Prob 5-35 del rosati
chiedo aiuto per l'ultimopunto dell'esercizio che non concorda con il risultato del testo.
Grazie
ecco per chiarezza tutto l'esercizio
Grazie
ecco per chiarezza tutto l'esercizio
Risposte
Quando trovo queste discrepanze con i risultati di un testo tanto noto, io mi preoccupo sempre, perché penso che il libro ha ragione e che sono invece io talmente arrugginito da non riuscire più a ragionare in termini fisici.
Ciò premesso, sull'ultimo punto non posso che essere d'accordo con te. E se sbaglio, allora stiamo sbagliando in due, e la cosa parzialmente mi conforta.
Il mio ragionamento è il seguente.
Siccome il gradino può comunicare alla slitta triangolare solo forze da sinistra a destra, la quantità di moto può solo aumentare verso destra, finché i due oggetti restano a contatto, e non può mai diminuire; quando la slitta si distacca la quantità di moto rimane costante. Detto ciò l'istante nel quale la quantità di moto globale è maggiore si ha quando il corpo piccolo tocca la molla, perché in quell'istante ha la velocità massima, dunque la quantità di moto è quella che dici tu.
La molla non entra minimamente in questo calcolo (se non solo con la sua lunghezza a riposo che determina l'altezza in cui il corpo la tocca).
Dunque o abbiamo sbagliato in due (possibilissimo) oppure sbaglia il Rosati (possibile???)
Mi piacerebbe sentire il parere di qualcun altro.
Ciò premesso, sull'ultimo punto non posso che essere d'accordo con te. E se sbaglio, allora stiamo sbagliando in due, e la cosa parzialmente mi conforta.
Il mio ragionamento è il seguente.
Siccome il gradino può comunicare alla slitta triangolare solo forze da sinistra a destra, la quantità di moto può solo aumentare verso destra, finché i due oggetti restano a contatto, e non può mai diminuire; quando la slitta si distacca la quantità di moto rimane costante. Detto ciò l'istante nel quale la quantità di moto globale è maggiore si ha quando il corpo piccolo tocca la molla, perché in quell'istante ha la velocità massima, dunque la quantità di moto è quella che dici tu.
La molla non entra minimamente in questo calcolo (se non solo con la sua lunghezza a riposo che determina l'altezza in cui il corpo la tocca).
Dunque o abbiamo sbagliato in due (possibilissimo) oppure sbaglia il Rosati (possibile???)
Mi piacerebbe sentire il parere di qualcun altro.
Il Rosati era notorio 30 anni fa per avere i risultati scorretti. Se abbiano fatto un errata corrige, non lo so, ma non sembra.
Il primo termine sotto radice della soluzione del Rosati e' l'impuslo relativo al tratto in cui il corpo scende libero (l'ho calcolato e corrisponde). Mi aspetto che il secondo termine sia l'impulso durante il tratto di compressione della molla (che pero' non ho svolto). Quindi direi (tirando a indovinare, mi riservo di confermare quando svolgero i calcoli per la parte di compressione) che si tratta di una somma di radici piuttosto che di una radice di 2 somme (errore tipografico).
Falco, perche dici che la molla non entra in gioco? L'impulso in quella fase dipende dal tempo di compressione della molla, che a sua volta dipendera' da k???
Il primo termine sotto radice della soluzione del Rosati e' l'impuslo relativo al tratto in cui il corpo scende libero (l'ho calcolato e corrisponde). Mi aspetto che il secondo termine sia l'impulso durante il tratto di compressione della molla (che pero' non ho svolto). Quindi direi (tirando a indovinare, mi riservo di confermare quando svolgero i calcoli per la parte di compressione) che si tratta di una somma di radici piuttosto che di una radice di 2 somme (errore tipografico).
Falco, perche dici che la molla non entra in gioco? L'impulso in quella fase dipende dal tempo di compressione della molla, che a sua volta dipendera' da k???
Senti prof. io sono trooooppo arrugginito, e non scommetterei un centesimo sulle mie attuali deduzioni.
Ti dico però quello che ho pensato e tu mi dirai dove sbaglio.
Quando il corpo scende acquista velocità mentre le slitta è ferma. In tale fase il gradino comunica alla slitta una forza da sinistra a destra in modo da accelerare il CM globale verso destra.
Il massimo della quantità di moto il corpo lo raggiunge quando arriva appena a toccare l'estremo della molla, e la slitta è ancora ferma.
A questo punto il corpo inizierebbe a comprimere la molla, ma così facendo rallenterebbe, e dunque la quantità di moto dell'intero sistema (slitta + corpo) dovrebbe diminuire.
Però per diminuire la quantità di moto il gradino dovrebbe fornire una forza negativa, cioè da destra verso sinistra, cosa che non è in grado di fare. Allora a questo punto succede che la slitta si stacca dal gradino, e quindi il sistema non ricevendo più alcuna forza esterna mantiene la sua quantità di moto per il resto della compressione della molla. Dunque la quantità di moto massima, cioè l'impulso massimo, rimane costante non appena il corpo tocca soltanto l'estremo della molla, senza fare in tempo a comprimerla. Per questo dico che il risultato trovato da chi ha proposto il thread mi pare giusto, e la molla con la sua costante non entra nel merito del calcolo dell'impulso massimo.
Che mi dici?
Ti dico però quello che ho pensato e tu mi dirai dove sbaglio.
Quando il corpo scende acquista velocità mentre le slitta è ferma. In tale fase il gradino comunica alla slitta una forza da sinistra a destra in modo da accelerare il CM globale verso destra.
Il massimo della quantità di moto il corpo lo raggiunge quando arriva appena a toccare l'estremo della molla, e la slitta è ancora ferma.
A questo punto il corpo inizierebbe a comprimere la molla, ma così facendo rallenterebbe, e dunque la quantità di moto dell'intero sistema (slitta + corpo) dovrebbe diminuire.
Però per diminuire la quantità di moto il gradino dovrebbe fornire una forza negativa, cioè da destra verso sinistra, cosa che non è in grado di fare. Allora a questo punto succede che la slitta si stacca dal gradino, e quindi il sistema non ricevendo più alcuna forza esterna mantiene la sua quantità di moto per il resto della compressione della molla. Dunque la quantità di moto massima, cioè l'impulso massimo, rimane costante non appena il corpo tocca soltanto l'estremo della molla, senza fare in tempo a comprimerla. Per questo dico che il risultato trovato da chi ha proposto il thread mi pare giusto, e la molla con la sua costante non entra nel merito del calcolo dell'impulso massimo.
Che mi dici?
Aggiungo però che se uno calcola la quantità di moto a molla compressa lo può anche fare però trova lo stesso risultato. Non a caso infatti il risultato numerico della soluzione (7,3) coincide con quello trovato da zorrok. Come complicarsi la vita facendo calcoli inutili, insomma.
La notte porta consiglio: ho capito il mio errore.
Il corpo (e quindi il CM complessivo) non raggiunge la massima velocità quando tocca la molla, ma quando questa gli comunica una forza frenante pari alla forza di gravità. Dunque rispetto al punto nel quale il corpo tocca l'estremità della molla, il corpo scende di una ulteriore quantità h, tale per cui 2kh=mg. Dunque per questo ulteriore tratto h il blocco aumenta ancora la propria velocità, e di conseguenza l'intero sistema aumenta la propria quantità di moto. Quando questa velocità raggiunge il massimo dopo aver disceso questo ulteriore tratto h, allora il blocco si stacca dal gradino e la P non cresce più. Poi la molla continua ancora a comprimersi, ma questo avviene a parità di quantità di moto. Dunque la k della molla entra nel gioco.
Il corpo (e quindi il CM complessivo) non raggiunge la massima velocità quando tocca la molla, ma quando questa gli comunica una forza frenante pari alla forza di gravità. Dunque rispetto al punto nel quale il corpo tocca l'estremità della molla, il corpo scende di una ulteriore quantità h, tale per cui 2kh=mg. Dunque per questo ulteriore tratto h il blocco aumenta ancora la propria velocità, e di conseguenza l'intero sistema aumenta la propria quantità di moto. Quando questa velocità raggiunge il massimo dopo aver disceso questo ulteriore tratto h, allora il blocco si stacca dal gradino e la P non cresce più. Poi la molla continua ancora a comprimersi, ma questo avviene a parità di quantità di moto. Dunque la k della molla entra nel gioco.
Infatti. Mi hai preceduto.
Io la vedo in questa maniera alternativa:
Considero 2 intervalli di tempo:
$0-t_1$ Intervallo relativo all discesa libera del blocchetto. In questo intervallo di tempo, la reazione del dente e' costante e pari $mgsin\thetacos\theta$.
L'impulso e' pertanto:
$I_1= int_(0)^(t_1) mgcosthetasintheta dt $
Risolto, questo integrale ti da il primo termine sotto radice della soluzione del libro.
Il blocco prosegue la sua corsa e comincia a comprimere la molla. La forza F del dente ora e' funzione della posizione del blocco:
$F = mgcosthetasintheta-k(x-l_0)$
da qui si ricava la $x_m$ alla quale la forza F si annulla. In questo intervallo di tempo $t_1-t_2$, l'impulso e' dunque
$I_2= int_(t_1)^(t_2) (mgcosthetasintheta+kl_0) dt-int_(t_1)^(t_2) kxdt $
L'impulso e' la somma $I_1+I_2$
Tutta la difficolta sta a calcolare gli intervalli di tempo, cosa che lascio fare a Zorrok.
In qualsiasi caso, la soluzione letterale del Rosati mi sembra a naso errata, perche', come ho scritto nel post precedente,
$I_1$ e $I_2$ sono la somma di 2 radici.
Io la vedo in questa maniera alternativa:
Considero 2 intervalli di tempo:
$0-t_1$ Intervallo relativo all discesa libera del blocchetto. In questo intervallo di tempo, la reazione del dente e' costante e pari $mgsin\thetacos\theta$.
L'impulso e' pertanto:
$I_1= int_(0)^(t_1) mgcosthetasintheta dt $
Risolto, questo integrale ti da il primo termine sotto radice della soluzione del libro.
Il blocco prosegue la sua corsa e comincia a comprimere la molla. La forza F del dente ora e' funzione della posizione del blocco:
$F = mgcosthetasintheta-k(x-l_0)$
da qui si ricava la $x_m$ alla quale la forza F si annulla. In questo intervallo di tempo $t_1-t_2$, l'impulso e' dunque
$I_2= int_(t_1)^(t_2) (mgcosthetasintheta+kl_0) dt-int_(t_1)^(t_2) kxdt $
L'impulso e' la somma $I_1+I_2$
Tutta la difficolta sta a calcolare gli intervalli di tempo, cosa che lascio fare a Zorrok.
In qualsiasi caso, la soluzione letterale del Rosati mi sembra a naso errata, perche', come ho scritto nel post precedente,
$I_1$ e $I_2$ sono la somma di 2 radici.
Un'ulteriore aggiunta di chiarimento: la $x_m$ menzionata sopra che identifica il $t_2$ non e' la compressione massima della molla: in $x_m$ il blocchetto possiede (in generale) velocita' non nulla. E' il punto in cui la forza F si annulla. Da quel punto in poi il blocco si distacca dal dente.
Sì, ad ogni modo credo che sia più semplice considerare la quantità di moto finale del sistema piuttosto che integrare le forze nei due tempi, visto che la P è già di per sé l'integrale cercato.
Comunque constato che sono davvero arrugginito, ho preso un abbaglio. Però mi sono ravveduto, e questo un po' consola.
Comunque constato che sono davvero arrugginito, ho preso un abbaglio. Però mi sono ravveduto, e questo un po' consola.
Sto vedendo anch'io questo problema. Non dire che sei troppo arrugginito Falco5x, io ti trovo in ottima forma! 
Anch'io ho dubbi simili a quelli da te avuti.
Per quanto mi riguarda io anzi ancora ne ho di dubbi, anche perché secondo me l'ultima domanda non è tanto ben posta.
Che vuol dire "la compressione della molla e, corrispondentemente, l'impulso $I$ trasmesso da blocco al gradino.."
Quel "corrispondentemente" non lo capisco tanto: quando la molla è completamente compressa, blocco e corpo procedono insieme quindi in quel momento il gradino non trasmette alcun impulso.... Dato che la molla agisce in maniera graduale si sarebbe dovuto dire bene da che momento a che momento si vuole calcolare l'impulso trasmesso, perché non c'è alcun impulso da calcolare al momento in cui la molla raggiunge la massima compressione...
Si sarebbe forse dovuto chiedere di calcolare l'impulso complessivo trasmesso al gradino dal momento in cui il corpo inizia a scendere al momento in cui la molla raggiunge la massima compressione.
Io leggendo il testo non sono sicuro di quello che si chiede ancora, forse si vuole l'impulso trasmesso tra i due momenti in cui si ottiene il massimo impulso fornito dal gradino, che coincide con la soluzione che alla fine hai in mente tu. Ma non ne sono sicuro.
A parte possibili errori nella soluzione il testo è davvero pessimo, secondo me.
@zorrock
Dovresti iniziare a scrivere il testo usando gli strumenti del forum, e non ad allegare le tue risposte sotto forma di immagini, le immagini andrebbero usate solo quando serve davvero.
Anch'io ho dubbi simili a quelli da te avuti.
Per quanto mi riguarda io anzi ancora ne ho di dubbi, anche perché secondo me l'ultima domanda non è tanto ben posta.
Che vuol dire "la compressione della molla e, corrispondentemente, l'impulso $I$ trasmesso da blocco al gradino.."
Quel "corrispondentemente" non lo capisco tanto: quando la molla è completamente compressa, blocco e corpo procedono insieme quindi in quel momento il gradino non trasmette alcun impulso.... Dato che la molla agisce in maniera graduale si sarebbe dovuto dire bene da che momento a che momento si vuole calcolare l'impulso trasmesso, perché non c'è alcun impulso da calcolare al momento in cui la molla raggiunge la massima compressione...
Si sarebbe forse dovuto chiedere di calcolare l'impulso complessivo trasmesso al gradino dal momento in cui il corpo inizia a scendere al momento in cui la molla raggiunge la massima compressione.
Io leggendo il testo non sono sicuro di quello che si chiede ancora, forse si vuole l'impulso trasmesso tra i due momenti in cui si ottiene il massimo impulso fornito dal gradino, che coincide con la soluzione che alla fine hai in mente tu. Ma non ne sono sicuro.
A parte possibili errori nella soluzione il testo è davvero pessimo, secondo me.
@zorrock
Dovresti iniziare a scrivere il testo usando gli strumenti del forum, e non ad allegare le tue risposte sotto forma di immagini, le immagini andrebbero usate solo quando serve davvero.
Troppo buono Faussone... 
Ad ogni modo l'ambiguità dei testi dei problemi fa arrabbiare anche me. Ma dico io, come può un professore pretendere di valutare la prestazione di uno studente se lui stesso non è capace di essere chiaro e privo di ambiguità quando formula le domande? Se i professori venissero a loro volta valutati su questa base, penso che molti verrebbero bocciati.
Ad ogni modo l'ambiguità dei testi dei problemi fa arrabbiare anche me. Ma dico io, come può un professore pretendere di valutare la prestazione di uno studente se lui stesso non è capace di essere chiaro e privo di ambiguità quando formula le domande? Se i professori venissero a loro volta valutati su questa base, penso che molti verrebbero bocciati.
Eh, non so quanti anni hai, ma all'inizio quando ho ripreso in mano anche io faticavo parecchio, per mancanza di esercizio!
Comunqe mi sa chen non scampi, non puoi farlo piu' semplice: la parte dove la molla si comprime fino a $x_m$ te la devi sudare, non riesco a vedere modo alternativo, cosi, a mente.
Comunqe mi sa chen non scampi, non puoi farlo piu' semplice: la parte dove la molla si comprime fino a $x_m$ te la devi sudare, non riesco a vedere modo alternativo, cosi, a mente.
"professorkappa":
Eh, non so quanti anni hai, ma all'inizio quando ho ripreso in mano anche io faticavo parecchio, per mancanza di esercizio!
Mah, all'anagrafe insistono a dire 63 suonati, ma secondo me si sbagliano, ne sento molti meno, ruggine a parte...
La mia idea di svolgimento si basa sul calcolo della velocità massima del corpo utilizzando potenziale ed energia.
Infatti fino al raggiungimeno della velocità massima la quantità di moto cresce, dunque la slitta riceve una forza dal gradini. Poi quando la velocità del corpo tende a diminuire la slitta si stacca dal gradino e quindi l'impulso cessa.
Dunque tutto sta a trovare la velocità massima, cioè la differenza di energia potenziale massima.
Suddividiamo il tratto secondo due altezze:
[tex]{h_1}[/tex] è l'altezza di caduta libera, cioè finché il corpo arriva a toccare la molla.
[tex]{h_2}[/tex] è la altezza durante la cui percorrenza il corpo comprime la molla fino a raggiungere la velocità massima. E la velocità sarà massima quando la reazione della molla uguaglierà la componente della forza di gravità parallela al piano.
Chiamo [tex]\Delta l[/tex] la lunghezza di compressione della molla quando le due forze suddette si eguagliano.
Si ha allora:
[tex]\displaystyle \begin{array}{l}
{h_1} = \left( {h - lsen\theta } \right) \\
k\Delta l = mgsen\theta \\
\Delta l = \frac{{mgsen\theta }}{k} \\
{h_2} = \Delta lsen\theta = \frac{{mg}}{k}se{n^2}\theta \\
\end{array}[/tex]
La variazione di energia potenziale è:
[tex]\displaystyle \begin{array}{l}
\Delta U = {h_1}mg + {h_2}mg - \frac{1}{2}k\Delta {l^2} = \left( {h - lsen\theta } \right)mg + \frac{{{m^2}{g^2}}}{k}se{n^2}\theta - \frac{1}{2}k\frac{{{m^2}{g^2}se{n^2}\theta }}{{{k^2}}} = \\
= mg\left( {h - lsen\theta + \frac{{mg}}{k}se{n^2}\theta - \frac{1}{2}\frac{{mg}}{k}se{n^2}\theta } \right) \\
= mg\left( {h - lsen\theta + \frac{1}{2}\frac{{mg}}{k}se{n^2}\theta } \right) \\
\end{array}[/tex]
da cui si deduce la velocità massima:
[tex]\displaystyle v = \sqrt {\frac{{2\Delta U}}{m}} = \sqrt {2g\left( {h - lsen\theta + \frac{1}{2}\frac{{mg}}{k}se{n^2}\theta } \right)}[/tex]
Per calcolare l'impulso occorre prendere la componente orizzontale di detta velocità: [tex]{v_x} = v\cos \theta[/tex]
Dunque si ha:
[tex]\displaystyle I = m{v_x} = m\sqrt {2g\left( {h - lsen\theta + \frac{1}{2}\frac{{mg}}{k}se{n^2}\theta } \right)} \cos \theta[/tex]
che se non sbaglio è esattamente il risultato riportato nel Rosati!
Mettendo i numeri esce il solito [tex]\displaystyle I \simeq 7,3[/tex], perché il problema impone una costante k enormemente grande in rapporto alle masse in gioco, dunque tutte le finezze di calcolo relative alla molla vanno a farsi friggere.
OK
finalmente l'abbiamo "sgamato"...diavolo di un Rosati!
stavo percorrendo la tua stessa strada ma facendo un errore nello scrivere la conservaz. dell'energia.
GRAZIE TANTO
finalmente l'abbiamo "sgamato"...diavolo di un Rosati!
stavo percorrendo la tua stessa strada ma facendo un errore nello scrivere la conservaz. dell'energia.
GRAZIE TANTO
@Falco5x
L'avevo detto che sei in splendida forma...
Nonostante il pessimo testo ne sei venuto a capo alla fine (il fatto che sia pessimo è confermato pure dal fatto che per la molla si è preso un $k$ talmente grande da far tornare il risultato numerico persino considerando la molla praticamente rigida)!
L'avevo detto che sei in splendida forma...
Nonostante il pessimo testo ne sei venuto a capo alla fine (il fatto che sia pessimo è confermato pure dal fatto che per la molla si è preso un $k$ talmente grande da far tornare il risultato numerico persino considerando la molla praticamente rigida)!
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