Principio di sovrapposizione per il campo magnetico
Buonasera,
ho qualche difficoltà con il seguente problema:
Un filo conduttore ha la forma indicata in figura, in cui la distanza $d = 50\ "cm"$ fra i due fili paralleli corrisponde al diametro della semicirconferenza che li raccorda. La lunghezza del conduttore è $L ">>" d$.
Il filo è percorso da una corrente continua di intensità $I_"filo" = 2\ "A"$. Calcolare l'espressione del campo magnetico, in modulo e direzione, nel centro $"C"$ della semicirconferenza e nel punto $"P"$.
In accordo col principio di sovrapposizione, è possibile individuare le seguenti componenti aventi tutte verso entrante e direzione parallela all'asse della semicirconferenza:
$B_("filo"_i) = (\mu_0i)/(2\piR)$;
$B_"semicirc" = 1/2(\mu_0i)/(2R)$;
da cui $B(c) = 2B_"filo" + B_"semicirc" = (\mu_0i)/(4\piR)(4+\pi)$, giusto?
Ho invece difficoltà a valutare il contributo della semicirconferenza nel punto $P$ (nullo?).
Grazie in anticipo!
ho qualche difficoltà con il seguente problema:
Un filo conduttore ha la forma indicata in figura, in cui la distanza $d = 50\ "cm"$ fra i due fili paralleli corrisponde al diametro della semicirconferenza che li raccorda. La lunghezza del conduttore è $L ">>" d$.
Il filo è percorso da una corrente continua di intensità $I_"filo" = 2\ "A"$. Calcolare l'espressione del campo magnetico, in modulo e direzione, nel centro $"C"$ della semicirconferenza e nel punto $"P"$.
In accordo col principio di sovrapposizione, è possibile individuare le seguenti componenti aventi tutte verso entrante e direzione parallela all'asse della semicirconferenza:
$B_("filo"_i) = (\mu_0i)/(2\piR)$;
$B_"semicirc" = 1/2(\mu_0i)/(2R)$;
da cui $B(c) = 2B_"filo" + B_"semicirc" = (\mu_0i)/(4\piR)(4+\pi)$, giusto?
Ho invece difficoltà a valutare il contributo della semicirconferenza nel punto $P$ (nullo?).
Grazie in anticipo!
Risposte
"RP-1":
... da cui
$B(c) = 2B_"filo" + B_"semicirc" = (\mu_0i)/(4\piR)(4+\pi)$, giusto?
No, così come hai considerato il contributo di mezza spira così andrà considerato il contibuto di due mezzi fili infiniti
$B(c) = 2B_"semifilo" + B_"semicirc" = (\mu_0i)/(4\piR)(2+\pi)$,
"RP-1":
... Ho invece difficoltà a valutare il contributo della semicirconferenza nel punto $P$ (nullo?)
Sì, vista la distanza del punto P dal centro della spira.
"RenzoDF":
andrà considerato il contibuto di due mezzi fili infiniti
$B(c) = 2B_"semifilo" + B_"semicirc" = (\mu_0i)/(4\piR)(2+\pi)$,
Quindi il campo magnetico generato da un filo indefinito in un suo estremo (lo so, sembra controverso, ma credo ci siamo capiti) è pari a $1/2B_"filo"$?
Per quanto invece riguarda il punto $P$, si avrà, in base a quanto determinato relativamente all'influenza della semicirconferenza, $B = 2(\mu_0i)/(2\piR)$ essendo che $L">>"d$ e pertanto anche la parte sinistra può essere considerata si estenda ad infinito.
"RP-1":
... Quindi il campo magnetico generato da un filo indefinito in un suo estremo (lo so, sembra controverso, ma credo ci siamo capiti) è pari a $1/2B_"filo"$?
Diciamo da mezzo filo infinito, in un suo estremo, mi piace di più, anche se i fili infiniti non esistono
. "RP-1":
...Per quanto invece riguarda il punto $P$, si avrà, in base a quanto determinato relativamente all'influenza della semicirconferenza, $B = 2(\mu_0i)/(2\piR)$ essendo che $L">>"d$ e pertanto anche la parte sinistra può essere considerata si estenda ad infinito.
Non capisco la domanda [nota]Ne come valore, ne per quella sua "estensione infinita a sinistra".[/nota]; diciamo che essendo la semispira un circuito limitato, il campo magnetico generato, ad una distanza più di un ordine di grandezza superiore al suo raggio, può essere ritenuto di intensità trascurabile, ... e non potresti fare altrimenti, visto che non ti viene specificato quanto sia il rapporto \(L/d\) (ovviamente \(R=d/2\)).
"RenzoDF":
Non capisco la domanda
Più che una domanda voleva semplicemente essere una giustificazione del risultato proposto. Ad ogni modo, nel caso in cui conoscessi la distanza, e questa fosse tale da non poter trascurare il contributo della spira, come bisognerebbe procedere?
"RP-1":
... Più che una domanda voleva semplicemente essere una giustificazione del risultato proposto.
Hai ragione, e allora non capisco la giustificazione.
"RP-1":
... nel caso in cui conoscessi la distanza, e questa fosse tale da non poter trascurare il contributo della spira, come bisognerebbe procedere?
Sarebbe un bel problema, in quanto dovresti applicare la prima legge elementare di Laplace al fine di determinare il contributo, dei due segmenti e della semicirconferenza alla sinistra sinistra di P (linea $\gamma$)
$$\vec B=\frac{\mu_0 i}{4 \pi}\int_{\gamma}^{ } \frac{\vec{\text{d}s} \times \hat{u}_r}{r^2}$$
chiaramente, sempre andando a considerare anche i due tratti semi-infiniti a destra di P.
Ti ringrazio.
Oggi, nella prova d'esame, mi è capitato proprio questa tipologia di esercizio, con la differenza che la semicirconferenza formava un angolo di $\pi/2$ con i fili (in sostanza i fili erano nel piano $xy$ e il raccordo nel piano $yz$, con il centro sull'asse $y$). Ho quindi applicato lo stesso procedimento, calcolando però la somma dei due contributi, tra loro ortogonali, con il teorema di pitagora. Ti trovi?
Oggi, nella prova d'esame, mi è capitato proprio questa tipologia di esercizio, con la differenza che la semicirconferenza formava un angolo di $\pi/2$ con i fili (in sostanza i fili erano nel piano $xy$ e il raccordo nel piano $yz$, con il centro sull'asse $y$). Ho quindi applicato lo stesso procedimento, calcolando però la somma dei due contributi, tra loro ortogonali, con il teorema di pitagora. Ti trovi?
Puoi postare una immagine della geometria?
La curva di raccordo va chiaramente intesa come una semicirconferenza, il cui centro O coincide con l'origine degli assi. Il contributo relativo alla semicirconferenza dovrebbe essere diretto lungo l'asse $x$ negativamente (entrante), mentre quello relativo ai fili lungo l'asse $z$ sempre negativamente, entrambi dovrebbero avere lo stesso valore discusso nei precedenti post. Essendo tra loro ortogonali, la risultante andrebbe calcolata come $sqrt(B_"fil"i^2+B_"semicirc"^2)$. Ti trovi?
Scusa ma con quel disegno non capivo; un po' di prospettiva potevi anche darla no? 
Comunque ok
... manca il verso della corrente.
Comunque ok
... manca il verso della corrente.
I disegni non sono il mio forte, grave lacuna, lo so 
.
Ad ogni modo l'importante è che sia chiaro che il circuito forma un gomito nei punti di raccordo, con la semicirconferenza posta nel piano $yz$ e i fili nel piano $xy$.
La corrente entra dal filo di sinistra ed esce ovviamente da quello di destra.
.Ad ogni modo l'importante è che sia chiaro che il circuito forma un gomito nei punti di raccordo, con la semicirconferenza posta nel piano $yz$ e i fili nel piano $xy$.
La corrente entra dal filo di sinistra ed esce ovviamente da quello di destra.
Ok
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