Principio di azione e reazione
Una pallina assimilabile ad un punto materiale di massa m= 200 gr è lanciata nel vuoto da un'altezza h=1m con velocità pari a 0,2m/s con angolo pari a 30°. Quando giunge al suolo, rimbalza perdendo 1/4 della propria energia cinetica, ma conservando la componente lungo il piano orizzontale. Determinare la direzione, il modulo e il verso della forza impressa al punto materiale dal suolo durante il primo rimbalzo, sapendo che l ' interazione fra il suolo e la pallina dura 1 ms.
Quando la pallina riparte avrà una velocità che forma un angolo con il suolo, la forza impressa dal suolo avrà direzione perpendicolare al suolo, cioè è la forza normale ? Essendo un urto anelastico in che modo possiamo applicare il terzo principio di azione e reazione ? Avevo pensato di fare nel seguente modo : dall'energia cinetica iniziale all'atto dell'impatto ho ricato il modulo della velocità iniziale con cui riparte, ho calcolato la variazione della quantità di moto che divisa per il tempo mi da la forza che agisce sul corpo, è questa la forza che il suolo esercita sul corpo ?
Quando la pallina riparte avrà una velocità che forma un angolo con il suolo, la forza impressa dal suolo avrà direzione perpendicolare al suolo, cioè è la forza normale ? Essendo un urto anelastico in che modo possiamo applicare il terzo principio di azione e reazione ? Avevo pensato di fare nel seguente modo : dall'energia cinetica iniziale all'atto dell'impatto ho ricato il modulo della velocità iniziale con cui riparte, ho calcolato la variazione della quantità di moto che divisa per il tempo mi da la forza che agisce sul corpo, è questa la forza che il suolo esercita sul corpo ?
Risposte
io farei cosi.
l'equazione fondamentale della dinamica è $m (dv)/(dt) = F + phi$ dove $phi$ sono le reazioni vincolari
moltiplicando scalarmente per lo spostamento elementare $dx=vdt$ si ottiene $m (dv)/(dt) = F*v dt$ e poichè per definizione il lavoro elementare è $dL=F*dx = F*v dt$ e essendo l'energia cinetica $T=1/2 m v^2 = 1/2 m vec(v)*vec(v)$ si vede subito che $d/(dt) T = m (dv)/(dt) v$
quindi hai $dT = dL$ ossia un lavoro elementare corrisponde ad una variazione dell'energia cinetica e viceversa.
nell'urto la pallina perde 1/4 della sua energia cinetica, quindi integrando hai $Delta T = int_(t_0)^(t_2) m (dv)/(dt) v dt = -1/4 T_0$ dove T_0 è l'energia cinetica iniziale. quindi essendo $int_(t_0)^(t_2) m (dv)/(dt) v dt = int_(t_0)^(t_2) dL = int_(t_0)^(t_2) F dt$ puoi concludere che la pallina esercita una forza sul suolo pari a (considerando F costante) $F = -T_0/(4*(t_1-t_0))$ e quindi per il principio di azione reazione la forza del suolo sulla pallina è $F' = -F$
inoltre puoi dire che è normale al suolo inquanto la componente tangenziale della velocità non subisce discontinuità e quindi non c'è una componente tangenziale della forza.
per la direzione basta che tieni conto che l'angolo tra la velocità finale e il suolo è $theta = arctan(V_y/V_x)$ e che V_x non subisce discontinuità mentre v_y si.
la componente V_y la puoi ricavare considerando che $T_f = 3/4 T_0$ e $sqrt(V_y^2 + v_x^2) = V_f$
l'equazione fondamentale della dinamica è $m (dv)/(dt) = F + phi$ dove $phi$ sono le reazioni vincolari
moltiplicando scalarmente per lo spostamento elementare $dx=vdt$ si ottiene $m (dv)/(dt) = F*v dt$ e poichè per definizione il lavoro elementare è $dL=F*dx = F*v dt$ e essendo l'energia cinetica $T=1/2 m v^2 = 1/2 m vec(v)*vec(v)$ si vede subito che $d/(dt) T = m (dv)/(dt) v$
quindi hai $dT = dL$ ossia un lavoro elementare corrisponde ad una variazione dell'energia cinetica e viceversa.
nell'urto la pallina perde 1/4 della sua energia cinetica, quindi integrando hai $Delta T = int_(t_0)^(t_2) m (dv)/(dt) v dt = -1/4 T_0$ dove T_0 è l'energia cinetica iniziale. quindi essendo $int_(t_0)^(t_2) m (dv)/(dt) v dt = int_(t_0)^(t_2) dL = int_(t_0)^(t_2) F dt$ puoi concludere che la pallina esercita una forza sul suolo pari a (considerando F costante) $F = -T_0/(4*(t_1-t_0))$ e quindi per il principio di azione reazione la forza del suolo sulla pallina è $F' = -F$
inoltre puoi dire che è normale al suolo inquanto la componente tangenziale della velocità non subisce discontinuità e quindi non c'è una componente tangenziale della forza.
per la direzione basta che tieni conto che l'angolo tra la velocità finale e il suolo è $theta = arctan(V_y/V_x)$ e che V_x non subisce discontinuità mentre v_y si.
la componente V_y la puoi ricavare considerando che $T_f = 3/4 T_0$ e $sqrt(V_y^2 + v_x^2) = V_f$
ma c'è differenza tra la direzione della velocità e la direzione della forza?
in che senso?
mi potresti spiegare meglio perchè è normale ? perchè la componente tangenziale della velocità non è discontinua ?
lo dice il testo, "...rimbalza perdendo 1/4 della propria energia cinetica, ma conservando la componente lungo il piano orizzontale..." immagino che per componente intenda la componente della velocità poichè l'energia cinetica è uno scalare..
quindi quella che tu hai chiamato componente tangenziale è la componente orizzontale che resta costante , quindi cambia quella normale al suolo , se ho capito bene, ma la forza esercitata dal suolo è la forza normale al piano ? scusami se non capisco
si,
cioè se la velocità lungo lo spazio tangente al suolo resta uguale significa che non c'è stata alcuna accelerazione lungo tale direzione quindi nessuna forza diretta parallela al suolo. quindi in particolare la reazione del suolo non potrà avere componente tangente al suolo quindi sarà normale ad esso
cioè se la velocità lungo lo spazio tangente al suolo resta uguale significa che non c'è stata alcuna accelerazione lungo tale direzione quindi nessuna forza diretta parallela al suolo. quindi in particolare la reazione del suolo non potrà avere componente tangente al suolo quindi sarà normale ad esso
Per trovare il modulo si potrebbe seguire un procedimento più semplice ? ho fatto i calcoli con il mio procedimento ma non mi trovo con il tuo risultato Ad ogni modo grazie.
"cyd":
quindi essendo $int_(t_0)^(t_2) m (dv)/(dt) v dt = int_(t_0)^(t_2) dL = int_(t_0)^(t_2) F dt$ puoi concludere che la pallina esercita una forza sul suolo pari a (considerando F costante) $F = -T_0/(4*(t_1-t_0))$ e quindi per il principio di azione reazione la forza del suolo sulla pallina è $F' = -F$
Scusa ma qua devo proprio intervenire, perché c'è un grosso errore.
Non torna nemmeno dimensionalmente dL=Fdt !!! D'altra parte l'avevi detto anche tu che dL=Fdx, quindi deve essere proprio un errore di distrazione, e porta a risultati del tutto sbagliati (una forza non può essere un'energia diviso un tempo!).
Per calcolare la forza occorre invece fare considerazioni sull'impulso, ovvero la differenza tra la quantità di moto dopo il rimbalzo e la quantità di moto prima del rimbalzo, e dividere questo impulso per il $\Deltat$.
Infatti è ciò che avevo pensato di fare.....in poche parole va bene ? l' impatto con il suolo fa rimbalzare la pallina che riparte non con la stessa energia, ma con un'energia minore e gli imprime una forza pari a quella che abbiamo calcolato tramite l'impulso. A tal punto nel ragionare una cosa non capisco il moto non dovrebbe essere tutto verso l'alto ? qual'è la causa del moto orizzontale che permane, forse la pallina è elastica e parte dell'energia cinetica determina il moto orizzontale ? grazie
"maria60":
Infatti è ciò che avevo pensato di fare.....in poche parole va bene ? l' impatto con il suolo fa rimbalzare la pallina che riparte non con la stessa energia, ma con un'energia minore e gli imprime una forza pari a quella che abbiamo calcolato tramite l'impulso. A tal punto nel ragionare una cosa non capisco il moto non dovrebbe essere tutto verso l'alto ? qual'è la causa del moto orizzontale che permane, forse la pallina è elastica e parte dell'energia cinetica determina il moto orizzontale ? grazie
Il fatto che la velocità orizzontale rimanga inalterata non è certo una cosa così ovvia da dare per scontata. Lo si assume solo perché è esplicitamente detto nel testo dell'esercizio. Cosa significa ciò? significa che il piano di rimbalzo non applica alcuna forza tangenziale, e questo può accadere ad esempio perché è un piano senza attrito. Ma allora come mai l'energia non si conserva? evidentemente l'esercizio assume che la pallina non sia perfettamente elastica, ovvero l'energia che ne determina la compressione al momento dell'impatto non viene tutta restituita al momento del rimbalzo. Insomma una pallina è come una molla che si comprime e poi si rilascia, ma durante questo processo un po' dell'energia va dissipata in calore e la pallina si riscalda.
Se invece il rimbalzo fosse tutto verticale significherebbe che il piano fa attrito e quindi oppone una resistenza al moto tangenziale tale da annullare completamente la quantità di moto in quella direzione. Però non è il caso presentato da questo esercizio.
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