Probabilità di $L^2$
Ciao a tutti.
Ho una funzione d'onda:
$\Psi = N y e^-(r/(2a))$
Devo trovare le possibili misure di $L_z$ e $L^2$ e le probabilità.
Vorrei vedere se il mio ragionamento è esatto.
riscrivo la funzione in coordinate sferiche, e poi normalizzo per trovare $N$
ricordando che: $y= r sin \theta sin \phi$, l'integrale triplo normalizzato ad 1 mi dà:
$N = 1/sqrt(24 a^5) sqrt(3/(4 \pi))$
ora riscrivo la $\Psi$ in sferiche armoniche cioè una funzione del tipo:
$\Psi = R(r) \Omega(\theta, \phi)$
dove $R(r) = r e^-(r/(2a))$ e $\Omega(\theta, \phi) = 1/sqrt(24 a^5) i (Y_1^1 + Y_1^-1)$
da cui vedo che:
$l=1$ , L^2 = 2 (\htagliato)^2 , $L_z$ è +\- htagliato.
non riesco a trovare quale sia la probabilità di $L^2$, dovrebbe darmi $1$ ma se sommo i coefficienti dell'armoniche sferiche mi da 2
dove sbaglio?
Ho una funzione d'onda:
$\Psi = N y e^-(r/(2a))$
Devo trovare le possibili misure di $L_z$ e $L^2$ e le probabilità.
Vorrei vedere se il mio ragionamento è esatto.
riscrivo la funzione in coordinate sferiche, e poi normalizzo per trovare $N$
ricordando che: $y= r sin \theta sin \phi$, l'integrale triplo normalizzato ad 1 mi dà:
$N = 1/sqrt(24 a^5) sqrt(3/(4 \pi))$
ora riscrivo la $\Psi$ in sferiche armoniche cioè una funzione del tipo:
$\Psi = R(r) \Omega(\theta, \phi)$
dove $R(r) = r e^-(r/(2a))$ e $\Omega(\theta, \phi) = 1/sqrt(24 a^5) i (Y_1^1 + Y_1^-1)$
da cui vedo che:
$l=1$ , L^2 = 2 (\htagliato)^2 , $L_z$ è +\- htagliato.
non riesco a trovare quale sia la probabilità di $L^2$, dovrebbe darmi $1$ ma se sommo i coefficienti dell'armoniche sferiche mi da 2
dove sbaglio?
Risposte
fai calcoli eccessivamente complicati. La tua funzione d'onda è evidentemente un'autofunzione simultanea di $L^2$ ed $L_y$ con numeri quantici $l = 1$ e $m_y = 0$ (è una funzione radiale per un'armonica sferica! Semplicemente rispetto all'asse $y$). Le probabilità per $L^2$ sono banali a questo punto, quelle per $L_z$ meno ma comunque si tirano fuori per via algebrica e senza sudare integrali.
Per simmetria comunque puoi dedurre che $P(L_z = 1) = P(L_z = -1)$, ma ti manca $P(L_z = 0)$.
Sei nel sottospazio $l=1$, quindi usa la base degli autovettori di $L_z$. Le matrici delle componenti del momento angolare in questa base sono queste http://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a ... mg2139.png
Il tuo autostato è autovettore di $L_y$ con autovettore $0$, quindi lo trovi con un calcolo veloce.
Una volta che l'hai trovato, le sue componenti (automaticamente nella base di $L_z$) sono le ampiezze di probabilità per misurare quei valori di $L_z$. Il modulo quadro sono le probabilità.
Ora, mi pare che venissero $(\frac{1}{4},\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$, ma sto andando a memoria.
Per simmetria comunque puoi dedurre che $P(L_z = 1) = P(L_z = -1)$, ma ti manca $P(L_z = 0)$.
Sei nel sottospazio $l=1$, quindi usa la base degli autovettori di $L_z$. Le matrici delle componenti del momento angolare in questa base sono queste http://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a ... mg2139.png
Il tuo autostato è autovettore di $L_y$ con autovettore $0$, quindi lo trovi con un calcolo veloce.
Una volta che l'hai trovato, le sue componenti (automaticamente nella base di $L_z$) sono le ampiezze di probabilità per misurare quei valori di $L_z$. Il modulo quadro sono le probabilità.
Ora, mi pare che venissero $(\frac{1}{4},\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$, ma sto andando a memoria.
io ho fatto diversamente per le probabilità di $L_z$ ho riscritto $\Psi$ in termine di armoniche sferiche (che mi da il prof, quindi devo usarle..)
quindi a parte N (che è l'unica che mi ha fatto perdere un pò di tempo..) :
$\Psi = N r sin \theta sin \phi e^-(r/(2a))$
so che:
$Y_1^1 = - sqrt(3/(8 \pi)) sin \theta e^(i \phi)$
$Y_1^-1 = sqrt(3/(8 \pi)) sin \theta e^(-i \phi)$
mettendo dentro viene:
$\Psi = N r sin \theta sin \phi e^-(r/(2a)) = 1/(2 i) N r e^-(r/(2a)) (- sqrt(8 \pi/3)) (Y_1^1 + Y_1^-1)$
$g(r) = N 1/(2 i) (- sqrt(8 \pi/3)) r e^-(r/(2a))$
allora diventa: $\Psi = g(r) (Y_1^1 + Y_1^-1)$
da qui vedo che è $l=1$ e che m è solo $1,-1$
quindi
$P(m=0) = 0$
$P(m=1)= (|c_1^1|^2)/( |c_1^1|^2 + |c_1^-1|^2 ) = 1/2 $
$P(m=1)= (|c_1^-1|^2)/( |c_1^1|^2 + |c_1^-1|^2 ) = 1/2 $
pensavo fosse un procedimento ''standard'' questo
quindi a parte N (che è l'unica che mi ha fatto perdere un pò di tempo..) :
$\Psi = N r sin \theta sin \phi e^-(r/(2a))$
so che:
$Y_1^1 = - sqrt(3/(8 \pi)) sin \theta e^(i \phi)$
$Y_1^-1 = sqrt(3/(8 \pi)) sin \theta e^(-i \phi)$
mettendo dentro viene:
$\Psi = N r sin \theta sin \phi e^-(r/(2a)) = 1/(2 i) N r e^-(r/(2a)) (- sqrt(8 \pi/3)) (Y_1^1 + Y_1^-1)$
$g(r) = N 1/(2 i) (- sqrt(8 \pi/3)) r e^-(r/(2a))$
allora diventa: $\Psi = g(r) (Y_1^1 + Y_1^-1)$
da qui vedo che è $l=1$ e che m è solo $1,-1$
quindi
$P(m=0) = 0$
$P(m=1)= (|c_1^1|^2)/( |c_1^1|^2 + |c_1^-1|^2 ) = 1/2 $
$P(m=1)= (|c_1^-1|^2)/( |c_1^1|^2 + |c_1^-1|^2 ) = 1/2 $
pensavo fosse un procedimento ''standard'' questo
mi sembra corretto
Invece per $P(L^2 = 2 h^2) = 1$
se volessi trovare i valori dell'energia come dovrei fare? So che: $H \Psi = E \Psi$ ma non so quale sia la sua hamiltoniana ...
se volessi trovare i valori dell'energia come dovrei fare? So che: $H \Psi = E \Psi$ ma non so quale sia la sua hamiltoniana ...
esatto, non puoi dire nulla sullo spettro dell'hamiltoniana senza conoscerne la forma.
e se fosse un atomo di idrogeno? l'operatore hamiltoniano è questo: http://it.wikipedia.org/wiki/Atomo_di_i ... i_idrogeno
puoi riconoscere che la componente radiale è proprio una di quelle giuste per $l=1$ (nella stessa pagina di wikipedia). Quindi non è difficile scrivere $\Psi$ come combinazione di due autostati dell'hamiltoniana.
e' la $ R_(21) (r) $ , le energie devo vederle nello ''spettro energetico''?
esatto, l'energia è $E_n = - \frac{E_0}{n^2} = - \text{ 13.6 eV} \frac{1}{n^2}$
quindi essendo $l = 0,...,n-1$ trovo che $n=2$ infine: $E_2 = - 13,6 eV 1/(2)^2$ ?
yes
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
