Problem: Convezione + Irraggiamento
Calcolare la potenza dispersa da un fornello elettrico di una cucina quando raggiunge la temperatura di 400°C. Esso ha un diametro di 20 cm e lo spesso di 1 cm. La temperatura ambiente è pari a 20°C, si assuma che lo scambio termico avvenga solo verso l'ambiente (parte inferiore del fornello adiabatica). Calcolare poi la potenza elettrica che assorbirà il fornello. Pr=0,7 e $ sigma =5,67 \cdot 10^-8 (W)/(m^2 K^4) $ . Assumere che l'aria si comporti come un gas perfetto.
Salve a tutti, vi chiedo aiuto per risolvere questo problema. Scrivo per avere consigli ed essere corretto nel caso andassi fuori strada. Non ho i risultati e vorrei gentilmente chiedervi di correggermi. Grazie infinite a tutti.
Inizierei dalla considerazione seguente: l'aria è ferma e quindi si farà riferimento alla convezione naturale, così facendo non è più possibile trascurare gli effetti dell'irraggiamento (essendo paragonabili al contributo della convezione stessa). Perciò:
$ Q=Q_{conv.}+Q_{irr.} $
Per quanto riguarda lo scambio di calore per irraggiamento posso scrivere:
$ Q_{irr.}=\epsilon \cdot \sigma \cdot A_{scambio} \cdot (400-20)K $
L'area di scambio sarebbe costituita in questo caso da un cilindro, senza però una delle due facce, visto che è adiabatica.
Sapresti indicarmi come posso ricavare l'emissività $\epsilon$? Non si fa riferimento a niente nei dati, cosa dovrei fare; porla pari a 1 come fosse un corpo nero?
Il contributo della convezione naturale invece lo stimerei nel modo seguente:
$Q_{conv.}=h \cdot A_{scambio} \cdot (400-20)K $
Dovrei ricavare il coefficiente di scambio convettivo $h$ partendo dal numero di Prandtl, posso ricavare il coefficiente di dilatazione cubica $\beta$ facilmente trattandosi di un gas perfetto:
$ \beta=1/(T_{fluido}[K])=1/(293 K) $
La lunghezza caratteristica per questa geometria (cilindrica verticale) dovrebbe essere l'altezza dello stesso, quindi $1 cm=0,01 m$.
$ Ra=Gr \cdot Pr=\frac{g \beta (T_s - T_{\infty}) (L_{c})^3}{nu^2} \cdot Pr $
Per ricavare $\lambda$ e $\nu$ ci si deve rifare alla temperatura di film: $T_f=(T_s - T_{\infty})/2$, prendere la pressione atmosferica (almeno in questo specifico caso) e controllare su delle tabelle delle proprietà dell'aria.
Dopo il numero di Rayleigh viene quello di Nusselt:
$Nu=\frac{L_c \cdot h}{\lambda} \Rightarrow h=\frac{\lambda}{L_c}\cdot Nu$
L'equazione in questa forma serve per ricavarsi $h$, però avendo due incognite $Nu$ deve essere calcolato facendo riferimento alle correlazioni sperimentali relative alla forma specifica in questione se ho ben capito. Su un libro di testo ho trovato che il cilindro verticale può essere approssimato con una piastra e la relazione diviene:
$ Nu=0,59 \cdot Ra^(1/4) \quad oppure \quad Nu=0,1 \cdot Ra^(1/3) $
Non sono riuscito a capire quale utilizzare, poiché sono solo riportati in una tabella così come sono.
Adesso in teoria si hanno i dati necessari per ricavare il calore trasmesso per convezione, giusto?
Grazie di nuovo a tutti, ho fatto del mio meglio per scrivere in modo chiaro, se mi fosse sfuggito qualcosa vi chiederei gentilmente di indicarmi dove.
Salve a tutti, vi chiedo aiuto per risolvere questo problema. Scrivo per avere consigli ed essere corretto nel caso andassi fuori strada. Non ho i risultati e vorrei gentilmente chiedervi di correggermi. Grazie infinite a tutti.
Inizierei dalla considerazione seguente: l'aria è ferma e quindi si farà riferimento alla convezione naturale, così facendo non è più possibile trascurare gli effetti dell'irraggiamento (essendo paragonabili al contributo della convezione stessa). Perciò:
$ Q=Q_{conv.}+Q_{irr.} $
Per quanto riguarda lo scambio di calore per irraggiamento posso scrivere:
$ Q_{irr.}=\epsilon \cdot \sigma \cdot A_{scambio} \cdot (400-20)K $
L'area di scambio sarebbe costituita in questo caso da un cilindro, senza però una delle due facce, visto che è adiabatica.
Sapresti indicarmi come posso ricavare l'emissività $\epsilon$? Non si fa riferimento a niente nei dati, cosa dovrei fare; porla pari a 1 come fosse un corpo nero?
Il contributo della convezione naturale invece lo stimerei nel modo seguente:
$Q_{conv.}=h \cdot A_{scambio} \cdot (400-20)K $
Dovrei ricavare il coefficiente di scambio convettivo $h$ partendo dal numero di Prandtl, posso ricavare il coefficiente di dilatazione cubica $\beta$ facilmente trattandosi di un gas perfetto:
$ \beta=1/(T_{fluido}[K])=1/(293 K) $
La lunghezza caratteristica per questa geometria (cilindrica verticale) dovrebbe essere l'altezza dello stesso, quindi $1 cm=0,01 m$.
$ Ra=Gr \cdot Pr=\frac{g \beta (T_s - T_{\infty}) (L_{c})^3}{nu^2} \cdot Pr $
Per ricavare $\lambda$ e $\nu$ ci si deve rifare alla temperatura di film: $T_f=(T_s - T_{\infty})/2$, prendere la pressione atmosferica (almeno in questo specifico caso) e controllare su delle tabelle delle proprietà dell'aria.
Dopo il numero di Rayleigh viene quello di Nusselt:
$Nu=\frac{L_c \cdot h}{\lambda} \Rightarrow h=\frac{\lambda}{L_c}\cdot Nu$
L'equazione in questa forma serve per ricavarsi $h$, però avendo due incognite $Nu$ deve essere calcolato facendo riferimento alle correlazioni sperimentali relative alla forma specifica in questione se ho ben capito. Su un libro di testo ho trovato che il cilindro verticale può essere approssimato con una piastra e la relazione diviene:
$ Nu=0,59 \cdot Ra^(1/4) \quad oppure \quad Nu=0,1 \cdot Ra^(1/3) $
Non sono riuscito a capire quale utilizzare, poiché sono solo riportati in una tabella così come sono.
Adesso in teoria si hanno i dati necessari per ricavare il calore trasmesso per convezione, giusto?
Grazie di nuovo a tutti, ho fatto del mio meglio per scrivere in modo chiaro, se mi fosse sfuggito qualcosa vi chiederei gentilmente di indicarmi dove.
Risposte
Il testo non è il massimo, doveva fornire una traccia, così è troppo generico per essere un esercizio.
Due note.
Nell'irraggiamento la dipendenza è con la quarta potenza della temperatura, l'emissività andrebbe ricercata in letteratura, l'ipotesi di corpo nero non mi pare appropriata.
La dimensione caratteristica per la convezione naturale va presa rispetto al diametro del cilindro, lo spessore è insignificante, occorrerebbe riferirsi alla convezione di una superficie orizzontale.
Comunque il testo è pessimo, ripeto
Due note.
Nell'irraggiamento la dipendenza è con la quarta potenza della temperatura, l'emissività andrebbe ricercata in letteratura, l'ipotesi di corpo nero non mi pare appropriata.
La dimensione caratteristica per la convezione naturale va presa rispetto al diametro del cilindro, lo spessore è insignificante, occorrerebbe riferirsi alla convezione di una superficie orizzontale.
Comunque il testo è pessimo, ripeto
Grazie mille Faussone. Si, in effetti mi sono perso un esponente.
Il testo mi preoccupa perché è un testo preso pari pari da un esame... speriamo bene.
Cercherò di rivedere la parte riguardante la seconda nota:
Per quanto riguarda la convezione naturale e la dimensione caratteristica per piastra piana ho trovato $L_c=\frac{A_{scambio}}{perimetro}$, mentre per quanto riguarda il cilindro verticale non sono riuscito a trovare niente se non la condizione per approssimarlo come piastra verticale: $D>=\frac{35L}{Gr^{1/4}}$. Utilizzerò quella per piastra piana come suggerito.
Per l'irraggiamento annetto un "$^4$" alla temperatura e per quanto riguarda $\epsilon$... non saprei. So che è un parametro che dipende da molti fattori; lunghezza d'onda, temperatura, con la direzione della radiazione emessa, dal materiale e comunque dalle condizioni della superficie in esame. Non saprei cosa cercare.
Ho chiarito quanto segue: per quanto riguarda il Numero di Nusselt ($Nu$) per la superficie superiore di una piastra piana calda: $Nu=0,54 \cdot Ra^{1/4}$ oppure $0,15 \cdot Ra^{1/3}$ a seconda dell'ordine di grandezza del numero di Rayleigh; $10^4 \div 10^7$ nel primo caso, $10^7 \div 10^{11}$ nel secondo.
Giusto per correggere ciò che avevo scritto.
Grazie di nuovo!
Il testo mi preoccupa perché è un testo preso pari pari da un esame... speriamo bene.
Cercherò di rivedere la parte riguardante la seconda nota:
Per quanto riguarda la convezione naturale e la dimensione caratteristica per piastra piana ho trovato $L_c=\frac{A_{scambio}}{perimetro}$, mentre per quanto riguarda il cilindro verticale non sono riuscito a trovare niente se non la condizione per approssimarlo come piastra verticale: $D>=\frac{35L}{Gr^{1/4}}$. Utilizzerò quella per piastra piana come suggerito.
Per l'irraggiamento annetto un "$^4$" alla temperatura e per quanto riguarda $\epsilon$... non saprei. So che è un parametro che dipende da molti fattori; lunghezza d'onda, temperatura, con la direzione della radiazione emessa, dal materiale e comunque dalle condizioni della superficie in esame. Non saprei cosa cercare.
Ho chiarito quanto segue: per quanto riguarda il Numero di Nusselt ($Nu$) per la superficie superiore di una piastra piana calda: $Nu=0,54 \cdot Ra^{1/4}$ oppure $0,15 \cdot Ra^{1/3}$ a seconda dell'ordine di grandezza del numero di Rayleigh; $10^4 \div 10^7$ nel primo caso, $10^7 \div 10^{11}$ nel secondo.
Giusto per correggere ciò che avevo scritto.
Grazie di nuovo!
Bene.
Ricordati anche che le temperature vanno tutte espresse in kelvin (molto importante per la relazione dell'irraggiamento con la quarta potenza).
Riguardo al testo, normalmente si danno le relazioni semi-empirche che "il candidato" dovrebbe usare.... Almeno ai miei tempi si usava così.
Stesso discorso per l'emissività e se considerare il corpo nero o grigio.
Ricordati anche che le temperature vanno tutte espresse in kelvin (molto importante per la relazione dell'irraggiamento con la quarta potenza).
Riguardo al testo, normalmente si danno le relazioni semi-empirche che "il candidato" dovrebbe usare.... Almeno ai miei tempi si usava così.
Stesso discorso per l'emissività e se considerare il corpo nero o grigio.
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