Potenziale nel centro di una sfera carica non uniformemente
Salve ragazzi, mi sono imbattuto in questo problema di elettrostatica che proprio non riesco a risolvere.
"Si consideri una sfera di raggio $R=10 cm$ avente una densità di carica di volume $rho =a*r^2$ e carica totale $Q=10 mu C$".
Il problema chiede di calcolare la costante $a$, il campo in vari punti dello spazio ed il potenziale nel centro della sfera, è proprio a quest'ultimo quesito che non riesco a rispondere.
Voi come procedereste?
Grazie mille in anticipo
"Si consideri una sfera di raggio $R=10 cm$ avente una densità di carica di volume $rho =a*r^2$ e carica totale $Q=10 mu C$".
Il problema chiede di calcolare la costante $a$, il campo in vari punti dello spazio ed il potenziale nel centro della sfera, è proprio a quest'ultimo quesito che non riesco a rispondere.
Voi come procedereste?
Grazie mille in anticipo
Risposte
Ciao Ulde e benvenuto sul forum. Ti ho messo un po' a posto le formule, dài un'occhiata qua per vedere come scriverle correttamente.
Una domanda: l'esercizio fissa un punto in cui il potenziale deve annullarsi? Altrimenti detto: il potenziale è definito a meno di una costante arbitraria, la domanda "quanto vale in un punto" ha senso se viene fissato un riferimento preciso, altrimenti qualsiasi risposta potrebbe andar bene. In questo caso, oltretutto, fissarlo nullo a distanza infinita (come si fa di solito per il potenziale coulombiano) mi pare che generi qualche problemino; a me risulta infatti, a meno di errori miei:
$V(r)-V(r_0)=a/(20 epsilon)(r^4-r_0^4)$ ,
essendo $r_0$ la distanza a cui si annulla, che quindi dev'essere necessariamente finita. A meno, ripeto, di miei errori.
Una domanda: l'esercizio fissa un punto in cui il potenziale deve annullarsi? Altrimenti detto: il potenziale è definito a meno di una costante arbitraria, la domanda "quanto vale in un punto" ha senso se viene fissato un riferimento preciso, altrimenti qualsiasi risposta potrebbe andar bene. In questo caso, oltretutto, fissarlo nullo a distanza infinita (come si fa di solito per il potenziale coulombiano) mi pare che generi qualche problemino; a me risulta infatti, a meno di errori miei:
$V(r)-V(r_0)=a/(20 epsilon)(r^4-r_0^4)$ ,
essendo $r_0$ la distanza a cui si annulla, che quindi dev'essere necessariamente finita. A meno, ripeto, di miei errori.
Poiché nel centro $\rho = 0$, direi che, per la legge di Gauss, il campo è ivi nullo ...
@anonymous_af8479: sembra anche a me la scelta più ragionevole, quella di fissare il potenziale nullo nel centro. Con Gauss però (e per evidenti motivi di simmetria, peraltro) dimostri che nel centro è nullo il campo elettrico, non il potenziale.
Hopps... giusto, pensavo a $E$ ... 
Per $0
Il campo vale $E = a/5 r^3$ (se non ho sbagliato l'integrale di volume).
Il potenziale vale $\phi = -{a r^4}/{20}+\phi_0$ (ricordando che $E = - grad \phi$).
Per $r>R$.
Il campo vale $E=1/{4 \pi \epsilon} {Q}/{r^2}$ ed il potenziale vale $\phi = 1/{4 \pi \epsilon} Q / r$.
Saldando in $r = R$ le funzioni, si otterrebbe:
$\phi_0 = 5/16 Q/{\pi \epsilon R}$ ...
Il campo vale $E = a/5 r^3$ (se non ho sbagliato l'integrale di volume).
Il potenziale vale $\phi = -{a r^4}/{20}+\phi_0$ (ricordando che $E = - grad \phi$).
Per $r>R$.
Il campo vale $E=1/{4 \pi \epsilon} {Q}/{r^2}$ ed il potenziale vale $\phi = 1/{4 \pi \epsilon} Q / r$.
Saldando in $r = R$ le funzioni, si otterrebbe:
$\phi_0 = 5/16 Q/{\pi \epsilon R}$ ...
Ho fatto bene a sottolineare che potevo aver fatto errori, perchè il potenziale che ho scritto come risultato nel mio precedente post ha il segno sbagliato.
Sono d'accordo con la soluzione proposta da @anonymous_af8479, nel caso la richiesta comporti un annullamento del potenziale all'infinito, del resto è assolutamente corretta quella indicata da @chiaraotta (e da speculor), in cui tuttavia è richiesta la d.d.p. tra centro e superficie, per cui fissare nullo il potenziale nel centro è la scelta più ovvia. Il dubbio che la domanda qui sia formulata in modo non completo mi rimane.
Sono d'accordo con la soluzione proposta da @anonymous_af8479, nel caso la richiesta comporti un annullamento del potenziale all'infinito, del resto è assolutamente corretta quella indicata da @chiaraotta (e da speculor), in cui tuttavia è richiesta la d.d.p. tra centro e superficie, per cui fissare nullo il potenziale nel centro è la scelta più ovvia. Il dubbio che la domanda qui sia formulata in modo non completo mi rimane.
il potenziale del campo elettrostatico è definito a meno di una costante additiva per cui posso benissimo porlo nullo al centro, però, dopo me lo trovo non nullo all'infinito e la cosa può sembrare scomoda, se pur lecita ...
"anonymous_af8479":
il potenziale del campo elettrostatico è definito a meno di una costante additiva
E' sostanzialmente questo il motivo per cui trovo anomala la richiesta di calcolare il potenziale nel centro della sfera, senza ulteriori indicazioni. Aspetterei comunque chiarimenti dall'utente che ha aperto la discussione...
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