Potenziale sfera carica uniformemente
Non so se sia l'ora o il caldo , ma non connetto più ! 
Leggendo un esercizio risolto mi sono trovata di fronte ad alcuni passaggi che non riesco a spiegarmi ... mi aiutate a capire ?
Il problema è che si deve calcolare il potenziale all'interno di una sfera carica uniformemente con densità di carica $rho$ e raggio $R$ . Il risultato del libro è diverso dal mio e non capisco perchè .
Inizio calcolando il flusso del campo elettrico attraverso una sfera di raggio $r$ con $r \leq R$
[tex]\Phi (E(r)) = \int_{A} E(r) dA[/tex]
ma essendo il campo costante su tutta la superficie della sfera lo porto fuori dall'integrale e ottengo
[tex]\Phi (E(r)) = E(r) \int_{A} dA =E(r) 4\pi r^{2}[/tex]
Gauss
[tex]\Phi (E(r)) = E(r) 4\pi r^{2} = \frac{Q(r)}{\epsilon_{0}}[/tex] dove $Q(r)$ è la carica totale nella sfera di raggio $r$
$Q(r) = rho \cdot 4/3 pi r^3$
[tex]E(r) = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r}{4\pi \epsilon_{0}} = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r}{4\pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{R^{3}}{R^{3}} = \frac{Q_{Tot}}{4\pi \epsilon_{0} R^{3}} r[/tex]
dove $Q_(Tot)$ è la carica della sfera di raggio $R$ .
Per calcolare il potenziale , calcolo il lavoro per portare una da $r$ ad $oo$
[tex]\theta(r) = \int_{0}^{\infty} E(r')dr' \Rightarrow \theta(r) = \int_{r}^{\infty} \frac{Q_{Tot}}{4\pi \epsilon_{0} R^{3}} r' dr' = \frac{Q_{Tot}}{4\pi \epsilon_{0} R^{3}} \left[\frac{r'^{2}}{2}\right]_{r}^{\infty}[/tex]
Assumendo che il pontenziale ad infinito sia nullo
[tex]\theta(r) = \frac{Q_{Tot}}{8\pi \epsilon_{0} R^{3}} \cdot r^{2}[/tex]
Il libro invece dice
[tex]\theta(r) = \frac{Q_{Tot}}{8\pi \epsilon_{0} R^{3}} \cdot (3R^{2}-r^2)[/tex]
Come è possibile ?
Leggendo un esercizio risolto mi sono trovata di fronte ad alcuni passaggi che non riesco a spiegarmi ... mi aiutate a capire ?
Il problema è che si deve calcolare il potenziale all'interno di una sfera carica uniformemente con densità di carica $rho$ e raggio $R$ . Il risultato del libro è diverso dal mio e non capisco perchè .
Inizio calcolando il flusso del campo elettrico attraverso una sfera di raggio $r$ con $r \leq R$
[tex]\Phi (E(r)) = \int_{A} E(r) dA[/tex]
ma essendo il campo costante su tutta la superficie della sfera lo porto fuori dall'integrale e ottengo
[tex]\Phi (E(r)) = E(r) \int_{A} dA =E(r) 4\pi r^{2}[/tex]
Gauss
[tex]\Phi (E(r)) = E(r) 4\pi r^{2} = \frac{Q(r)}{\epsilon_{0}}[/tex] dove $Q(r)$ è la carica totale nella sfera di raggio $r$
$Q(r) = rho \cdot 4/3 pi r^3$
[tex]E(r) = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r}{4\pi \epsilon_{0}} = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r}{4\pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{R^{3}}{R^{3}} = \frac{Q_{Tot}}{4\pi \epsilon_{0} R^{3}} r[/tex]
dove $Q_(Tot)$ è la carica della sfera di raggio $R$ .
Per calcolare il potenziale , calcolo il lavoro per portare una da $r$ ad $oo$
[tex]\theta(r) = \int_{0}^{\infty} E(r')dr' \Rightarrow \theta(r) = \int_{r}^{\infty} \frac{Q_{Tot}}{4\pi \epsilon_{0} R^{3}} r' dr' = \frac{Q_{Tot}}{4\pi \epsilon_{0} R^{3}} \left[\frac{r'^{2}}{2}\right]_{r}^{\infty}[/tex]
Assumendo che il pontenziale ad infinito sia nullo
[tex]\theta(r) = \frac{Q_{Tot}}{8\pi \epsilon_{0} R^{3}} \cdot r^{2}[/tex]
Il libro invece dice
[tex]\theta(r) = \frac{Q_{Tot}}{8\pi \epsilon_{0} R^{3}} \cdot (3R^{2}-r^2)[/tex]
Come è possibile ?
Risposte
Ciao a tutti
come non detto!
alla fine ho capito da sola dove stavo sbagliando
Il mio errore era nel calcolare il potenziale
l'ho rifatto spezzando l'integrale del potenziale in due parti e usando due differenti formule per il campo elettrico e mi tornato tutto
come non detto!
alla fine ho capito da sola dove stavo sbagliando
Il mio errore era nel calcolare il potenziale
l'ho rifatto spezzando l'integrale del potenziale in due parti e usando due differenti formule per il campo elettrico e mi tornato tutto
Qualcuno può esplicitare la "soluzione" di Nausicaa? Quasi tre anni dopo mi trovo nel suo stesso punto morto... 
"mirko6768":
Qualcuno può esplicitare la "soluzione" di Nausicaa? Quasi tre anni dopo mi trovo nel suo stesso punto morto...
L'integrale del campo lungo il percorso che va da $r$ a $\infty$ va spezzato in due parti: da $r$ a $R$ e da $R$ a $\infty$: per la prima parte il campo è direttamente proporzionale al raggio $r$ in quanto ci troviamo interni alla sfera carica, mentre per la seconda parte è invece inversamente proporzionale a $r^2$ essendo esterni dalla sfera carica; prova a scrivere questa somma.
Grazie mille Renzo!
"mirko6768":
Grazie mille Renzo!
Di nulla.
"Nausicaa":
Ciao a tutti
come non detto!
alla fine ho capito da sola dove stavo sbagliando
Il mio errore era nel calcolare il potenziale
l'ho rifatto spezzando l'integrale del potenziale in due parti e usando due differenti formule per il campo elettrico e mi tornato tutto
Ciao Nausicaa, se ancora frequenti questo forum potresti spiegare come hai risolto? In particolare non mi è chiaro dal passaggio successivo al calcolo di Q(R), cioè da quando si calcola E(R) e si moltiplica per R^3/R^3.
In alternativa qualcun altro del forum che può spiegarmi brevemente questi passaggi? Grazie!
"RenzoDF":
[quote="mirko6768"]Qualcuno può esplicitare la "soluzione" di Nausicaa? Quasi tre anni dopo mi trovo nel suo stesso punto morto...
L'integrale del campo lungo il percorso che va da $r$ a $\infty$ va spezzato in due parti: da $r$ a $R$ e da $R$ a $\infty$: per la prima parte il campo è direttamente proporzionale al raggio $r$ in quanto ci troviamo interni alla sfera carica, mentre per la seconda parte è invece inversamente proporzionale a $r^2$ essendo esterni dalla sfera carica; prova a scrivere questa somma.[/quote]
Ciao Renzo, mi sapresti spiegare i passaggi dal passaggio successivo al calcolo di Q(R), cioè da quando si calcola E(R) e si moltiplica per R^3/R^3... in poi? (quindi il successivo calcolo del potenziale).
Grazie!
Piccola domanda, una sfera uniformemente carica di che materiale può essere fatta?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo