Potenziale scalare e vettoriale

[Insubrico]

La definizione di potenziale vettore è: $B=rotA$.
utilizzando le formule di Maxwell si può ottenere $rotE=-rotdotA$
semplificando $rot(E+dotA)=0$
Il prossimo passaggio non mi è chiaro, esso è $E+dotA=-grad V$

Non capisco come si è eliminato il rotore e ottenuto il potenziale scalare V.Si è forse eseguita un' integrazione?


Saluti.

[baldo891]

dall'analisi matematica sappiamo che quando il rotore di un campo vettoriale è nullo quel campo è conservativo, sappiamo anche che un campo conservativo è uguale al meno gradiente di una funzione potenziale...tutto qui..

[lordb]

No, un secondo:

Se il campo è conservativo allora è irrotazionale:

$vec F $ $text {conservativo}=> rot (vec F)= vec 0$

se $dom (\vec F)$ è semplicemente connesso allora vale:

$vec F $ $text {conservativo} <=> rot (vec F)= vec 0$.

Il potenziale matematico di un campo (conservativo) è una funzione $V:dom(vec E)->RR$ scalare tale che:

$grad V = vec E$.

Il potenziale elettrico invece è: $V_(el)=-V$, quindi:

$-grad V_(el) = vec E$.

[santi_numi]

"lordb":No, un secondo:

Se il campo è conservativo allora è irrotazionale:

$vec F $ $text {conservativo}=> rot (vec F)= vec 0$

se $dom (\vec F)$ è semplicemente connesso allora vale:

$vec F $ $text {conservativo} <=> rot (vec F)= vec 0$.

Per essere pignoli, un campo vettoriale che sia irrotazionale in un insieme stellato è conservativo, mentre come hai detto tu il viceversa è vero in qualsiasi dominio.

La definizione di stellato è più esigente di quella di semplicemente connesso. Prendi la definizione di connesso per cammini (che è un modo per definire un aperto connesso) e sostituisci al concetto di curva quello di segmento di retta, ed hai ottenuto la definizione di stellato.
Il problema comunque non si pone perché il 3-spazio euclideo in cui ci muoviamo è senza dubbio stellato.

"lordb":Il potenziale matematico di un campo (conservativo) è una funzione $V:dom(vec E)->RR$ scalare tale che:

$grad V = vec E$.

Il potenziale elettrico invece è: $V_(el)=-V$, quindi:

$-grad V_(el) = vec E$.

Un campo conservativo può essere espresso come gradiente di una certa funzione scalare (visto che se ne devono poter calcolare le varie derivate parziali, essa sarà una funzione delle coordinate spaziali cioè un campo scalare). Nel nostro caso, il campo vettoriale conservativo $vec E$ sarà uguale al gradiente di un campo scalare $U$. E fin qui è solo matematica.
Ora, per motivi che nascono puramente dalla Fisica (conservazione dell'energia) noi vogliamo definire una grandezza che chiamiamo potenziale elettrico $V_(el)$, tale che $V_(el)=-U$. Segue che $vec E=-grad V_(el)$.