Potenziale vettore

[enrico96l]

Qualcuno per costesia mi può spiegare cosa si intende per potenziale vettore? Non riesco veramente a capirlo e non trovo una spiegazione chiara e coincisa in rete.
In particolare mi interessa l'applicazione per calcolare il Gauge di Coulomb.
Grazie in anticipo!

[mikimastro]

Diciamo che visualizzare fisicamente il concetto di potenziale vettore non è una cosa semplicissima. Ciò su cui è importante soffermarsi è il suo utilizzo matematico per calcolare il campo magnetico in particolari casi complessi in cui esso non può essere calcolato in maniera diretta attraverso le relative equazioni di Maxwell.

Così come il potenziale elettrico V nasce dalla conservatività del campo elettrico nel caso stazionario, il potenziale vettore A nascerà invece dalla solenoidaleità del campo magnetico definita dalla seconda equazione di Maxwell (divB = 0), e sarà definito:

\(\displaystyle rot A = B \)

Che assieme alla equazione fondamentale relativa al potenziale elettrico ( \(\displaystyle \nabla(V) = - E \)), definirà le leggi fondamentali dei potenziali nel caso stazionario.

Per quanto riguarda entrambi i potenziali, si vede che essi posseggono delle particolari proprietà di invarianza per trasformazione, dette trasformazioni di Gauge, dove il potenziale elettrico V sarà invariante a meno di una costante, ovvero

\(\displaystyle V' = V + cost \)

mentre il potenziale vettore A sarà invariante a meno di un gradiente di una generica funzione f, ovvero:

\(\displaystyle A' = A + \nabla(f) \)

(per verificarne la veridicità basta sostituire A' e V' nelle equazione fondamentali e osservare che il risultato non cambierà)

Attraverso delle opportune scelte di tale costante o funzione rispettivamente, ci potremo semplificare notevolmente la vita; e in particolare ci sarà la ,da te citata, scelta di Gauge-Coulomb che consiste nello scegliere una funzione f tale che:

\(\displaystyle div A' = 0 \)

Questa scelta nasce dal fatto che volendo ricavare il campo magnetico attraverso il potenziale vettore, ci servirà sostituire quest'ultimo all'interno della quarta equazione di Maxwell ottenendo in base a delle identità vettoriali:

\(\displaystyle \mu J = rot(B) = rot(rot(A)) = \nabla(div(A)) - \nabla*\nabla(A) \)

Noterai che adoperando la scelta di Gauge-Coulomb la equazione si semplificherà notevolmente portando alla più semplice identità vettoriale:

\(\displaystyle \nabla * \nabla(A) = - \mu J
\)
Per ottenere la funzione f tale che sia verificata la scelta di Gauge-Coulomb e che quindi il la divergenza del potenziale vettore si annulli basterà semplicemente imporre:

\(\displaystyle div A' = div(A + \nabla(f)) = 0 \)

Dove per la linearità dell'operatore divergenza:

\(\displaystyle div(A) + div(\nabla(f)) = div (A) + \nabla*\nabla(f) = 0 \)

Di conseguenza per trovare la f che soddisfi la scelta di Gauge-Coulomb basterà risolvere una equazione differenziale del secondo ordine:

\(\displaystyle \nabla*\nabla(f) = - div(A) \)

[nota]Tutte queste relazioni valgono nel solo caso stazionario, poichè nel caso non stazionario nelle equazioni di Maxwell incominceranno a esserci fattori relativi alle relazioni fra campo elettrico e magnetico che nel caso stazionario invece sono due fenomeni separati[/nota]


Spero di essere stato chiaro per quanto riguarda l'utilità del potenziale vettore e soprattutto della relativa scelta di Gauge-Coulomb, se qualcosa non è chiaro o se hai bisogno di un altra spiegazione fammelo sapere