Problema...
Ciao a tutti, qualcuno riesce a darmi una mano a rislvere questo problema, da un tema d'esame?
Due sferette di dimensioni trascurabili e masse m1=M e m2=2M sono fissate alle estremità opposte di un’asta omogenea di dimensioni trasversali trascurabili e densità = M/metro e lunghezza L. L’asta è incernierata in un punto distante L/3 dalla sferetta m1 tramite un chiodo ad una parete verticale. L’asta, che può ruotare attorno al chiodo con attrito trascurabile, viene lasciata libera di muoversi dopo essere stata posta in posizione orizzontale.
a) Si dia l’espressione dell’energia potenziale e cinetica dell’intero sistema nella posizione iniziale e nella posizione verticale. Si specifichi chiaramente dove si assume che l’energia potenziale sia nulla, e si indichino esplicitamente i termini di energia per i vari elementi del sistema.
b) Si ricavi l’espressione del momento di inerzia dell’asta rispetto al centro di rotazione.
c) Si ricavino i moduli delle velocità delle due sferette quando l’asta passa per la posizione verticale.
[M = 1 kg; L = 90 cm].
So che i risultati numerici dovrebbero essere: v1=1.43 m/s e v2=2.86 m/s, però proprio non riesco ad arrivarci.
Grazie comunque!
Due sferette di dimensioni trascurabili e masse m1=M e m2=2M sono fissate alle estremità opposte di un’asta omogenea di dimensioni trasversali trascurabili e densità = M/metro e lunghezza L. L’asta è incernierata in un punto distante L/3 dalla sferetta m1 tramite un chiodo ad una parete verticale. L’asta, che può ruotare attorno al chiodo con attrito trascurabile, viene lasciata libera di muoversi dopo essere stata posta in posizione orizzontale.
a) Si dia l’espressione dell’energia potenziale e cinetica dell’intero sistema nella posizione iniziale e nella posizione verticale. Si specifichi chiaramente dove si assume che l’energia potenziale sia nulla, e si indichino esplicitamente i termini di energia per i vari elementi del sistema.
b) Si ricavi l’espressione del momento di inerzia dell’asta rispetto al centro di rotazione.
c) Si ricavino i moduli delle velocità delle due sferette quando l’asta passa per la posizione verticale.
[M = 1 kg; L = 90 cm].
So che i risultati numerici dovrebbero essere: v1=1.43 m/s e v2=2.86 m/s, però proprio non riesco ad arrivarci.
Grazie comunque!
Risposte
Ciao, non si capisce bene quanto vale la densità...
Ah sì, scusate. quel "?" è un $\rho$ = M/metro. Quindi dovrebbe essere un 1 kg/metro usando come M quello dato dal problema.
Ciao!
Ciao!
Ok ecco, prendiamo allora come zero per l'energia potenziale la configurazione orizzontale del sistema, quindi essendo in presenza di sole forze conservative, si scrive:
$0=-2M 2/3L\sin\thetag+ML/3\sin\thetag-\rhoL^2/6\sin\thetag+1/2I\omega^2$
essendo il centro di massa dell'asta omogenea colocato alla sua metà e quindi a distanza $L/6$ dal centro di rotazione. qundo l'asta arriva in posizione verticale si ha che $\theta=\pi/2$, quindi:
$0=-2M 2/3Lg+ML/3g-\rhoL^2/6g+1/2I\omega^2=-MgL-\rhoL^2/6g+1/2I\omega^2=>I\omega^2=MgL+\rhoL^2/6g$
Il momento d'inerzia si calcola attraverso la somma dei contributi di ognuna delle masse del sistema, quindi, utilizzando anche il th di Steiner:
$I=2M4/9L^2+ML^2/9+\rhoL^3/12+\rhoL^3/36=ML^2+\rhoL^3/9=(M+\rhoL/9)L^2$
Quindi in definitiva si ha:
$\omega=\sqrt{{2ML+\rhoL^2/3}/{I}g}=\sqrt{{2M+\rhoL/3}/{(M+\rhoL/9)L}g}$
Essendo poi:
$v=\omegar$ si ottengono subito le velocità delle due masse in quell'istante:
$v_M=\omegaL/3=L/3\sqrt{{2M+\rhoL/3}/{(M+\rhoL/9)L}g}=1.43m/s$
$v_{2M}=\omega2/3L=2/3L\sqrt{{2M+\rhoL/3}/{(M+\rhoL/9)L}g}=2.86m/s$
$0=-2M 2/3L\sin\thetag+ML/3\sin\thetag-\rhoL^2/6\sin\thetag+1/2I\omega^2$
essendo il centro di massa dell'asta omogenea colocato alla sua metà e quindi a distanza $L/6$ dal centro di rotazione. qundo l'asta arriva in posizione verticale si ha che $\theta=\pi/2$, quindi:
$0=-2M 2/3Lg+ML/3g-\rhoL^2/6g+1/2I\omega^2=-MgL-\rhoL^2/6g+1/2I\omega^2=>I\omega^2=MgL+\rhoL^2/6g$
Il momento d'inerzia si calcola attraverso la somma dei contributi di ognuna delle masse del sistema, quindi, utilizzando anche il th di Steiner:
$I=2M4/9L^2+ML^2/9+\rhoL^3/12+\rhoL^3/36=ML^2+\rhoL^3/9=(M+\rhoL/9)L^2$
Quindi in definitiva si ha:
$\omega=\sqrt{{2ML+\rhoL^2/3}/{I}g}=\sqrt{{2M+\rhoL/3}/{(M+\rhoL/9)L}g}$
Essendo poi:
$v=\omegar$ si ottengono subito le velocità delle due masse in quell'istante:
$v_M=\omegaL/3=L/3\sqrt{{2M+\rhoL/3}/{(M+\rhoL/9)L}g}=1.43m/s$
$v_{2M}=\omega2/3L=2/3L\sqrt{{2M+\rhoL/3}/{(M+\rhoL/9)L}g}=2.86m/s$
Grazie mille!! ^_^
Ciao!
Ciao!
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