Pressione termodinamica vs Tensore delle tensioni

[ralf86]

Ciao a tutti gli appassionati di scienza!
Vi espongo brevemente il mio quesito:
E' noto che per caratterizzare completamente lo stato di tensione in un mezzo continuo qualunque (solido o liquido o aeriforme, non importa) occorrono 6 quantità, in un certo senso "6 pressioni" da assegnare, ogni sestupla, in ogni punto del continuo (in realtà sarebbe più corretto parlare di tensioni o sforzi, tralascio inoltre altre ipotesi sul materiale). D'altra parte In termodinamica classica si parla spesso di pressione senza specificare bene di quale pressione in realtà si tratti, nei libri di termodinamica teorica la si trova a volte definita ad esempio come una particolare derivata parziale dell'energia interna del materiale.
La definizione corretta di pressione termodinamica è forse quella di "intensità" della componente idrostatica del tensore delle tensioni? (=un terzo dell'opposto della traccia del tensore), che rappresenta in un certo senso "la media aritmetica" delle 6 pressioni che dicevo
Se avete link o riferimenti sull'argomento vi sarei molto grato
grazie

[Faussone]

(Comunque per definire lo stato di tensione basta conoscere le tre tensioni principali, il tensore generico rispetto ad una qualunque terna può essere ricavato da questo.)

In sostanza chiedi perché la pressione termodinamica possa essere identificata come la componente idrostatica dello stato di tensione in un fluido.
La domanda in effetti non è banale e non sono certo di riuscire a dare una risposta esaustiva.

Quello che hai detto è corretto.
In generale rispetto ad una terna principale le tensioni rispetto ad una certa giacitura sono ricavabili dal tensore

$((\sigma_1,0,0),(0,\sigma_2, 0),(0, 0,\sigma_3))$

che può essere dato dalla somma

$((p,0,0),(0,p, 0),(0, 0,p))+((sigma_1-p,0,0),(0,sigma_2-p,0),(0, 0,sigma_3-p))$

con $p=-(sigma_1+sigma_2+sigma_3)/3$.

Se consideriamo una piccola sferetta nel fluido si dimostra che lo stato di tensione corrispondente al primo tensore dà luogo ad una compressione isotropa agente su tutti i punti della sferetta (è chiamato pressione idrostatica), mentre il secondo tende a far cambiare la forma della sfera, ma non ne altera il volume.
Se consideriamo un fluido in quiete (in equilibrio) appare evidente che il secondo stato di tensione non può essere presente, visto che per definizione un fluido non può opporsi a sforzi tangenziali pertanto un fluido in quiete può avere solo uno stato di tensione idrostatica.

In termodinamica si considerano solo stati in cui il fluido (gas vapore o liquido) è in equilibrio, quindi è macroscopicamente in quiete, per cui la pressione termodinamica deve coincidere con la pressione definita in quel modo.
Una possibile contestazione che si può fare a questa trattazione è: perché allora in fluidodinamica (per cui il fluido non è in quiete) quando si parla di pressione, quindi media delle tensioni principali come visto sopra, si identifica questa con la pressione termodinamica (si usa infatti la legge che lega la pressione termodinamica alla temperatura e densità e si considera valida anche per fluido in moto)? Chi garantisce che le due pressioni siano le stesse se il fluido è in moto?
Bene, se deve essere sincero per questo non so darti una risposta che sia rigorosa.

[ralf86]

Ti ringrazio molto!
La mia domanda era piuttosto: come si definisce (calcola) la pressione termodinamica a partire dal tensore delle tensioni?
Per i fluidi in quiete ok.
Ma per i solidi il problema rimane, perchè anche in quiete posso benissimo avere tensioni tangenziali.
Riguardo all'interessante problema di definizione della pressione di un fluido in moto generico, mi hanno insegnato che, almeno in meccanica classica non relativistica, le forze e quindi anche le tensioni in generale sono invarianti al variare del sistema di riferimento anche non inerziale dal quale si guarda. quindi la pressione nei due casi ha lo stesso identico valore. Così mi hanno insegnato ma non l'ho mai trovato formalizzato in alcun libro.

Quindi mi confermate che la pressione termodinamica si calcola con l' opposto di 1/3 della traccia del tensore delle tensioni?

[Faussone]

"ralf86":
Ma per i solidi il problema rimane, perchè anche in quiete posso benissimo avere tensioni tangenziali.

Sì certo, ma per un solido non esiste il concetto di pressione (inteso come pressione dentro al solido) termodinamica, si parla di stato di tensione, e al limite di componente idrostatica della tensione (definita come media delle tensioni principali).

"ralf86":
Riguardo all'interessante problema di definizione della pressione di un fluido in moto generico, mi hanno insegnato che, almeno in meccanica classica non relativistica, le forze e quindi anche le tensioni in generale sono invarianti al variare del sistema di riferimento anche non inerziale dal quale si guarda. quindi la pressione nei due casi ha lo stesso identico valore. Così mi hanno insegnato ma non l'ho mai trovato formalizzato in alcun libro.

Sì, è vero, ma questo non c'entra con quello che dicevo io. Il problema non è che la pressione può cambiare perché il fluido si muove rispetto ad un certo sistema di riferimento ma è in quiete rispetto ad un altro, in quello che dicevo io il fluido non ha una velocità univoca ma ogni particella ha diversa velocità, in questo caso il fluido è sottoposto anche a tensioni tangenziali. La pressione in un un punto del fluido calcolata come media delle tensioni principali coincide sempre con la pressione termodinamica, ma, dicevo, non conosco una giustificazione rigorosa per questo.

"ralf86":
Quindi mi confermate che la pressione termodinamica si calcola con l' opposto di 1/3 della traccia del tensore delle tensioni?

Sì.

[saypen]

Una possibile contestazione che si può fare a questa trattazione è: perché allora in fluidodinamica (per cui il fluido non è in quiete) quando si parla di pressione, quindi media delle tensioni principali come visto sopra, si identifica questa con la pressione termodinamica (si usa infatti la legge che lega la pressione termodinamica alla temperatura e densità e si considera valida anche per fluido in moto)? Chi garantisce che le due pressioni siano le stesse se il fluido è in moto?
Bene, se deve essere sincero per questo non so darti una risposta che sia rigorosa.

In gran parte delle trasformazioni in cui l' equilibrio termodinamico non è raggiunto, ovvero per trasformazioni che non siano quasi-statiche, si assume che l'equilibrio termodinamico sia raggiunto almeno a livello locale. Allora è possibile definire puntualmente la pressione termodinamica. Questa assunzione è ragionevole solamente se i tempi caratteristici di evoluzione del processo macroscopico siano molto maggiori dei tempi impiegati dalla particella fluida per raggiungere condizioni assimilabili all'equilibrio termodinamico, il che è verificato per la maggior parte dei fenomeni studiati in fluidodinamica.