Problema
Calcolare l’angolo α con cui un punto materiale deve essere lanciato verso un piano perfettamente liscio inclinato a 45◦ in modo che dopo il primo rimbalzo, perfettamente elastico, torni esattamente nel punto di lancio. figura in allegato.
Risposte
Ci vorrebbe qualche segnale di impegno da parte tua...
Poi ti dirò che la figura è ingannevole, quello non è un rimbalzo possibile... prova a meditare su che cosa non va, questo dovrebbe portarti verso la soluzione.
Poi ti dirò che la figura è ingannevole, quello non è un rimbalzo possibile... prova a meditare su che cosa non va, questo dovrebbe portarti verso la soluzione.
Come spesso succede, l'OP lancia il problema, poi si rende latitante.
Però il problema si presenta interessante, così ci ho pensato un po' su.
Ho pensato che il rimbalzo avviene in modo che la traiettoria in arrivo e quella dopo il rimbalzo, formano angoli uguali rispetto alla normale alla superficie. Quindi, se l'urto avviene secondo la normale, il rimbalzo ripercorre la stessa traiettoria all'indietro. Si tratta allora di trovare l'angolo per cui l'urto avviene secondo la normale.
Si deve avere cioè: $x = y$ e $v_x = -v_y$, ossia
$vcosalpha*t = vsinalpha*t - 1/2g t^2$ e
$vcosalpha = -vsinalpha + g t$
I conti sono un po' macchinosi ma non presentano difficoltà di principio.
Ora, l'urto in direzione normale è chiaramente una condizione sufficiente. E' anche necessaria?
Sì: per questo, si può notare che i due angoli, di incidenza e di riflessione, sono uguali, come le velocità.
Se immaginiamo le due traiettorie come entrambe uscenti da P, si tratta di due lanci con angoli simmetrici rispetto all'inclinazione di 45°.
Si vede facilmente che due lanci cosiffatti hanno la stessa gittata, ossia le due traiettorie di intersecano in un punto Q che si trova alla stessa altezza di P. Allora, dato che le due parabole possono avere al più due punti in comune, e questi sono P e Q, la traiettoria di rimbalzo non può passare anche per il punto di lancio iniziale
Esiste però un'altra soluzione, molto più semplice ed elegante (anche se non soddisfa esattamente la consegna, che richiede un solo rimbalzo).
Se cioè il proiettile colpisce il piano in direzione orizzontale, quindi nel vertice della parabola. In questo caso, il rimbalzo è in verticale, poi il proiettile ricade nello stesso punto P, e riprende la traiettoria di partenza.
Però il problema si presenta interessante, così ci ho pensato un po' su.
Ho pensato che il rimbalzo avviene in modo che la traiettoria in arrivo e quella dopo il rimbalzo, formano angoli uguali rispetto alla normale alla superficie. Quindi, se l'urto avviene secondo la normale, il rimbalzo ripercorre la stessa traiettoria all'indietro. Si tratta allora di trovare l'angolo per cui l'urto avviene secondo la normale.
Si deve avere cioè: $x = y$ e $v_x = -v_y$, ossia
$vcosalpha*t = vsinalpha*t - 1/2g t^2$ e
$vcosalpha = -vsinalpha + g t$
I conti sono un po' macchinosi ma non presentano difficoltà di principio.
Ora, l'urto in direzione normale è chiaramente una condizione sufficiente. E' anche necessaria?
Sì: per questo, si può notare che i due angoli, di incidenza e di riflessione, sono uguali, come le velocità.
Se immaginiamo le due traiettorie come entrambe uscenti da P, si tratta di due lanci con angoli simmetrici rispetto all'inclinazione di 45°.
Si vede facilmente che due lanci cosiffatti hanno la stessa gittata, ossia le due traiettorie di intersecano in un punto Q che si trova alla stessa altezza di P. Allora, dato che le due parabole possono avere al più due punti in comune, e questi sono P e Q, la traiettoria di rimbalzo non può passare anche per il punto di lancio iniziale
Esiste però un'altra soluzione, molto più semplice ed elegante (anche se non soddisfa esattamente la consegna, che richiede un solo rimbalzo).
Se cioè il proiettile colpisce il piano in direzione orizzontale, quindi nel vertice della parabola. In questo caso, il rimbalzo è in verticale, poi il proiettile ricade nello stesso punto P, e riprende la traiettoria di partenza.
ho capito il ragionamento e ti ringrazio ma cosi ho una dipendenza dal tempo che penso non dovrei avere...se ragionassi sulla conservazione dell energia ( cinetica e potenziale) tra il punto di partenza e il punto di arrivo mettendo mettendo al posto della velocità la sua componente lungo la normale ??
"nic103":
ma cosi ho una dipendenza dal tempo che penso non dovrei avere...
Non direi: ci sono due equazioni e due incognite ($alpha$ e $t$)
"nic103":
se ragionassi sulla conservazione dell energia ( cinetica e potenziale) tra il punto di partenza e il punto di arrivo mettendo mettendo al posto della velocità la sua componente lungo la normale ??
Prova a mettere giù qualcosa...
ho anche la velocità come incognita.
per quanto riguarda l energia da questa posso trovarmi la velocità iniziale ma sarà in funzione dell altezza che non ho quindi continua a mancarmi un dato
per quanto riguarda l energia da questa posso trovarmi la velocità iniziale ma sarà in funzione dell altezza che non ho quindi continua a mancarmi un dato
"nic103":
ho anche la velocità come incognita.
Dal testo del problema, mi sembra che la velocità si consideri nota
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