Probabilità di trovare una particella in una scatola 1D
Ciao a tutti,giorni fa ho fatto un esame di fisica ,che non ho superato 
Sto riguardando gli esercizi per vedere un po cosa ho combinato...mi potete aiutare su questo?
"una particella si trova in una scatola unidimensionale di lunghezza L. Determinare la probabilità di trovare la particella nella regione centrale della scatola L/4 < x< 3L/4 se la particella si trova nello stato fondamentale Po oppure nel primo o nel secondo stato eccitato." Allora io ho calcolato l'integrale definito tra L/4 e 3L/4 di 2/L sin^2 [( n pigreco x )/L] dx dove n è il livello dello stato,nel caso dello stato fondamentale n=1 .
Ho posto $ pigreco x /L = z$ ; quindi $ x=(L/pi greco ) z$ e $dz = (pigreco /L)dx $
Quindi l'integrale diventa :
$ integrale di 2/L sin^2 (z)* L/pi greco dz$
Cambio gli estremi dell'integrale sostituendo in precedenza a pigreco x /L una volta L/4 e una volta 3L/4 E VIENE :
$Integrale tra pigreco/4 3pigreco/4 di 2/L sin^2 z * L/pigreco dz $
A questo punto porto 2/L e L/ pigreco fuori dall'integrale e viene :
$ 2/pigreco * integrale di sin^2 z dz $
Fino ad ora ho fatto bene???
Se si come si continua? devo svolgere l'integrale e so che vale : $ z/2 -sin(2z)/4 + c
Quello che non ho capito è se lo devo risolvere fino alla fine sostituendo a z una volta pigreco/4 e l'altra 3L/4 o no ,perchè in aula il prof mi vide fare tanti calcoli e si meravigliò... :S
Non so se sono stata chiara ,nel caso non abbiate capito nulla,potete cercare di dirmi come si svolge leggendo il testo?
Sto riguardando gli esercizi per vedere un po cosa ho combinato...mi potete aiutare su questo? "una particella si trova in una scatola unidimensionale di lunghezza L. Determinare la probabilità di trovare la particella nella regione centrale della scatola L/4 < x< 3L/4 se la particella si trova nello stato fondamentale Po oppure nel primo o nel secondo stato eccitato." Allora io ho calcolato l'integrale definito tra L/4 e 3L/4 di 2/L sin^2 [( n pigreco x )/L] dx dove n è il livello dello stato,nel caso dello stato fondamentale n=1 .
Ho posto $ pigreco x /L = z$ ; quindi $ x=(L/pi greco ) z$ e $dz = (pigreco /L)dx $
Quindi l'integrale diventa :
$ integrale di 2/L sin^2 (z)* L/pi greco dz$
Cambio gli estremi dell'integrale sostituendo in precedenza a pigreco x /L una volta L/4 e una volta 3L/4 E VIENE :
$Integrale tra pigreco/4 3pigreco/4 di 2/L sin^2 z * L/pigreco dz $
A questo punto porto 2/L e L/ pigreco fuori dall'integrale e viene :
$ 2/pigreco * integrale di sin^2 z dz $
Fino ad ora ho fatto bene???
Se si come si continua? devo svolgere l'integrale e so che vale : $ z/2 -sin(2z)/4 + c
Quello che non ho capito è se lo devo risolvere fino alla fine sostituendo a z una volta pigreco/4 e l'altra 3L/4 o no ,perchè in aula il prof mi vide fare tanti calcoli e si meravigliò... :S
Non so se sono stata chiara ,nel caso non abbiate capito nulla,potete cercare di dirmi come si svolge leggendo il testo?
Risposte
L'idea mi pare quella buona, cioè integrare $|Psi_n(x)|^2$ fra gli estremi che ti dice il problema. Però non riesco a capire nulla di come svolgi l'integrale perchè missà che hai pasticciato un po' con l'editor delle formule. prova a sistemare un po' quello che hai scritto.
Ho capito,ho anche controllato la sezione dove ci sono le istruzioni per scrivere le formule ma mi viene malissimo!
In pratica l'argomento del seno è (n * pi greco * x )/L ed io ho pensato di sostituire alla x una volta un estremo e una volta l'altro estremo dell'integrale in modo da ottenere due nuovi estremi .
Poi ho fatto il cambio di variabile ponendo l'argomento del seno uguale ad una variabile tipo z e ho sostituito il tutto con z facendomi venire un integrale del tipo sen^2 z dz ,capito?
Ho applicato la formula di risoluzione di questo integrale e ho sostituito a z i valori degli estremi ,cioè ho risolto l'integrale definito!
Solo che il professore mi disse che non dovevo fare tutti questi calcoli,si meravigliò, quindi vorrei capire cosa devo fare,qual è la risoluzione giusta??
In pratica l'argomento del seno è (n * pi greco * x )/L ed io ho pensato di sostituire alla x una volta un estremo e una volta l'altro estremo dell'integrale in modo da ottenere due nuovi estremi .
Poi ho fatto il cambio di variabile ponendo l'argomento del seno uguale ad una variabile tipo z e ho sostituito il tutto con z facendomi venire un integrale del tipo sen^2 z dz ,capito?
Ho applicato la formula di risoluzione di questo integrale e ho sostituito a z i valori degli estremi ,cioè ho risolto l'integrale definito!
Solo che il professore mi disse che non dovevo fare tutti questi calcoli,si meravigliò, quindi vorrei capire cosa devo fare,qual è la risoluzione giusta??
Ho posto πgrecoxL=z ; quindi x=(Lπgreco)z e dz= (πgreco/L)dx
Quindi l'integrale diventa :
int di 2/L sin^2 z * L/ pi greco dz
e gli estremi sono diventati (pi greco )/4 e 3/4 pigreco per il ragionameno che ho spiegato sopra.
A questo punto porto 2/L e L/ pigreco fuori dall'integrale e viene :
2/ pi greco * int di sin^2 z dz
Quindi l'integrale diventa :
int di 2/L sin^2 z * L/ pi greco dz
e gli estremi sono diventati (pi greco )/4 e 3/4 pigreco per il ragionameno che ho spiegato sopra.
A questo punto porto 2/L e L/ pigreco fuori dall'integrale e viene :
2/ pi greco * int di sin^2 z dz
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