viene quel 5?

Lascia perdere quel $theta$ che non serve. Ci interessa la velocità in B, non negli altri punti.
$V_1$ rappresenta la velocità in $A$. La massa deve raggiungere $B$ ($2r$ più in alto) avendo una velocità $V_B$ sufficiente a mantenere il filo teso, ossia deve essere $V_B^2/r >= g$.
Vedrai che il 5 (4 + 1) salta fuori...

[antmerl]

Uh si...
Conservazione Energia meccanica
$1/2m_1(V_A^2)/r=1/2m_1(V_B^2)/r + m_1g(2r)$ quindi
$V_B^2=V_A^2-4rg$ con $V_A^2=V_1^2 $ il resto è algebra...
Il punto b:
Sappiamo che $V_B^2=V_A^2 -4rg$
$T_A=m_1g+m_1V_A^2/r$
$T_B=-m_1g+m_1V_B^2/r=-m_1g + m_1(V_A^2-4rg)/r$ per cui
$T_A - T_B=6m_1g$

mgrau grazie tantissimo, senza il tuo aiuto avrei impiegato un infinità di tempo per capire.
Soprattutto il ragionamento che c'è nella risoluzione di questo esercizio.