Problema 3D: Asta collegata a due fili
Salve a tutti, purtroppo non posso postarvi il disegno che aiuterebbe molto la comprensione del testo, che è il seguente:
Una sbarra uniforme di massa $m=1kg$ è sospesa ad un soffitto con due fili identici lunghi $L=90cm$ alle estremità della sbarra. L'asta viene ruotata di un piccolo angolo attorno ad un asse verticale passante per il suo centro C, fino a che i fili deviano dalla verticale di un angolo $\alpha=5°$. Quindi l'asta viene lasciata libera di muoversi ed inizia a compiere piccole oscillazioni. Trovare il periodo e l'energia di tali oscillazioni.
Io ho ragionato così:
Prima di essere lasciata andare l'asta in equilibrio è soggetta alle tensioni dei fili e alla forza peso per cui :
$2t\cos(\alpha)=mg$
con $t$ tensione
Da cui ricavo:
$t=(mg)/(2\cos(\alpha))$
Dopodiché ho pensato di impostare la seconda cardinale rispetto al Centro di Massa, ma non riesco a calcolare i bracci delle forze...tra l'altro su questo punto ho qualche dubbio.
Ho anche pensato che probabilmente c'è un modo più facile e veloce di risolverlo con l'energia, ma non riesco a impostarlo..
Potreste gentilmente illuminarmi? Grazie
Una sbarra uniforme di massa $m=1kg$ è sospesa ad un soffitto con due fili identici lunghi $L=90cm$ alle estremità della sbarra. L'asta viene ruotata di un piccolo angolo attorno ad un asse verticale passante per il suo centro C, fino a che i fili deviano dalla verticale di un angolo $\alpha=5°$. Quindi l'asta viene lasciata libera di muoversi ed inizia a compiere piccole oscillazioni. Trovare il periodo e l'energia di tali oscillazioni.
Io ho ragionato così:
Prima di essere lasciata andare l'asta in equilibrio è soggetta alle tensioni dei fili e alla forza peso per cui :
$2t\cos(\alpha)=mg$
con $t$ tensione
Da cui ricavo:
$t=(mg)/(2\cos(\alpha))$
Dopodiché ho pensato di impostare la seconda cardinale rispetto al Centro di Massa, ma non riesco a calcolare i bracci delle forze...tra l'altro su questo punto ho qualche dubbio.
Ho anche pensato che probabilmente c'è un modo più facile e veloce di risolverlo con l'energia, ma non riesco a impostarlo..
Potreste gentilmente illuminarmi? Grazie
Risposte
Non ti pare che dal testo di questo esercizio manchi un dato, ad esempio la lunghezza dell'asta?
L'ho risolto e la lunghezza dell'asta non era necessaria ai fini del problema:
Per semplicità chiamo $P$ un estremo della sbarra e $2D$ la sua lunghezza (che poi scomparirà).
Quando torco la sbarra di un angolo $\alpha$ (considero una vista dall'alto) l'estremo $P$ si sposta dal punto iniziale in cui si trova che chiamo $A$ a un punto che chiamo $B$.
Considero il piano perpendicolare alla sbarra e passante per $AB$ . Considero $C$ proiezione del punto $P$ sulla verticale dopo la torsione di un angolo $\beta$ rispetto alla verticale:
$BC=L\sen\beta$
Inoltre dalla vista dall'alto A coincide con C e posso scrivere:
$BC=2D\sin\alpha/2$
Per angoli piccoli:
$BC=L\beta$
$BC=D\alpha$
Da cui trovo la relazione tra gli angoli : $L\beta=D\alpha$
Impostando poi la conservazione dell'energia Meccanica e derivando si ottiene la pulsazione.
Per semplicità chiamo $P$ un estremo della sbarra e $2D$ la sua lunghezza (che poi scomparirà).
Quando torco la sbarra di un angolo $\alpha$ (considero una vista dall'alto) l'estremo $P$ si sposta dal punto iniziale in cui si trova che chiamo $A$ a un punto che chiamo $B$.
Considero il piano perpendicolare alla sbarra e passante per $AB$ . Considero $C$ proiezione del punto $P$ sulla verticale dopo la torsione di un angolo $\beta$ rispetto alla verticale:
$BC=L\sen\beta$
Inoltre dalla vista dall'alto A coincide con C e posso scrivere:
$BC=2D\sin\alpha/2$
Per angoli piccoli:
$BC=L\beta$
$BC=D\alpha$
Da cui trovo la relazione tra gli angoli : $L\beta=D\alpha$
Impostando poi la conservazione dell'energia Meccanica e derivando si ottiene la pulsazione.
Ho cercato di spiegarmi nel migliore dei modi ma purtroppo senza disegno questo problema risulta più difficile di quanto non lo sia già.
In effetti pare proprio che tu abbia ragione.
Provando a risolverlo ho riscontrato anch'io che la lunghezza dell'asta, che inizialmente entra nei calcoli in vario modo, alla fine viene eliminata, e ciò che rimane è solo la lunghezza dei fili che la tengono sospesa.
Curioso esercizio che ha dato torto alla mia prima intuizione.
Sono belli questi esercizi che sconfessano l'opinione preconcetta iniziale, fanno capire che a volte l'intuizione inganna.
Provando a risolverlo ho riscontrato anch'io che la lunghezza dell'asta, che inizialmente entra nei calcoli in vario modo, alla fine viene eliminata, e ciò che rimane è solo la lunghezza dei fili che la tengono sospesa.
Curioso esercizio che ha dato torto alla mia prima intuizione.
Sono belli questi esercizi che sconfessano l'opinione preconcetta iniziale, fanno capire che a volte l'intuizione inganna.
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